Homotopia, em matemática, uma forma de classificar regiões geométricas através do estudo dos diferentes tipos de caminhos que podem ser traçados na região. Dois caminhos com pontos finais comuns são chamados homotópicos se um puder ser continuamente deformado no outro, deixando os pontos finais fixos e permanecendo dentro da sua região definida. Na parte A da figura, a região sombreada tem um buraco; f e g são caminhos homotópicos, mas g′ não é homotópico para f ou g já que g′ não pode ser deformado em f ou g sem passar pelo buraco e deixar a região.

Mais formalmente, a homotopia envolve definir um caminho através do mapeamento de pontos no intervalo de 0 a 1 para pontos na região de forma contínua – isto é, de modo que os pontos vizinhos no intervalo correspondam aos pontos vizinhos no caminho. Um mapa de homotopia h(x, t) é um mapa contínuo que associa duas trajetórias adequadas, f(x) e g(x), uma função de duas variáveis x e t que é igual a f(x) quando t = 0 e igual a g(x) quando t = 1. O mapa corresponde à idéia intuitiva de uma deformação gradual sem sair da região, uma vez que t muda de 0 para 1. Por exemplo, h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) é uma função homotópica para os caminhos f e g na parte A da figura; os pontos f(x) e g(x) são unidos por um segmento de linha reta, e para cada valor fixo de t, h(x, t) define um caminho unindo os mesmos dois pontos finais.

De particular interesse são os caminhos homotópicos começando e terminando em um único ponto (ver parte B da figura). A classe de todos esses caminhos homotópicos entre si numa determinada região geométrica é chamada de classe homotópica. Ao conjunto de todas essas classes pode ser dada uma estrutura algébrica chamada grupo, o grupo fundamental da região, cuja estrutura varia de acordo com o tipo de região. Numa região sem buracos, todos os caminhos fechados são homotópicos e o grupo fundamental é constituído por um único elemento. Numa região com um único furo, todos os caminhos são homotópicos que serpenteiam ao redor do buraco o mesmo número de vezes. Na figura, as vias a e b são homotópicas, assim como as vias c e d, mas a via e não é homotópica a nenhuma das outras vias.

Um define da mesma forma as vias homotópicas e o grupo fundamental de regiões em três ou mais dimensões, assim como sobre colectores gerais. Em dimensões superiores também se pode definir grupos homotópicos de dimensões superiores.