Isto faz parte de uma série sobre conceitos errados comuns.

Verdadeiro ou Falso?

Infinito é o número no final da linha do número real.

Por que algumas pessoas dizem que é verdade: porque o infinito é o número que é maior do que todos os outros números.

Por que algumas pessoas dizem que é falso: porque o infinito não é um número e a linha numérica não tem um fim.

A afirmação é falsa {#D61F06}{\i1}{\i1}textbf{false}false.

Proof:

O conceito errado aqui é que “se você continuar ao longo da linha numérica passando por números cada vez maiores, então eventualmente os números de contagem apenas desistem (em algum lugar depois do ponto onde seu professor se cansa de fazer tic marks), e haverá um sinal infinito (∞\infty∞) lá para marcar o fim da linha numérica”. Alternativamente, alguns dizem que “o infinito está no fim da linha numérica, mas ainda há infinitamente muitos números a menos que o infinito e entre o infinito e qualquer outro ponto da linha”. Ambas as noções têm raízes em conceitos relacionados ao cálculo; no entanto, ambas são fundamentalmente incorretas.

Quando o seu professor “termina a linha numérica” com ∞\infty∞, esta é na verdade uma abreviação enganosa para representar que a linha numérica continua para sempre. Uma forma menos enganosa de representar esta noção pode ser estender a linha numérica com uma seta. Além disso, podemos indicar que os números inteiros continuam depois de decidirmos parar de gravá-los usando a notação comum de série de termos gerais: “…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…” para descrever, neste caso, o conjunto de todos os números inteiros, não negativos. Este conjunto também é comumente conhecido como os “números naturais (N\mathbb{N}N)” ou como os “inteiros não-negativos”.

O conceito errado está em escolher tratar ∞\infty∞ como um número inteiro ou inteiro ou como um dos números reais. Isto não é o mesmo que acreditar que ∞\infty∞ é “real” ou “irreal” no sentido inglês da palavra. Infinito é um conceito “real” e útil. Entretanto, o infinito não é um membro do conjunto matematicamente definido de “números reais” e, portanto, não é um número na linha do número real.

O conjunto de números reais, R\mathbb{R}R, é explicado em vez de ser definido na maioria das escolas pré-colegiadas. E, mesmo assim, normalmente é explicado apenas brevemente, com uma descrição para o efeito de “todos os pontos de uma linha de número”, e com o acompanhamento adicional de que “os números reais negativos estão à esquerda de 0 e os números positivos são os da direita de 0”.

A maioria dos alunos não é ensinada uma definição rigorosa dos números reais, a não ser que se tornem professores de matemática em uma universidade. Uma das definições mais comuns a aprender então é que os números reais são o conjunto de cortes Dedekind dos números racionais. Dada qualquer definição rigorosa dos números reais, é imediatamente aparente que o “infinito” não é um membro do conjunto de números reais.

Rebuttal: No estudo se limites, o infinito (∞infty∞) é tratado como qualquer outro número. Porque é que fazemos isto em cálculo se o infinito não é realmente um número?

Resposta: Muitos são ensinados sobre limites no pré-cálculo ou cálculo exatamente como você descreve, e a forma como o infinito é tratado sugere, enganosamente, que o infinito é apenas mais um número. Por exemplo, dada uma função com uma assímptota horizontal a 5, podemos dizer que o limite de f(x)f(x)f(x)f(x) como xxx se aproxima do infinito é cinco: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, e se f(x)f(x)f(x)f(x) tem uma assímptota vertical em 171717, somos ensinados a dizer que f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Esta é a primeira exposição de muitos alunos a ∞\infty∞, e é uma introdução muito enganadora uma vez que implica que ∞\infty∞ pode ser tratado como um número que é simplesmente “maior que todos os outros números”

No entanto, neste contexto, o infinito é apenas uma abreviatura para uma noção bem definida de uma função que não tem um limite de qualquer valor real, mas que, em vez disso, aumenta para sempre sem limite. Veja o wiki sobre limites de funções para mais detalhes!

Rebuttal: Eu definitivamente vi infinito em livros de matemática, e às vezes é definido como um número maior que todos os números não infinitos. Porque está lá se não é um conceito matemático real?

Resposta: Na verdade existem conjuntos de números matemáticos, como os números cardinais e os números ordinais, nos quais muitas versões definidas de forma diferente de ∞\infty∞ são números. E os sistemas de números rigorosamente definidos que incluem ∞\infty∞ têm muitas aplicações valiosas. Por exemplo, no conjunto de números cardinais, o infinito é na verdade uma medida da quantidade de números reais que existem. No entanto, o conjunto de números reais R\mathbb{R}R é definido de forma a omitir qualquer versão do infinito.

Adicionalmente, ao considerarmos os números cardinais, devemos mudar nossa intuição sobre o infinito: não é um número no sentido de “linha numérica”, pois os reais são aplicados. Ao contrário, é um conceito para medir e comparar os tamanhos dos conjuntos.