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Uma equação funcional, grosso modo, é uma equação em que algumas das incógnitas a serem resolvidas são funções. Por exemplo, as seguintes são equações funcionais:

  • $f(x) + 2f\esquerda(\frac1x\direita) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

Tópicos de produto

O inverso de uma função

O inverso de uma função é uma função que “desfaz” uma função. Para um exemplo, considere a função: $f(x) = x^2 + 6$. A função $g(x) = \sqrt{x-6}$ tem a propriedade que $f(g(x)) = x$. Neste caso, $g$ é chamada a função inversa (direita). (Similarmente, uma função $g$ de modo que $g(f(x))=x$ é chamada de função inversa esquerda. Normalmente os inversores direito e esquerdo coincidem num domínio adequado, e neste caso simplesmente chamamos à função inversa direita e esquerda a função inversa). Muitas vezes o inverso de uma função $f$ é denotado por $f^{-1}$.

Tópicos intermédios

Funções cíclicas

Uma função cíclica é uma função $f(x)$ que tem a propriedade que:

$f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

>Um exemplo clássico de tal função é $f(x) = 1/x$ porque $f(f(x)) = f(1/x) = x$. As funções cíclicas podem ajudar significativamente na resolução de identidades funcionais. Considere este problema:

Find $f(x)$ tal que $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. Nesta equação funcional, let $x=y$ e let $x = 1/y$. Isto produz duas novas equações:

$3f\esquerda(\frac1y\direita)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

Agora, se multiplicarmos a primeira equação por 3 e a segunda por 4, e adicionarmos as duas equações, temos:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Então, claramente, $f(y) = -\frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Problema Exemplos

  • 2006 AMC 12A Problema 18
  • 2007 AIME II Problema 14

Veja Também

  • Funções
  • Polinómios
  • Equação Funcional Caucasiana

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