Puget Sound from the sky, as seen this past winter. (Foto: EcologyWA/Public Domain)

Imagine, por um momento, que você e seu amigo receberam uma tarefa aparentemente simples: medir a linha costeira de Puget Sound, no Estado de Washington. Os recursos são apertados, então você tem uma bitola, enquanto seu amigo tem uma régua com um pé longo. Cada um de vocês caminha, colocando a vara de medir ao longo da borda da água, seguindo os interiores e exteriores da costa o melhor que pode. Quando você termina, você compara notas – e você fica chocado. Enquanto você terminou com um respeitável 3.000 milhas, seu amigo e o seu pé longo conseguiram um número bem maior, em torno de 4.500 milhas.

Vocês não são loucos. Vocês são vítimas do paradoxo da linha costeira, um princípio matemático complicado que mexe com cartógrafos, atrapalha os escritórios do governo e torna impossível saber exatamente quão grande é realmente o nosso mundo.

O paradoxo da linha costeira, em um prático gif. (Imagem: Branden Rishel)

As pessoas têm sido confundidas pelas linhas costeiras desde pelo menos o século V a.C., quando marinheiros atenienses foram supostamente encarregados de medir a costa da Sardenha e voltaram perplexos. Mas o paradoxo revelou-se rigorosamente pela primeira vez em 1951, durante um estudo do conflito armado. Lewis Fry Richardson, um pacifista e matemático, estava tentando descobrir se o comprimento da fronteira compartilhada por dois determinados países tinha alguma influência sobre se eles iriam ou não à guerra.

Ele viu desacordo mesmo na fase de coleta de dados – enquanto procurava o comprimento da fronteira Espanha-Portugal, ele descobriu que a Espanha a tinha traçada como 987 km, enquanto Portugal disse 1214 km. Fascinado por esta descoberta, ele investigou mais a fundo, e descobriu que não só o comprimento das linhas costeiras e certas fronteiras são extremamente variáveis – se você conseguir uma pequena vara de medir, cada uma é efetivamente infinitamente longa.

Esta linha de pensamento foi logo retomada pelo matemático Benoit Mandelbrot, em um jornal de 1967 chamado “Quanto tempo é a costa da Grã-Bretanha? “Aqui está uma pergunta, um básico da geometria da escola primária que, se você pensar nisso, é impossível”, ele disse mais tarde ao New York Times. Para enfrentá-la – e para medir outras formas semelhantes, como nuvens, flocos de neve e montanhas – Mandelbrot inventou o conceito do fractal, uma curva que se torna mais complexa quanto mais se olha de perto para ela.

The Mandelbrot Set, um fractal que provavelmente lhe é familiar na frente de um livro de matemática. (Foto: Wolfgang Beyer/CC BY-SA 3.0)

Considerado abstratamente, o paradoxo da costa é uma coisa inspiradora, prova da impossibilidade de prender tudo, e da irredutibilidade essencial do nosso mundo. A nível prático, no entanto, é uma dor enorme, diz Branden Rishel, um cartógrafo que trabalha na restauração da linha costeira em Puget Sound. Como grande parte do estado de Washington, Puget Sound está cheio de fiordes, recantos infinitos esculpidos na terra pelos glaciares há 15.000 anos. Os fiordes acrescentam muita loucura a uma costa – a Noruega, por exemplo, tem cerca de 18.000 milhas de costa com fiordes, e apenas 1573 milhas se você deixá-los de fora.

Em cima da estranheza matemática pura, as costas estão constantemente mudando, diz Rishel. Bluffs erodem, o nível do mar sobe, as massas de terra lentamente se recuperam de onde os glaciares as empurraram. Todos os dias, as marés entram, deslocando a linha de água a três metros, e depois voltam a sair. “As praias mudam de forma a cada onda”, diz Rishel. “Como você pode fixar isso?”

Você não pode – mesmo quando você realmente quer. Em 2006, o Serviço de Pesquisa do Congresso publicou um memorando chamado “Fronteiras Internacionais dos EUA”: Fatos Breves,” significava assegurar que todos estavam na mesma página sobre exatamente quanta fronteira precisamos pensar sobre a segurança. Mas, mais uma vez, não havia nem mesmo uma mesma página para estar na mesma. “Os dados da ‘linha costeira geral’ neste relatório são baseados em cartas náuticas de grande escala, resultando em uma medida da linha costeira para os 50 estados, totalizando 12.383 milhas”, diz o relatório. “Outra medida usando cartas náuticas de menor escala mais do que duplica esta medida para 29.093 milhas… enquanto os números usados pela NOAA na administração do programa Coastal Zone Management chegam a 88.612 milhas (não incluindo os Grandes Lagos)”

Washington State de muito acima. (Foto: NASA / Domínio Público)

Salgumas vezes, no entanto, as pessoas têm de encontrar uma maneira de concordar. No Estado de Washington, especialistas como Rishel usam o que é chamado de “ShoreZone Shoreline”, que foi desenhado pelo Departamento de Recursos Naturais de Washington no final dos anos 90, baseado em fotos e vídeos tirados de helicópteros de baixo vôo. A versão ShoreZone da costa de Puget Sound tem cerca de 2.500 milhas de comprimento, diz Rishel – um número controlável, ou pelo menos melhor do que “infinito”. Ao concordar com esta aproximação, as pessoas que trabalham para restaurar praias, trilhas onde os peixes desovam, ou construir casas à beira-mar podem ter certeza de que estão falando a mesma língua geográfica.