Introdução

Preparar um objecto, fazer uma medição sobre ele e registar o resultado constituem uma imagem simplificada de uma experiência física sobre o objecto. Repetir o mesmo procedimento várias vezes permite recolher estatísticas (frequências relativas) dos resultados registados. A idéia de causalidade estatística expressa então a crença de que esta estatística poderia ser aproximada e modelada por uma medida de probabilidade, dependendo da medida e da preparação.

Esta simples figura é muitas vezes dada como fundo intuitivo na formulação de teorias físicas probabilísticas de objetos, construída sobre a dualidade estatística entre os conceitos de estados (classes de equivalência de preparações) e observáveis (classes de equivalência de medidas) onde a dualidade é dada por uma função de probabilidade que atribui a cada estado e a cada observável uma medida de probabilidade que expõe as probabilidades de resultado da medida para este observável naquele estado.

Numa abordagem axiomática, pretende-se introduzir estruturas fisicamente plausíveis para as coleções de todos os estados concebíveis (preparações) e observáveis (medições), de modo que a forma da função de probabilidade possa ser determinada.

Neste trabalho, esboçamos tal abordagem para a mecânica quântica. Em §2, a estrutura geral e as estruturas espaciais relevantes de Hilbert são brevemente relembradas. Em §3, um teorema de Solér é usado para identificar a estrutura orto-modular geral com uma Hilbertiana. O papel da simetria escondida neste teorema crucial é exposto. Finalmente, levantamos alguns argumentos que indicam que a mecânica quântica deve ser formulada num espaço complexo de Hilbert (§4).

Estruturas básicas

(a) Ponto de partida

Deixe S e O serem dois conjuntos não vazios, os conjuntos de todos os estados e todos os observáveis de um sistema físico a ser estudado. Um observável vai junto com um conjunto não vazio Ω e uma álgebra sigma de subconjuntos de Ω. Deixamos , ou apenas E, denotar um observável. O conjunto Ω é tomado para descrever os possíveis resultados de medição para o observável, enquanto os elementos da álgebra σ são entendidos como os conjuntos de teste dentro dos quais os grupos de resultados são contados. Na maioria das aplicações, este conjunto é um subconjunto (aberto ou fechado) da linha real (ou plano) e a álgebra σ é o conjunto Borel correspondente.

A hipótese básica da abordagem seguida aqui é a seguinte: para cada estado α∈S e para cada E observável, existe uma medida de probabilidade , que dá as probabilidades de resultados de medição para o E observável no estado α.

O conjunto S de estados é naturalmente dotado de uma estrutura convexa e como tal pode ser visto como um subconjunto convexo de um espaço vectorial real. Esta estrutura permite distinguir entre os estados puros, os elementos extremos de S, e os estados mistos, seus elementos não-extremos. Deixamos ex(S) denotar o conjunto de estados puros, no entanto, para começar, ele pode estar vazio. Se α=λβ1+(1-λ)β2 é uma mistura dos estados β1,β2, com um peso 0≤λ≤1, então, por definição da estrutura convexa de S, p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) para cada E observável e um conjunto de valores . Cada par (E,X) define assim uma função afim S∋α↦p(α,E,X)∈. Dizemos que uma função afim f:S→ é uma função experimental, ou efeito, se f(α)=p(α,E,X) para algum par (E,X). Nós deixamos E⊂S denotar o conjunto de todas as funções experimentais. Claramente, 0,1∈E e se f∈E, então também f⊥=1-f∈E. A ordem natural das funções S→ dá a E a estrutura de um conjunto parcialmente ordenado com os limites universais 0,1, e o mapa f↦f⊥ é um anti-automorfismo involutivo. Claramente, E não precisa ser uma malha (em relação a ≤) e o mapa f↦f⊥ não precisa ser uma ortocomplementação. Ocasionalmente, podemos também considerar os estados como funções no E escrevendo α(f)=f(α). Eles preservam tanto a ordem quanto a involução.

Acontece que na formulação de axiomas para a teoria o par (S,E) de estados e funções experimentais é mais fácil de manusear do que o par de estados e observáveis. Observe também que cada f∈E, juntamente com f⊥∈E, pode ser entendido como uma medida de sim-não (ou um observável de dois valores), com f(α)=p(α,E,X) e f⊥(α)=p(α,E,X′) dando as probabilidades para os resultados de sim e não, respectivamente.

(b) Caso do espaço Hilbert

Antes de ir mais longe com a estrutura geral, recordemos alguns aspectos bem conhecidos da mecânica quântica no espaço Hilbert. Suponha que o conjunto S de estados pode ser identificado com o conjunto de traço positivo um operador num espaço complexo de Hilbert separável . Então cada função experimental f estende-se a uma função linear positiva em , a classe de traço auto-ajustável. Assim, para qualquer f, há um operador único com limite de unidade positiva 0≤E≤I tal que f(α)=tr para todos α∈S. Que (E,X) seja um par para o qual f(α)=p(α,E,X)=tr. Como, para qualquer α, o mapa X↦p(α,E,X) é uma medida de probabilidade, concluímos que o E observável é uma medida normalizada de operador positivo . Aqui, é natural assumir que o conjunto E de todas as funções experimentais é identificado com o conjunto completo de operadores de efeito, operadores com limite de unidade positiva em .

>

Conte em seguida que o conjunto de funções experimentais E coincide com a malha de projeção de >. Nesse caso, qualquer estado pode ser visto como uma medida de probabilidade em >. Pelo teorema de Gleason, se qualquer medida de probabilidade em surge de um único traço positivo um operador e tem-se novamente a fórmula do traço para as probabilidades: para qualquer , P(α)=α(P)=tr, onde o estado α é identificado com o elemento de dado pelo teorema de Gleason. Nesta abordagem, é natural assumir que o conjunto S de estados coincide com o conjunto de todas as medidas de probabilidade em e assim para que os observáveis possam ser identificados com medidas normalizadas de valor de projeção .

>

Uma poderia também começar com a hipótese de que o conjunto E de funções experimentais é identificado com o conjunto completo de operadores de efeito. Então, novamente, qualquer estado quando restrito ao seu subconjunto pode ser identificado com um elemento de , com a fórmula de traços dando as probabilidades.

Finalmente, pode-se assumir que e que qualquer estado α:E→ não só preserva a ordem e a involução, mas também é parcialmente aditivo (ou seja, para todos , se , então α(A+B)=α(A)+α(B)) e tem a seguinte propriedade de continuidade: se (Ai)i∈I é uma rede crescente em , então . Então, novamente, sem usar o teorema de Gleason, cada estado α pode ser identificado com um elemento único de e α(E)=tr.

(c) Caixa ortopédica

(i) Estrutura geral

Em uma abordagem axiomática baseada na dualidade estatística (S,E), a estratégia é colocar suposições fisicamente plausíveis relativas às possibilidades de preparações e medições. Tanto a abordagem Mackey (lógica quântica) como a abordagem Davies-Lewis (convexidade) partilham este fundo comum.

Para as preparações, uma hipótese típica diz respeito à existência de um conjunto suficientemente grande de estados puros (estados de máxima informação), por exemplo, no sentido de que este conjunto é suficientemente grande para determinar a ordem das funções experimentais. Outra suposição comum é que os estados puros não só podem ser preparados como também identificados com medições adequadas de sim – não. Esta suposição já entrelaça os conjuntos de estados e funções experimentais, sim-não medições, para além da dualidade. Outras suposições relativas à estrutura do conjunto E são tipicamente formuladas como um requisito para a existência de um subconjunto suficientemente grande L⊂E de medições yes-no que se qualificam como medições ideais, de primeira espécie e repetíveis.

Desde os trabalhos pioneiros de Mackey e Davies & Lewis , os tipos de argumentos acima foram estudados extensivamente na literatura; ver, por exemplo, as monografias ou a nossa recente pesquisa . Não repetimos estes argumentos mas apenas afirmamos o conhecido resultado final:

• (a) Existe um subconjunto L⊂E de efeitos, chamados proposições ou efeitos cortantes, que tem uma estrutura L=(L,≤,⊥,0,1) de uma malha completa, parcialmente ordenada, ortocompletada, orto-modular, com os limites universais 0 e 1, que é atomística, separável, tem a propriedade de cobertura e é irredutível.

• (b) O conjunto S de estados pode ser visto como um conjunto σ-convexo de medidas de probabilidade em L, que tem um conjunto suficiente ex(S) de estados puros: para qualquer a,b∈L, a≤b se α(a)≤α(b) para todos α∈ex(S).

• (c) Existe uma correspondência bijectiva entre os conjuntos ex(S), os estados puros de S, e At(L), os átomos de L, dada pela projecção de suporte α↦s(α), sendo o s(α) o menor elemento para o qual α(b)=1,b∈L.

Comentamos aqui apenas as duas, talvez, propriedades mais técnicas de aparência: separabilidade e irredutibilidade. Qualquer E observável cujas funções experimentais associadas são proposições (ou efeitos cortantes) pode ser visto como σ-homomorfismo , com o intervalo sendo uma álgebra subσ booleana de L. A separabilidade de L implica que qualquer álgebra subσ booleana de L pode ser vista como um intervalo de um observável com o espaço de valor real . A irredutibilidade de L mostra que a dualidade (S,E) descreve um objeto quântico próprio. De facto, esta propriedade segue, por exemplo, a hipótese de que para dois estados puros quaisquer α,β∈ex(S), α≠β, existe um terceiro γ∈ex(S), α≠γ≠β, que é a sua sobreposição (por exemplo no sentido de que o suporte de γ está contido na união dos suportes de α e β).

O mapa ⊥, quando restrito a L, é, de fato, uma ortocomplementação e transforma L em orto-modular; ou seja, para qualquer a,b∈L, se a≤b, então b=a∨(a∧b⊥). Lembramos que a e b são ditos ser mutuamente ortogonais, a⊥b, se a≤b⊥. São estas estruturas que permitem definir medidas de probabilidade em L. Let Prob(L) denotam o conjunto de todas as medidas de probabilidade em L; ou seja, todos os mapas μ:L→ para os quais para qualquer sequência de elementos ortogonais em pares ai∈L. Por item (b), o conjunto S de estados é um subconjunto sigma-convexo de Prob(L), e, por (c), os estados puros estão em correspondência um-a-um com os átomos de L. Embora óbvio, enfatizamos que o conjunto de estados pode ser um subconjunto apropriado de todas as medidas de probabilidade em L.

O conjunto L de proposições com as propriedades do item (a) acima é conhecido por admitir uma coordenação vetorial-espacial.

(ii) Realização do espaço orto-modular

Deixe (V,K,*,f) ser um espaço hermitiano, ou seja V é um espaço vetorial (esquerdo) sobre um anel de divisão K, o mapa K∋λ↦λ*∈K é um anti-automorfismo involutivo e o mapa V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K é uma forma hermitiana (não individual).

Um subespaço M⊂V é dito ser f-closed se M=M⊥⊥, onde

O conjunto Lf(V) de todos os subespaços f-closed de V forma uma malha completa irredutível ortocompletada com respeito à inclusão do subespaço ⊆ e o mapa M↦M⊥. Também é atomístico e tem a propriedade de cobertura. Contém todos os subespaços finitos-dimensionais, e os subespaços unidimensionais ={λv | λ∈K},v≠0, são os átomos de Lf(V). A malha Lf(V) é conhecida por ser orto-modular exatamente quando o espaço (V,K,*,f) é orto-modular; isto é, se para qualquer M∈Lf(V),

A afirmação inversa é uma coleção de resultados fundamentais da geometria projetiva. As provas detalhadas são dadas nos livros de Varadarajan e Maeda & Maeda . Este resultado pressupõe que o comprimento da malha L, que é o comprimento de uma cadeia máxima em L, é pelo menos 4, o que significa que o espaço vectorial V é pelo menos tridimensional.

Teorema 2.1

Se o comprimento de for pelo menos 4, então existe um espaço orto-modular (V,K,*,f) tal que a malha dos subespaços f-f-fechados de V é orto isomórfica até, em suma,.

O conjunto S de estados pode agora ser identificado como um subconjunto de todas as medidas de probabilidade em Lf(V), ou seja S⊂Prob(Lf(V)); cada α∈S tem o seu suporte s(α)∈Lf(V) e cada M∈Lf(V) é um suporte de alguns α∈S. Além disso, os estados puros α∈ex(S) estão em correspondência um-a-um com os átomos ∈Lf(V), e são determinados exclusivamente pelos seus valores sobre os átomos, ou seja, pelos números α()∈. Claramente, se (V,K,*,f) é um espaço orto-modular clássico, que é um espaço Hilbert sobre então f é produto interior e pelo teorema de Gleason

para qualquer v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. Neste caso, o conjunto Prob(Lf(V)) de todas as medidas de probabilidade em Lf(V) coincide com o conjunto de estados S do objeto, porque agora.

As estruturas gerais acima referentes ao par (S,L), L⊂E, implicam que o espaço vetorial orto-modular V deve admitir um rico conjunto de medidas de probabilidade em Lf(V). Em caso de dimensão finita, isto não é suficiente para transformar o espaço em um espaço Hilbert. De facto, se , , , com o mapa de identidade como a involução , então é um espaço orto-modular. O conjunto é o conjunto de todos os subespaços de e para cada fórmula acima define uma medida de probabilidade em . Se denota o casco σ-convexo de todas essas medidas de probabilidade em , então o par compartilha todas as propriedades listadas nos itens acima (a)-(c) embora não seja um espaço Hilbert. Neste caso, é um subconjunto próprio de . (Para detalhes, veja .) Há também espaços ortodimensionais infinitos que não são espaços Hilbert, mas que admitem conjuntos ricos de medidas de probabilidade . Entretanto, ainda é uma questão em aberto se um espaço orto-modular infinito, com as propriedades (b) e (c), deve ou não ser um espaço Hilbert.

Um teorema de Solér caracteriza os espaços Hilbert entre os espaços orto-modulares infinitamente dimensionais com uma propriedade que é, pelo menos parcialmente, aberta a uma justificação operacional. Voltamos a essa questão a seguir.

Teorema de Solér e simetria

(a) Teorema de Solér

Considerar novamente a dualidade estatística (S,E) com as propriedades (a)-(c) de §2c(i). Pela separabilidade de L, qualquer família de elementos mutuamente ortogonais em L é, no máximo, infinitamente infinita. É natural supor que tais seqüências contáveis infinitas existam; por exemplo, em um caso muito natural onde o objeto físico a ser considerado pode ser localizado em um espaço euclidiano, esta condição é garantida. Assumimos assim que há pelo menos uma sequência infinita de átomos ortogonais mútuos em L. Neste caso, o espaço orto-modular (V,K,*,f) associado a L é infinito dimensional e há pelo menos uma sequência infinita de vectores (não zero) (ei)⊂V que é ortogonal; isto é, f(ei,ej)=0 para todos i≠j. O teorema de Solér caracteriza os espaços de Hilbert entre esses espaços orto-modulares.

Teorema 3.1

Deixe (V,K,*,f) ser um espaço orto-modular infinitamente dimensional. Se existe uma sequência ortogonal infinita com a propriedade

3.1

>

então K é(números reais),(números complexos) ou>(quaterniões), e (V,K,*,f) é o espaço Hilbert correspondente. Para, a involução * é o mapa de identidade; para, é a conjugação complexa; e para, é a conjugação quaterniónica.

A ‘condição normal’ adicional (3.1) parece bastante inocente mas é na verdade uma condição muito forte, como pode ser entendido a partir do trabalho de Keller . Embora esta propriedade seja expressa em termos da forma f e não esteja directamente relacionada com as propriedades da dualidade, tem uma ligação com ela através da teoria da simetria.

(b) Simetria

Existem várias formulações naturais da noção de simetria na mecânica quântica e todas elas acabam por ser equivalentes (por exemplo ). Isto permanece válido também para dualidades estatísticas com as propriedades (a)-(c) do §2c(i). Na visão da aplicação da teoria da simetria no contexto do teorema 3.1, adotamos a seguinte definição da noção de simetria: uma simetria é um mapeamento bijectivo ℓ:At(L)→At(L) que é tal que para qualquer p,q∈At(L), os átomos p e q são mutuamente ortogonais se e somente se suas imagens ℓ(p) e ℓ(q) forem tais. Lembre-se que para Lf(V), os átomos e são ortogonais exatamente quando f(v′,u′)=0 para alguns e, portanto, todos os vetores não-zero v′∈, u′∈. Como os átomos e os estados puros estão em correspondência de um para um, podemos igualmente considerar uma simetria como uma bijecção em ex(S), com o entendimento de que a ortogonalidade mútua dos estados puros significa a ortogonalidade mútua dos átomos correspondentes, os suportes dos estados puros.

Como na teoria espacial de Hilbert, qualquer simetria ℓ pode ser implementada por um mapa S actuando sobre o espaço vectorial V subjacente. De facto, estendendo uma simetria ℓ:At(L)→At(L) a uma projectividade de (V,K,*,f), que é uma ordem preservando a bijecção na malha de todo o subespaço de V (e.g. ), o primeiro teorema de representação fundamental da geometria projectiva juntamente com a versão infinitamente dimensional do teorema de Birkhoff-von Neumann dá o seguinte resultado

Theorem 3.2

Para qualquer simetria, existe uma ortogonalidade preservando o mapa g-linear bijectivo S:V →V tal que para qualquer v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Se T é outro mapa h-linear bijectivo V →V induzindo a mesma simetria, então há um λ∈K tal que Sv=λTv para qualquer v∈V . Além disso, há um ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, tal que

3.2

para todos os u,v∈V .

Lembramos que a noção de um mapa g-linear S:V →V significa que S é aditivo em V , g:K→K é um isomorfismo e S(λv)=g(λ)Sv para todos v∈V,λ∈K.

Lemma 3.3

Let , ser quaisquer dois átomos mutuamente ortogonais emLf(V). Se não houver um zero vectorsx′∈ andy′∈ tal que

então há uma simetria ℓ que troca os átomos e , que é ℓ()= e ℓ()= e tem uma sobreposição deles como ponto fixo, ou seja, há um átomo ≤∨ tal que ℓ()=.

Este lema, provado em , sugere que para que uma dualidade estatística (S,E) com as propriedades (a)-(c) do §2c(i) tenha uma realização espacial Hilbert o conjunto de simetrias deve ser suficientemente rico. Vale ressaltar que a noção de superposição de estados puros, que também está por trás da irredutibilidade de L, desempenha um papel nesse lema. Além disso, é interessante lembrar que um objeto quântico é elementar em relação a um grupo de simetria G se existe um homomorfismo de grupo definido em G e tomando valores no conjunto Sym(L) de todas as simetrias de At(L) tal que para qualquer estado puro α∈ex(S) o conjunto {ℓg(α) | g∈G} é completo no sentido de superposições, que é qualquer outro estado puro β∈ex(S) pode ser expresso como uma sobreposição de alguns estados puros ℓg(α), g∈G .

Suma agora que para quaisquer dois átomos mutuamente ortogonais e há uma simetria ℓ tal que ℓ()= e ℓ()= para alguns ≤∨. Que S,g,ρ seja um triplo que implemente ℓ de acordo com o teorema 3.2. Para qualquer y′∈, há um x′∈ tal que Sx′=y′. Então, f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Assumindo que o formulário f é tal que para cada v∈V o número f(v,v) é um elemento de deslocamento de K, ou seja f(v,v)∈Cent(K), então, para qualquer z′∈, Sz′=λz′ para alguns λ∈K, e assim λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Esta equação dá g(ρ)=λλ* desde que g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Depois também f(y′,y′)=f(λx′,λx′), que é o que é necessário no teorema 3.

As observações acima mostram que se o conjunto de simetrias é suficientemente abundante no sentido de que para cada par de átomos ortogonais há uma simetria que troca os átomos e mantém uma sobreposição deles como um ponto fixo e se a forma f é suficientemente regular no sentido de que para cada v∈V , f(v,v)∈Cent(K) e g(f(v,v))=f(v,v) para qualquer automorfismo g de K, então as condições do teorema de Solér são satisfeitas, e portanto o espaço ortodimensional infinito (V,f,*,K) modelando uma dualidade estatística (S,E), com as propriedades (a)-(c) do §2c(i), é um espaço Hilbert sobre ou .

Concluímos que até a questão da regularidade da forma a necessidade de um espaço Hilbert infinitamente dimensional realização da dualidade estatística (S,E) de um sistema quântico é bem entendida.

O caso de

Ficamos com a questão da escolha do campo numérico. Não somos capazes de dar uma resposta definitiva a esta pergunta, mas queremos apontar alguns resultados, basicamente bem conhecidos, que, quando tomados em conjunto, apoiam a escolha do campo complexo como o da mecânica quântica.

É bem conhecido que as estruturas básicas da mecânica quântica são igualmente válidas em cada um dos três casos de um espaço Hilbert infinito sobre ou . Pelo teorema de Gleason , teorema 4.23, os estados do sistema podem ser identificados com os operadores positivos de traço unitário e os observáveis como o operador positivo normalizado mede , com a fórmula de traço tr dando as probabilidades do resultado da medição. Além disso, os observáveis afiados (valor de projeção) estão em correspondência um-a-um com os operadores auto-ajustados , teorema 4.11; para um estudo sistemático da teoria do operador em espaços quaterniônicos Hilbert (ex. ). Além disso, com o teorema de Solér, o teorema 3.2 reduz-se ao teorema de Wigner , teorema 4.29.

É igualmente conhecido que os três casos apresentam algumas diferenças notáveis. É apenas no caso complexo onde os grupos unitários uniparamétricos correspondem, via teorema de Stone, aos operadores auto-ajustados A atuando em . Nos casos reais e quaterniónicos, isto implica alterações importantes na estrutura dos observáveis definidos em termos das suas propriedades de simetria características (ex. , cap. 22, , cap. 18, ). Recordamos também que existem transformações de simetria que só podem ser realizadas no caso complexo (e.g. ). Além disso, a derivabilidade das relações de incerteza tipo Heisenberg-Kennard-Robertson de preparação e a operação de inversão de tempo parecem exigir números complexos (p. ex. , p. 66, , , pp. 47-49). Em particular, parece que uma interpretação sistemática da mecânica quântica em um espaço Hilbert real requer efetivamente sua incorporação em um complexo. Portanto, embora não seja de necessidade lógica, pode-se aplicar a navalha de Occam para colocar de lado o caso real como uma complicação desnecessária quando comparado com a formulação da mecânica quântica num espaço complexo de Hilbert.

E quanto aos quaterniões? Na visão da extensa monografia de Adler, Mecânica Quântica Quântica Quaterniônica e Campos Quânticos , pode-se encontrar fora de lugar questionar esta possibilidade. Entretanto, de um ponto de vista matemático, e também de acordo com , pode-se apontar que a maioria dos resultados importantes da teoria do operador em espaços quaterniônicos Hilbert são obtidos por uma redução ao caso complexo usando a técnica ‘slice’ como aplicada, por exemplo, em . Portanto, como no caso real, a lâmina de barbear de Occam também pode ser usada para excluir as quaterniões. Existe, contudo, um problema fundamental com a mecânica quaterniónica quântica, o problema dos sistemas compostos. Vamos discutir brevemente este ponto a seguir.

A teoria dos sistemas compostos é uma das partes mais essenciais da mecânica quântica, tanto do ponto de vista fundacional como do ponto de vista prático. Portanto, que (S,L,E), (S1,L1,E1) e (S2,L2,E2) sejam as descrições estatísticas de três sistemas quânticos próprios e , respectivamente, e deixe , , i=1,2, dêem suas realizações de espaço Hilbert, sendo K,Ki um de ou em cada caso.

>

Suma que é uma composição de e ; ou seja, e são subsistemas de e é composta por eles e de nada mais. Esta ideia leva a alguns requisitos óbvios relativos às descrições estatísticas dos três sistemas (por exemplo, cap. 24). Em particular, deve haver morfismos unitais injectivos (mapas de reconhecimento) oi:Li→L tal que para cada a1∈L1,a2∈L2, as proposições h1(a1),h2(a2)∈L são compatíveis (conjuntamente mensuráveis), e para quaisquer dois átomos (estados puros) p1∈At(L1) e p2∈At(L2), h1(p1)∧h2(p2) é um átomo (estados puros) de L.

Analogamente com o teorema 3.2, pode-se mostrar que o mapa

pode, no presente contexto, ser implementado por um mapa (g1,g2)-bilinearde tal forma que

(ver , teorema 2.22, ou , teorema 9 e , teorema 24.4.1). Em particular, segue-se que os morfismos gi:Ki→K comutam com as respectivas involuções, ou seja, para cada λi∈Ki, assim como entre si, ou seja g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) para todos λi∈Ki.

Considerar agora o caso quaterniónico; ou seja, assumir que (e assim também ). Como qualquer automorfismo de é interno, agora se tem que ambos os gi são da forma para alguns . Mas não há , com |c1|=|c2|=1, para os quais

>

>>

poderia aguentar para todos. Isto leva-nos a concluir que a mecânica quântica nos espaços quaterniónicos Hilbert é incapaz de descrever os sistemas compostos como formalizados em termos dos mapas de reconhecimento descritos acima. Claramente, este resultado, devido a , está relacionado ao problema do produto tensor dos espaços quaterniônicos Hilbert (ex. ).

Por outro lado, se , então também , teorema 12, neste caso as funções g1,g2 são ou a identidade ou as conjugações complexas. Os quatro casos (g1,g2) conduzem às quatro soluções de produto tensor: , , e , sendo o espaço duplo de (ver ou , cap. 24). Embora os espaços Hilbert subjacentes sejam apenas isomórficos em pares e , as lógicas (árvores de projeção) são isomórficas em cada caso. Portanto, nós as consideramos como equivalentes, e escolhemos usar , as outras escolhas aparecendo assim mais como complicações desnecessárias.

Conclusão

Usando o quadro geral das teorias físicas probabilísticas, pode-se colocar suposições fisicamente plausíveis sobre as possibilidades de preparações e medições num sistema físico, de modo que a teoria resultante toma essencialmente a forma de mecânica quântica num espaço Hilbert infinito sobre os números reais, os números complexos ou os quaterniões. Em cada caso, as características básicas da mecânica quântica permanecem válidas: estados como operadores traço positivo um, observáveis como medidas normalizadas de operador positivo e a regra Born (a fórmula traço) dando as probabilidades de resultado da medição. Nos casos reais e quaterniónicos, no entanto, a definição de observáveis concretos em termos das suas propriedades naturais de simetria torna-se complicada. Estas complicações podem, de qualquer forma, ser resolvidas, no caso real, pela incorporação do espaço real de Hilbert num complexo, no caso quaterniónico, reduzindo a teoria à teoria complexa. Portanto, parece que ambas as opções implicam apenas complicações desnecessárias quando comparadas com a teoria complexa. Além disso, a mecânica quaterniônica sofre por ser incapaz de descrever sistemas compostos.

Acessibilidade de dados

Este artigo não tem dados adicionais.

Contribuições dos autores

Este artigo é um subproduto de uma colaboração de longo prazo entre os autores. Os autores têm contribuições mutuamente enredadas.

Interesses concorrentes

Nós declaramos que não temos interesses concorrentes.

Financiamento

Não recebemos financiamento para este estudo.

Pés

Uma contribuição de 15 para um número temático ‘Segunda revolução quântica: questões fundamentais’.

Dedicamos este artigo ao Professor Maciej Ma̧czynski por ocasião do seu 80º aniversário.