Idea

Um espaço Banach â\mathcal{B} é tanto um espaço vectorial (sobre um campo normalizado como o â\mathbb{R}) como um espaço métrico completo, de uma forma compatível. Daí um espaço vectorial normalizado completo.

Uma fonte de espaços banach simples vem de considerar um espaço cartesiano â\mathbb{R}^n (ou K nK^n onde KK é o campo normalizado) com a norma:

where 1â¤pâ¤â1 {\i1}leq p {\i}infty (isto não faz sentido para p=âp = {\i}infty, mas tomando o limite como pââââp a nâââpbbâ nâ nâ nâmathbb{R}^^infty = {\i1}underset{\i}_n {\i1}mathbb{R}^n como o limite direto (ao contrário do limite inverso) chegamos à fórmula â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i|{\\\i}(x_1,{\i}ldots,x_n){\i} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

No entanto, a teoria destes espaços não é muito mais complicada do que a dos espaços vectoriais finitos-dimensionais porque todos eles têm a mesma topologia subjacente. Quando olhamos para exemplos infinitamente dimensionais, no entanto, as coisas tornam-se mais complicadas. Exemplos comuns são espaços Lebesgue, espaços Hilbert, e espaços sequenciais.

Na literatura, vê-se com mais frequência espaços Banach sobre o campo â\mathbb{R} de números reais; espaços Banach sobre o campo â\mathbb{C} de números complexos não são muito diferentes, uma vez que também estão sobre â\mathbb{R}. Mas as pessoas também os estudam sobre números p-ádicos. A menos que seja dito o contrário, nós assumimos â\mathbb{R} abaixo.

Definições

Deixe VV ser um espaço vetorial sobre o campo de números reais. (Pode-se generalizar um pouco a escolha do campo.) Um pseudonorma (ou seminorma) em VV é uma função

tal que:

1. â0ââ¤0 {\|0}} \leq 0 ;
2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\|}} = {|r|} {\|v\|} (para rr a scalar e vv a vector);
3. âv+wââ¤âvâ+âwâ {\|v + w\|}} \Leq… + .

De acordo com o acima descrito, âvââ¥0{\\|vâ¥0{\|vâ} \geq 0; em particular, â0â=0{\|0} = 0. Uma norma é um pseudonorma que satisfaz um inverso: v=0v = 0 se âvâ=0{\|vâ=0} = 0.

Uma norma em VV é completa se, dada qualquer sequência infinita (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) tal que

existe uma soma SS (necessariamente única) tal que

escrevemos

(com o lado direito indefinido se tal soma não existir).

Então um espaço Banach é simplesmente um espaço vectorial equipado com uma norma completa. Como na linha real, temos num espaço Banach que

com o lado esquerdo garantido de existir se o lado direito existir como um número real finito (mas o lado esquerdo pode existir mesmo que o lado direito divirja, a distinção habitual entre convergência absoluta e condicional).

Se não insistirmos em que o espaço seja completo, chamamos-lhe um espaço normalizado (vectorial). Se temos um espaço topológico vetorial tal que a topologia vem de uma norma, mas não fazemos uma escolha real de tal norma, então falamos de um espaço normaável.

Banach espaços como espaços métricos

Os três axiomas para um pseudonorma são muito semelhantes aos três axiomas para um pseudométrico.

Indeed, em qualquer espaço vectorial com pseudonormas, deixe a distância d(v,w)d(v,w) ser

Então dd é um pseudométrico, que é traduzido-invariante em que

sempre se mantém. Inversamente, dado qualquer dd pseudométrico de tradução-invariante num espaço vectorial VV, deixe âvâ{\|vâ{\}} ser

Então âââ{\|->}} satisfaz os axiomas (1ââ3) para um pseudonorma, excepto que pode satisfazer (2) apenas para r=0,±1r = 0, \pm 1. (Em outras palavras, é apenas um G-pseudonorma.) Na verdade, será um pseudonorma se o pseudométrico satisfizer uma regra de homogeneidade:

Essas pseudonormas correspondem precisamente a pseudonormas de tradução-invariantes homogêneas.

Simplesmente, normas correspondem a métricas de tradução-invariantes homogêneas e normas completas correspondem a métricas de tradução-invariantes homogêneas completas. De fato, (1) diz que a seqüência de somas parciais é uma seqüência Cauchy, enquanto (2) diz que a seqüência de somas parciais converge para SS.

Assim, um espaço Banach pode equivalentemente ser definido como um espaço vetorial equipado com uma métrica translação-invariante homogênea completa. Na verdade, normalmente vê-se uma espécie de abordagem híbrida: um espaço Banach é um espaço vectorial normalizado cuja métrica correspondente é completa.

Mapas entre espaços Banach

Se VV e WW são espaços vectoriais pseudonormados, então a norma de uma função linear f:VâWf\colon V \to W pode ser definida de uma destas formas equivalentes:

• âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} =sup =sup =f v \;|\; {\|v\|} \{r|âv,âfvââ¤râvâ} em todos os lugares, em todos os lugares, em todos os lugares \LEGISLAÇÃO \} .

(Algumas outras formas são às vezes vistas, mas estas podem se quebrar em casos degenerados)

Para espaços finitos-dimensionais, qualquer mapa linear tem uma norma finita bem definida. Em geral, as seguintes são equivalentes:

• ff é contínuo (medido pela pseudometria em VV e WW) a 00;
• ff é contínuo (em qualquer lugar);
• ff é uniformemente contínuo;
• ff é contínuo de Lipschitz;
• ff é finito (e, em matemática construtiva, localizado);
• ff é limitado (medido pelas nascologias dadas pela pseudometria em VV e WW).

Neste caso, dizemos que ff é delimitado. Se f:VâWf\colon V \to W não é assumido como sendo linear, então as condições acima não são mais equivalentes.

Os mapas lineares delimitados de VV a WW em si formam um espaço vectorial pseudonormado â?(V,W)\mathcal{B}(V,W). Este será um espaço Banach se (e, exceto para casos degenerados de VV, somente se) WW for um espaço Banach. Desta forma, a categoria BanBan de espaços Banach é uma categoria fechada com â\mathbb{R} como a unidade.

O leitor inteligente notará que ainda não definimos Ban\mathbf{Ban} como uma categoria! (surpreendentemente no nLab) Há muitas (não equivalentes) formas de o fazer.

Na análise funcional, a noção usual de â\iomorfismoâ para espaços Banach é um mapa linear bijectivo delimitado f:VâWf\f {-1}colon V {\i}to W de tal forma que a função inversa f â\i}{-1:WâVf^{-1}{\i}colon W {\i}to V (que é necessariamente linear) também é delimitada. Neste caso, pode-se aceitar todos os mapas lineares delimitados entre os espaços Banach como morfismos. Os analistas às vezes se referem a isto como a categoria âisomórficaâ.

Uma outra noção natural de isomorfismo é uma isometria linear surjectiva. Neste caso, tomamos um morfismo como um mapa linear curto, ou contração linear: um mapa linear ff tal que âfââ¤1{\|f\|}} \LQ 1. Esta categoria, que é a que os teóricos da categoria geralmente se referem como Ban\mathbf{Ban}, é por vezes referida como a “categoria isométrica” pelos analistas. Note que isto faz do “set de fundo” (no sentido de Ban\mathbf{Ban} como uma categoria concreta como qualquer categoria fechada) de um espaço Banach a sua esfera unitária (fechada)

acima do conjunto de todos os vectores em VV (o conjunto subjacente de VV como espaço vectorial).

Da perspectiva de um teórico de categoria, a categoria isomórfica é realmente a imagem completa do functor de inclusão de BanBan para TVSTVS (a categoria de espaços vetoriais topológicos), que pode ser denotada Ban TVSBan_{TVS}. Se você está trabalhando na Ban TVSBan_{TVS}, então você só se importa com a estrutura linear topológica do seu espaço (embora você também se importa que ela possa ser derivada de alguma métrica); se você está trabalhando na BanBan, então você se importa com toda a estrutura do espaço.

Exemplos

Muitos exemplos de espaços Banach são parametrizados por um expoente 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \leq \infty. (Às vezes também se pode tentar 0â¤p<10 \leq p \lt 1, mas estes geralmente não dão espaços Banach.)

• O espaço Cartesiano â n\mathbb{R}^n é um espaço Banach com

  â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)|_p} = {\sum_i {|x_i|^p}} = {\sum_i {{\sum_i|^p}} .

  (Podemos permitir p=âp = {\\i} tomando um limite; o resultado é que âxâ â=max i|x i|{\i|_\i} = {\i_max_i {|x_i|}. Cada espaço banach finito-dimensional é isomórfico a isto para alguns nn e pp; de facto, uma vez fixado nn, o valor de pp é irrelevante até ao isomorfismo.

• O espaço de sequência l pl^p é o conjunto de sequências infinitas (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,{\\i1}dots) de números reais tais que

  â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\i}(x_1,x_2,{\i}ldots){\i} = {\i}root p {\i_i {\i_x_^p}}

  existe como um número finito real. (A única questão é se a soma converge. Mais uma vez p=âp = {\i} é um limite, com o resultado que âxâ â=sup i|x i|{\i|x_\i} = {\i_sup_i {|x_i|}}. Então l pl^p é um espaço Banach com essa norma. Estas são todas as versões de â\mathbb{R}^y, mas já não são isomórficas para diferentes valores de pp. (Veja classes de isomorfismo dos espaços Banach.)

• Mais geralmente, que AA seja qualquer conjunto e que l p(A)l^p(A) seja o conjunto de funções ff de AA para â\mathbb{R} tal que

  âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|_p} = {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}}}

  existe como um número finito real. (Mais uma vez, âfâ â=sup x:A|f(x)|{\\\\\\f}|_sup_{x\colon A} {|f(x)|}.) Então l p(A)l^p(A) é um espaço Banach. (Este exemplo inclui os exemplos anteriores, para AA um conjunto contável.)

• Em qualquer espaço de medida XX, o espaço Lebesgue â p(X)\mathcal{L}^p(X) é o conjunto de funções de valor real mensuráveis quase sempre em XX, de tal forma que

  âfâ p=â”|f| pp {\|f\|_p} = {\int {|f|^p}} = {\i} {\i}

  existe como um número finito real. (Mais uma vez, a única questão é se a integral converge. E mais uma vez p=âp = {\i1}é um limite, com o resultado que âfâ â{\i} é o supremo essencial de |f|{\i}. Como tal, â p(X)^mathcal{L}^p(X) é um espaço vectorial completamente pseudonormado; mas identificamos funções que são iguais em quase todo o lado para o transformar num espaço Banach. (Este exemplo inclui os exemplos anteriores, para XX um conjunto com medida de contagem.)

• O espaço de Hilbert é espaço Banach; isto inclui todos os exemplos acima para p=2p = 2.

Operações nos espaços Banach

A categoria BanBan de espaços Banach é pequeno completo, pequeno cocompleto, e simétrico monoidal fechado em relação ao seu hom padrão interno (descrito no hom interno). Alguns detalhes seguem.

• A categoria de espaços Banach admite pequenos produtos. Dada uma pequena família de espaços Banach {X α} Em A, seu produto em BanBan é o subespaço do produto de espaço vetorial

  â αAX αAX αprod_{\an8}{\an8} X_\alpha

  consistindo em tubos AA â¨x α⩩©langle x_\alpha {\alpha} que são uniformemente delimitados (ou seja, existe CC tal que âαâA:âx αââ¤C}forall {\alpha }in A: {\alpha {\alpha}} \C), tomando o menor limite superior como a norma de â¨x α⩩langle x_alpha {\i}rangle. Esta norma é chamada de â\i-norma; em particular, o produto de uma família indexada a AA de cópias de â\ihbbb{R} ou â\ihbb{C} é o que normalmente é denotado como l â\i(A)l^{\i}(A).

• A categoria de espaços Banach admite equalizadores. Na verdade, o equalizador de um par de mapas f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y em BanBan é o kernel de fâgf-g sob a norma herdada de XX (o kernel é fechado uma vez que fâgf-g é contínuo, e é portanto completo). Na verdade cada equalizador é mesmo uma secção pelo teorema de Hahn-Banach. Todo monomorfismo extremista já é até mesmo um equalizador (e uma seção): Deixem f:XâYf(f){\i}colon XâYf(f){\i}para Y ser um monomorfismo extremista, ι:â(f)âY\i(f){\i}colon XâYf(f){\i}para Y a incorporação de Im(f)Im(f)Im(f) no codomínio de ff e fâ²:XâIm(f)f(f)prime {\i}o XâYf(f)ff com codomínio restrito. Como fâ²f\prime é um epimorfismo, f=ιfâ²f=\iota f\prime, e ff extremal, fâ²f\prime é um isomorfismo, assim ff é uma incorporação.

• A categoria de espaços Banach admite pequenos co-produtos. Dada uma pequena família de espaços Banach {X α} Em A, seu co-produto em BanBan é a conclusão do co-produto espacial vetorial

  ⨠αâAX α±±bigoplus_{\i1}{\i1}em A} X_\alpha

  com respeito à norma dada por

  â⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\i} {\i1}bigoplus_{s {s }in S} x_s {s {s {s }} = {sum_{s } x_s ,

  where SâAS {\subseteq A é finito e âx sâ{\|x_s{\}} denota a norma de um elemento em X sX_s. Esta norma é chamada a norma 11; em particular, o coproduto de uma família de cópias de â\mathbb{R} ou â\mathbb{C} é o que normalmente é denotado como l 1(A)l^1(A).

• A categoria dos espaços Banach admite os coequalizadores. De facto, o coequalizador de um par de mapas f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y é o cokernel de fâgf-g sob a norma do quociente (em que a norma de um coset y+Cy + C é a norma mínima atingida pelos elementos de y+Cy + C; aqui CC é a imagem (fâg)(X)(f-g)(X), que está fechada). É padrão que a norma do quociente em Y/CY/C seja completa, dado que a norma em YY é completa.

• Para descrever o produto tensor Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y de dois espaços Banach (fazendo BanBan simétrico monoidal fechado em relação ao seu homólogo interno habitual), deixe F(XÃY)F(X \ vezes Y) ser o espaço vetorial livre gerado pelo conjunto XÃYX \ vezes Y, com norma sobre um elemento típico definido por

  âââ 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iââââ ây iâ. a_i (x_i {\i }otimes y_i) {1 {1 {1 }leq i}leq n} a_i (x_i {1}otimes y_i) {1 {1 {1 {1}leq i }leq n} {|a_i|}} x_i \{\i}.

  Let F¯(XÃY){F}(X ÃY){F}(X ÃÃÃÃ?}vezes Y) denotam a sua conclusão com respeito a esta norma. Então pegue o cokernel de F¯(XÃY){F}(X ÃY)}overline{F}(X ÃÃús vezes Y) pelo fechamento do subespaço abrangido pelas relações bilineares óbvias. Este quociente é Xâ BanYX Ã?£o vezes_{Ban} Y.

Na literatura sobre espaços Banach, o produto tensor acima é normalmente chamado de produto tensor projetivo dos espaços Banach; veja outro produto tensor dos espaços Banach. O produto e co-produto são considerados somas diretas; veja outras somas diretas dos espaços Banach.

A ser descrito:

• duals (p+q=pqp + q = p q);
• completion (BanBan é uma subcategoria reflexiva de PsNVectPsNVect (espaços vetoriais pseudo-normados)).
• BanBan como uma categoria (um pouco maior) com duals.

Integração em espaços Banach

Este parágrafo descreve alguns aspectos da teoria da integração em espaços Banach que são relevantes para entender a literatura sobre AQFT. No contexto dado, os elementos de um espaço Banach â??mathcal{B} são por vezes chamados vectores, uma função ou medida tomando valores em â??mathcal{B} são por isso chamados funções vectoriais e medidas vectoriais. Funções e medidas tomando valores no campo em que o espaço Banach é definido como um espaço vectorial são chamadas funções escalares e medidas escalares.

Consideraremos dois tipos de integrais:

• integrais de funções vectoriais com respeito a uma medida escalar, especificamente a integral Bochner,

• integrais de funções escalares com respeito a uma medida vectorial, especificamente a integral espectral de um operador normal num espaço Hilbert.

Bochner integral,

A integral Bochner é uma generalização direta da integral Lesbegue para funções que tomam valores em um espaço Banach. Sempre que você encontrar uma integral de uma função que toma valores em um espaço Banach na literatura AQFT, é seguro assumir que ela é destinada a ser uma integral Bochner. Dois pontos já explicados pela Wikipédia são de interesse:

1. Uma versão do teorema da convergência dominada é verdadeira para a integral Bochner.
2. Existem teoremas que não são válidos para a integral Bochner, nomeadamente o teorema do Radon-Nikodym não é válido em geral.

• Wikipedia

referência: Joseph Diestel: “Sequências e Séries em Espaços Banach” (entrada ZMATH), capítulo IV.

A integral espectral

A integral no que diz respeito à medida espectral de um operador normal limitado num espaço Hilbert é um exemplo de uma integral espacial Banach no que diz respeito a uma medida vectorial. Neste parágrafo apresentamos um resultado bem conhecido, mas um pouco menos citado, que é útil em algumas provas em algumas abordagens ao AQFT, é a versão do teorema da convergência dominada para o ajuste dado.

Let A be a bounded normal operator on a Hilbert space and E be itâs spectral measure (a âresolução da identidadeâ nos termos de Dunford e Schwartz). Que Ï(A)\sigma(A) seja o espectro de A. Para uma função Borel complexa limitada f temos então

Propriedades

Relação a espaços nascidosológicos

Todos os limites indutivos dos espaços Banach são espaços vetoriais nascidosológicos. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

Conversamente, todo o espaço vetorial nascitológico é um limite indutivo de espaços normalizados, e de espaços Banach se for quase completo (Schaefer-Wolff 99)

• espaço Banach reflexivo

• espaço Banach projetivo

• espaço Banach analítico

Nome depois de Stefan Banach.

• Walter Rudin, Análise funcional

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âOperadores lineares. Parte I: Teoria geral.â (entrada ZMATH), â Operadores lineares. Parte II: Teoria espectral, operadores self adjoint no espaço Hilbert.â (entrada ZMATH)

• Z. Semadeni, espaços Banach de funções contínuas, vol. I, editoras científicas polacas. Warszawa 1971

• Daniel Alpay, Guy Salomon, Sobre algebras que são limites indutivos dos espaços Banach (arXiv:1302.3372)

• H. H. Schaefer com M. P. Wolff, Espaços vetoriais topológicos, Springer 1999