Electrodinâmica quânticaEditar
Até o advento da mecânica quântica, o único exemplo bem conhecido de simetria de calibre estava no electromagnetismo, e o significado geral do conceito não foi completamente compreendido. Por exemplo, não estava claro se eram os campos E e B ou os potenciais V e A que eram as quantidades fundamentais; se o primeiro, então as transformações de medida poderiam ser consideradas como nada mais do que um truque matemático.
Experimento Aharonov-BohmEditar
Difração de dupla ranhura e padrão de interferência
Em mecânica quântica, uma partícula como um elétron também é descrita como uma onda. Por exemplo, se o experimento de dupla abertura é realizado com elétrons, então um padrão de interferência semelhante a uma onda é observado. O elétron tem a maior probabilidade de ser detectado em locais onde as partes da onda que passam através das duas fendas estão em fase uma com a outra, resultando em interferência construtiva. A frequência da onda de electrões está relacionada com a energia cinética de uma partícula de electrão individual através da relação quantum-mecânica E = hf. Se não houver campos elétricos ou magnéticos presentes nesta experiência, então a energia do elétron é constante e, por exemplo, haverá uma alta probabilidade de detectar o elétron ao longo do eixo central da experiência, onde por simetria as duas partes da onda estão em fase.
Mas agora suponha que os elétrons da experiência estão sujeitos a campos elétricos ou magnéticos. Por exemplo, se um campo elétrico fosse imposto de um lado do eixo, mas não do outro, os resultados do experimento seriam afetados. A parte da onda do elétron que passa por esse lado oscila a uma velocidade diferente, já que sua energia teve -eV adicionado a ele, onde -e é a carga do elétron e V o potencial elétrico. Os resultados da experiência serão diferentes, pois as relações de fase entre as duas partes da onda de electrões mudaram, pelo que as localizações de interferência construtiva e destrutiva serão deslocadas para um lado ou para o outro. É o potencial elétrico que ocorre aqui, não o campo elétrico, e isto é uma manifestação do fato de que são os potenciais e não os campos que são de fundamental importância na mecânica quântica.
Esquemático do experimento de dupla ranhura no qual o efeito Aharonov-Bohm pode ser observado: os elétrons passam por duas fendas, interferindo em uma tela de observação, com o padrão de interferência deslocado quando um campo magnético B é ligado no solenóide cilíndrico, marcado em azul no diagrama.
Explicação com potenciaisEditar
É mesmo possível ter casos em que os resultados de um experimento diferem quando os potenciais são alterados, mesmo que nenhuma partícula carregada seja exposta a um campo diferente. Um exemplo disso é o efeito Aharonov-Bohm, mostrado na figura. Neste exemplo, ligar o solenóide apenas causa a existência de um campo magnético B dentro do solenóide. Mas o solenóide foi posicionado para que o electrão não possa passar pelo seu interior. Se se acreditasse que os campos eram as quantidades fundamentais, então seria de esperar que os resultados da experiência se mantivessem inalterados. Na realidade, os resultados são diferentes, pois ligar o solenóide alterou o potencial vetorial A na região por onde os elétrons passam. Agora que foi estabelecido que são os potenciais V e A que são fundamentais, e não os campos E e B, podemos ver que as transformações de medida, que mudam V e A, têm real significado físico, ao invés de serem artefatos meramente matemáticos.
Invariância de medida: os resultados dos experimentos são independentes da escolha da medida para os potenciaisEditar
Notem que nesses experimentos, a única quantidade que afeta o resultado é a diferença de fase entre as duas partes da onda de elétrons. Imaginemos as duas partes da onda de electrões como pequenos relógios, cada um com uma única mão que varre em círculo, mantendo o registo da sua própria fase. Embora esta caricatura ignore alguns detalhes técnicos, ela retém os fenômenos físicos que são importantes aqui. Se ambos os relógios são acelerados pela mesma quantidade, a relação de fase entre eles permanece inalterada, e os resultados das experiências são os mesmos. Não só isso, mas nem sequer é necessário alterar a velocidade de cada relógio por uma quantidade fixa. Poderíamos mudar o ângulo do ponteiro em cada relógio por uma quantidade variável θ, onde θ poderia depender tanto da posição no espaço como do tempo. Isto não teria efeito no resultado da experiência, já que a observação final da localização do elétron ocorre em um único lugar e hora, de modo que a mudança de fase no “relógio” de cada elétron seria a mesma, e os dois efeitos se cancelariam. Este é outro exemplo de uma transformação de medida: é local, e não altera os resultados dos experimentos.
SummaryEdit
Em resumo, a simetria de medida atinge sua importância total no contexto da mecânica quântica. Na aplicação da mecânica quântica ao eletromagnetismo, ou seja, à eletrodinâmica quântica, a simetria de medida aplica-se tanto às ondas eletromagnéticas quanto às ondas eletrônicas. Estas duas simetrias de medida estão, de facto, intimamente relacionadas. Se uma transformação de bitola θ é aplicada às ondas elétricas, por exemplo, então também se deve aplicar uma transformação correspondente aos potenciais que descrevem as ondas eletromagnéticas. A simetria de medida é necessária para tornar a eletrodinâmica quântica uma teoria renormalizável, ou seja, a simetria de medida é necessária para tornar a eletrodinâmica quântica uma teoria renormalizável, ou seja uma teoria na qual as previsões calculadas de todas as quantidades fisicamente mensuráveis são finitas.
Tipos de simetrias de medidaEditar
A descrição dos elétrons na subseção acima como pequenos relógios é na verdade uma declaração das regras matemáticas segundo as quais as fases dos elétrons devem ser adicionadas e subtraídas: elas devem ser tratadas como números comuns, exceto que no caso em que o resultado do cálculo estiver fora da faixa de 0≤θ<360°, nós forçamos a “enrolar” na faixa permitida, que cobre um círculo. Outra forma de colocar isto é que um ângulo de fase de, digamos, 5° é considerado como sendo completamente equivalente a um ângulo de 365°. As experiências têm verificado esta afirmação verificável sobre os padrões de interferência formados por ondas de electrões. Com exceção da propriedade “wrap-around”, as propriedades algébricas desta estrutura matemática são exatamente as mesmas que as dos números reais comuns.
Em terminologia matemática, as fases dos elétrons formam um grupo abeliano sob adição, chamado de grupo de círculo ou U(1). “Abeliano” significa que a adição se comuta, de modo que θ + φ = φ + θ. Grupo significa que a adição associa e tem um elemento de identidade, nomeadamente “0”. Além disso, para cada fase existe um inverso tal que a soma de uma fase e seu inverso é 0. Outros exemplos de grupos abelianos são os inteiros sob adição, 0, e negação, e as frações não-zero sob produto, 1, e recíproco.
Fixação de um cilindro torcido.
Como uma forma de visualizar a escolha de um calibrador, considere se é possível dizer se um cilindro foi torcido. Se o cilindro não tiver saliências, marcas, ou arranhões, não podemos dizer. Podemos, no entanto, traçar uma curva arbitrária ao longo do cilindro, definida por alguma função θ(x), onde x mede a distância ao longo do eixo do cilindro. Uma vez feita esta escolha arbitrária (a escolha do calibre), torna-se possível detectar se mais tarde alguém torce o cilindro.
Em 1954, Chen Ning Yang e Robert Mills propuseram generalizar estas ideias a grupos não-comutativos. Um grupo de medida não-comutativa pode descrever um campo que, ao contrário do campo eletromagnético, interage com ele mesmo. Por exemplo, a relatividade geral afirma que os campos gravitacionais têm energia, e a relatividade especial conclui que a energia é equivalente à massa. Portanto, um campo gravitacional induz um campo gravitacional adicional. As forças nucleares também têm esta propriedade de autointeração.
Bosons de bitolaEditar
Surprendentemente, a simetria de bitola pode dar uma explicação mais profunda para a existência de interações, tais como as interações elétrica e nuclear. Isto surge de um tipo de simetria de bitola relacionada ao fato de que todas as partículas de um determinado tipo são experimentalmente indistinguíveis umas das outras. Imagine que Alice e Betty são gêmeas idênticas, rotuladas à nascença por pulseiras que lêem A e B. Como as meninas são idênticas, ninguém seria capaz de dizer se elas tivessem sido trocadas à nascença; os rótulos A e B são arbitrários, e podem ser trocados. Uma troca tão permanente das suas identidades é como uma simetria global de medida. Há também uma simetria de medida local correspondente, que descreve o fato de que de um momento para o outro, Alice e Betty poderiam trocar de papéis enquanto ninguém estava olhando, e ninguém seria capaz de dizer. Se observarmos que o vaso favorito da mãe está partido, podemos apenas inferir que a culpa pertence a um ou outro gémeo, mas não podemos dizer se a culpa é 100% da Alice e 0% da Betty, ou vice-versa. Se Alice e Betty são de fato partículas quantum-mecânicas e não pessoas, então elas também têm propriedades de ondas, incluindo a propriedade da superposição, que permite que as ondas sejam adicionadas, subtraídas e misturadas arbitrariamente. Por conseguinte, não estamos sequer restritos a trocas completas de identidade. Por exemplo, se observarmos que existe uma certa quantidade de energia num determinado local no espaço, não há nenhuma experiência que nos possa dizer se essa energia é 100% A e 0% B, 0% A e 100% B, ou 20% A e 80% B, ou alguma outra mistura. O facto de a simetria ser local significa que não podemos sequer contar com estas proporções para nos mantermos fixos à medida que as partículas se propagam através do espaço. Os detalhes de como isto é representado matematicamente dependem de questões técnicas relacionadas com as giros das partículas, mas para os nossos propósitos atuais consideramos uma partícula sem giros, para a qual se verifica que a mistura pode ser especificada por alguma escolha arbitrária de bitola θ(x), onde um ângulo θ = 0° representa 100% A e 0% B, θ = 90° significa 0% A e 100% B, e ângulos intermediários representam misturas.
De acordo com os princípios da mecânica quântica, as partículas não têm trajetórias através do espaço. O movimento só pode ser descrito em termos de ondas, e o momento p de uma partícula individual está relacionado ao seu comprimento de onda λ por p = h/λ. Em termos de medidas empíricas, o comprimento de onda só pode ser determinado observando-se uma mudança na onda entre um ponto no espaço e outro ponto próximo (matematicamente, por diferenciação). Uma onda com um comprimento de onda mais curto oscila mais rapidamente e, portanto, muda mais rapidamente entre pontos próximos. Agora suponha que fixamos arbitrariamente um medidor em um ponto do espaço, dizendo que a energia nesse local é de 20% A e 80% B. Medimos então as duas ondas em algum outro ponto próximo, a fim de determinar os seus comprimentos de onda. Mas há duas razões completamente diferentes para que as ondas possam ter mudado. Elas poderiam ter mudado porque estavam oscilando com um certo comprimento de onda, ou poderiam ter mudado porque a função de medida mudou de uma mistura de 20-80 para, digamos, 21-79. Se ignorarmos a segunda possibilidade, a teoria resultante não funciona; estranhas discrepâncias de momentum irão aparecer, violando o princípio da conservação do momentum. Algo na teoria deve ser mudado.
Again there are technical issues relating to spin, but in several important cases, including electrically charged particles and particles interacting via nuclear forces, the solution to the problem is to impute physical reality to the gauge function θ(x). Dizemos que se a função θ oscila, ela representa um novo tipo de onda quântico-mecânica, e essa nova onda tem seu próprio momento p = h/λ, o que acaba remendando as discrepâncias que de outra forma teriam quebrado a conservação do momento. No contexto do eletromagnetismo, as partículas A e B seriam partículas carregadas, como elétrons, e a onda mecânica quântica representada por θ seria o campo eletromagnético. (Aqui ignoramos as questões técnicas levantadas pelo fato de que os elétrons realmente têm spin 1/2, e não spin zero. Esta sobre-simplificação é a razão pela qual o campo de medição θ se revela um escalar, enquanto que o campo eletromagnético é na verdade representado por um vetor composto por V e A.) O resultado é que temos uma explicação para a presença de interações eletromagnéticas: se tentarmos construir uma teoria de bitola simétrica de partículas idênticas, não-interagentes, o resultado não é autoconsistente, e só pode ser reparado pela adição de campos elétricos e magnéticos que causam a interação das partículas.
Embora a função θ(x) descreva uma onda, as leis da mecânica quântica exigem que ela também tenha propriedades de partícula. No caso do eletromagnetismo, a partícula correspondente às ondas eletromagnéticas é o fóton. Em geral, tais partículas são chamadas de bósons calibre, onde o termo “bóson” se refere a uma partícula com spin inteiro. Nas versões mais simples da teoria, os bósons bitola são sem massa, mas também é possível construir versões nas quais eles têm massa, como é o caso dos bósons bitola que transmitem as forças de decaimento nuclear.