A compulsão dos matemáticos para tornar as coisas cada vez mais complexas é tanto uma bênção como uma maldição. A sua vontade de pegar numa ideia e esticá-la o mais possível pode dar novos e fascinantes insights. O lado negativo é que à medida que a matemática se torna mais abstrata e ganha poder para descrever enormes faixas de conhecimento conceitual, torna-se cada vez mais difícil de descrever em palavras.
Então é com uma cabeça pesada que eu viro o foco desta série sobre os Problemas do Prêmio Millennium para a Conjectura Hodge. É uma intersecção incrível de vários campos da matemática, mas uma dor no toro para resumir. Então como é o Dia Mundial da Matemática começarei com uma promessa: assim que as coisas ficarem demasiado complexas, desistirei enquanto estou à frente.
Humans têm estudado a matemática das formas desde muito antes de um triângulo chamar a atenção de Pitágoras por volta de 500 AC. Ao longo das gerações, formas cada vez mais complicadas foram estudadas até que, cerca de dois mil anos depois, parecia que estavam a ficar sem vapor. Os matemáticos tinham feito tudo o que podiam pensar com as formas, e ao longo do caminho forneceram a base para tudo, desde a engenharia até à pintura em perspectiva. Então, em 1637, um brilhante jovem matemático-filosófico percebeu que se você a abstraísse um passo adiante, a geometria era na verdade a mesma que a álgebra.
Usando o sistema de coordenadas cartesianas que agora leva seu nome, Descartes pensou muito sobre como uma linha geométrica era apenas um conjunto de números. As equações também podem produzir um conjunto de números como suas soluções. Se esses dois conjuntos de números fossem exatamente os mesmos, então uma linha desenhada em um pedaço de papel poderia ser considerada a mesma coisa que a solução para uma equação.
Este foi um momento decisivo em matemática que permitiu que todas as ferramentas desenvolvidas em álgebra fossem aplicadas à geometria. É por isso que o seu professor de matemática da escola ficou tão entusiasmado em converter gráficos lineares em equações: qualquer linha aleatória pode ser pensada como o conjunto de soluções para uma equação como y = mx + c. Qualquer círculo é o conjunto de soluções para (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Agora se você quiser ver onde uma certa linha cruza um determinado círculo você pode desenhar as formas geometricamente ou apenas comparar as equações algebricamente. Ambos os métodos darão a mesma resposta.
Os matemáticos não se contentaram em parar nas linhas e rapidamente descobriram que equações mais complicadas, ou mesmo conjuntos de equações trabalhando em conjunto, poderiam produzir formas surpreendentes em todos os tipos de dimensões. Algumas ainda podiam ser visualizadas como formas – como as equações cujo conjunto de soluções mapeia a superfície de um anel, conhecido como toro – mas muitas delas estavam além do que podemos imaginar e apenas acessíveis por álgebra e uma imaginação muito esticada.
As matemáticos estavam agora lidando com objetos além do que podemos visualizar, essas “formas” ficaram conhecidas em geral como “ciclos algébricos”. Se um ciclo algébrico era uma forma bem suave e geralmente bem comportada, ele também ganhou o título de “múltiplo”.
Duas coisas aconteceram de uma só vez. Primeiro: um grupo de matemáticos conhecidos como topólogos começou a olhar para o que acontece se você desenha formas em um manifold. Você pode imaginar que você tem um donut de anel e desenha um triângulo bem em volta do topo (veja a figura acima). Ou talvez um pentágono.
Atualmente, você precisa de ambos? Se a forma pudesse deslizar e esticar então o triângulo poderia ser distorcido no pentágono. Topólogos agruparam todas as formas que poderiam ser distorcidas de uma para a outra (sem serem levantadas da superfície do colector) em uma “aula de homologia” – um tipo de forma generalizada. Todas as formas que passassem pelo “buraco” do donut formariam uma classe de homologia diferente.
Segundo, um grupo de matemáticos que se autodenominavam algébricos começou a tomar conjuntos de equações que já produziam bons coletores e a adicionar mais equações. Essas equações adicionais produziram novos ciclos algébricos dentro desses coletores.
Não demorou muito para que as pessoas percebessem que os topólogos desenhando classes de homologia em coletores e os algébricos incorporando ciclos algébricos em coletores era na verdade a mesma coisa. Foi uma repetição de quando as formas geométricas encontraram pela primeira vez equações algébricas. A dificuldade era que ninguém sabia ao certo quando uma classe de homologia em um manifold continha pelo menos uma forma que também era descritível como um ciclo algébrico.
Para resumir, um manifold é uma forma estranha (possivelmente de alta dimensão) que pode ser descrita por um conjunto de equações. Adicionando equações extras você teria formas menores, conhecidas como ciclos algébricos, dentro desse coletor.
O problema é: se você desenhasse qualquer forma aleatória – possivelmente desagradável – em um coletor, como você saberia se ele pode ser esticado em uma forma diferente que pode ser descrita como um bom ciclo algébrico?
O matemático escocês William Hodge teve uma grande idéia sobre como você poderia dizer quais classes de homologia em qualquer coletor eram equivalentes a um ciclo algébrico. Só que ele não conseguia provar isso. Se você puder provar que o método dele sempre funciona, então o prêmio de $1m é seu.
O meu problema é que até agora eu tenho falado em termos de coordenadas numéricas comuns e dimensões espaciais normais. A Conjectura Hodge realmente usa o que são conhecidas como coordenadas numéricas complexas e dimensões espaciais complexas. Por mais que eu adorasse descrever toda a conjectura para vocês, este é exatamente o ponto onde eu prometi que iria parar.
Matt Parker é baseado no departamento de matemática da Queen Mary, Universidade de Londres, e pode ser encontrado online em standupmaths.com
Para saber mais sobre a conjectura de Hodge, este vídeo de uma palestra de Dan Freed da Universidade do Texas em Austin é altamente recomendado
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