Lei de Bernoulli
Até agora o foco tem sido fluidos em repouso. Esta seção trata de fluidos que estão em movimento de forma estável, de tal forma que a velocidade do fluido em cada ponto dado no espaço não está mudando com o tempo. Qualquer padrão de fluxo que esteja estável neste sentido pode ser visto em termos de um conjunto de linhas de fluxo, as trajetórias de partículas imaginárias suspensas no fluido e levadas junto com ele. Em fluxo estável, o fluido está em movimento, mas as linhas de fluxo são fixas. Onde as linhas de fluxo se aglomeram, a velocidade do fluido é relativamente alta; onde elas se abrem, o fluido torna-se relativamente estagnado.
Quando Euler e Bernoulli estavam lançando as bases da hidrodinâmica, eles trataram o fluido como uma substância invisível idealizada na qual, como em um fluido em repouso em equilíbrio, as tensões de cisalhamento associadas à viscosidade são zero e a pressão p é isotrópica. Eles chegaram a uma lei simples relacionando a variação de p ao longo de uma linha de racionalização com a variação de v (o princípio é creditado a Bernoulli, mas Euler parece ter chegado a ele primeiro), o que serve para explicar muitos dos fenômenos que os fluidos reais em movimento constante exibem. À inevitável questão de quando e porque se justifica negligenciar a viscosidade, não há uma resposta única. Algumas respostas serão dadas mais tarde neste artigo, mas outros assuntos serão abordados primeiro.
Considerar um pequeno elemento de fluido de massa m, que – a partir da força sobre ele devido à gravidade – é agido apenas por uma pressão p. Esta última é isotrópica e não varia com o tempo, mas pode variar de ponto para ponto no espaço. É uma consequência bem conhecida das leis de Newton que, quando uma partícula de massa m se move sob a influência do seu peso mg e uma força adicional F de um ponto P onde sua velocidade é vP e sua altura é zP para um ponto Q onde sua velocidade é vQ e sua altura é zQ, o trabalho feito pela força adicional é igual ao aumento da energia cinética e potencial da partícula – ou seja, que
No caso do elemento fluido em consideração, F pode estar relacionado de forma simples com o gradiente da pressão, e encontra-se
Se as variações da densidade do fluido ao longo da linha de escoamento de P a Q são negligenciavelmente pequenas, o factor ρ-1 pode ser tomado fora da integral do lado direito de (131), que por sua vez se reduz para ρ-1(pQ – pP). Então (130) e (131) podem ser combinados para obter
Desde que isto se aplica a quaisquer dois pontos que podem ser visitados por um único elemento de fluido, pode-se deduzir imediatamente o importante resultado da Bernoulli (ou Euler) de que ao longo de cada linha de fluxo constante de um fluido invisível a quantidade
é constante.
Em que circunstâncias as variações da densidade são negligenciavelmente pequenas? Quando são muito pequenas em comparação com a densidade em si – ou seja, quando
onde o símbolo Δ é usado para representar a extensão da variação ao longo de uma linha de fluxo da quantidade que a segue, e onde Vs é a velocidade do som (veja abaixo Fluxo compressível em gases). Esta condição é satisfeita para todos os problemas de fluxo que têm a ver com a água, que são discutidos abaixo. Se o fluido for ar, ele é adequadamente satisfeito desde que a maior excursão em z esteja na ordem de metros em vez de quilómetros e desde que a velocidade do fluido seja em todo o lado inferior a cerca de 100 metros por segundo.
Bernoulli indica que, se um fluido invisível estiver a fluir ao longo de uma tubagem de secção transversal variável, então a pressão é relativamente baixa nas constrições onde a velocidade é alta e relativamente alta onde a tubagem se abre e o fluido estagna. Muitas pessoas acham esta situação paradoxal quando a encontram pela primeira vez. Certamente, dizem eles, uma constrição deve aumentar a pressão local em vez de diminuí-la. O paradoxo evapora quando se aprende a pensar que a pressão muda ao longo da tubulação como causa e a velocidade muda como efeito, ao invés do contrário; é apenas porque a pressão cai em uma constrição que o gradiente de pressão a montante da constrição tem o sinal certo para fazer o fluido acelerar.
Paradoxical ou não, as previsões baseadas na lei de Bernoulli são bem-verificadas pela experiência. Tente segurar duas folhas de papel de modo que elas fiquem penduradas verticalmente dois centímetros ou mais e soprem para baixo para que haja uma corrente de ar entre elas. As folhas serão unidas pela redução da pressão associada a esta corrente. Os navios são puxados juntos pela mesma razão se estiverem se movendo através da água na mesma direção, à mesma velocidade e com uma pequena distância entre eles. Neste caso, a corrente resulta do deslocamento da água pela proa de cada nave, que tem de fluir para trás para preencher o espaço criado à medida que a popa avança, e a corrente entre as naves, para a qual ambas contribuem, é mais forte do que a corrente que passa pelos seus lados exteriores. Como outra experiência simples, ouça o som sibilante feito por uma torneira que está quase, mas não totalmente, fechada. O que acontece neste caso é que o fluxo é tão apertado e a velocidade dentro da constrição tão alta que a pressão na constrição é realmente negativa. Assistido pelos gases dissolvidos que normalmente estão presentes, a água cavita ao passar, e o ruído que se ouve é o som de pequenas bolhas que caem à medida que a água abranda e a pressão sobe novamente do outro lado.
Dois dispositivos práticos que são usados pelos engenheiros hidráulicos para monitorar o fluxo de líquidos através de tubos são baseados na lei de Bernoulli. Um é o tubo venturi, de comprimento curto com uma constrição de forma padrão (ver Figura 5A), que pode ser inserido no tubo propriamente dito. Se a velocidade no ponto P, onde o tubo tem uma secção transversal AP, é vP e a velocidade na constrição, onde a área é AQ, é vQ, a condição de continuidade – a condição de que a massa que flui através do tubo por unidade de tempo tem de ser a mesma em todos os pontos ao longo do seu comprimento -sugestões que ρPAPvP = ρQAQvQ, ou que APvP = AQvQ se a diferença entre ρP e ρQ for insignificante. Então a lei de Bernoulli indica 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Assim se deve ser capaz de encontrar vP, e portanto a quantidade Q (= APvP) a que os engenheiros se referem como a taxa de descarga, medindo a diferença de nível h do fluido nos dois tubos laterais mostrados no diagrama. A baixas velocidades a diferença de pressão (pP – pQ) é muito afectada pela viscosidade (ver abaixo Viscosidade), e a equação (135) não é fiável em consequência. O tubo venturi é normalmente utilizado, contudo, quando a velocidade é suficientemente grande para que o fluxo seja turbulento (ver abaixo Turbulência). Em tal circunstância, a equação (135) prediz valores para Q que concordam com valores medidos por meios mais diretos para dentro de poucas partes por cento, mesmo que o padrão de fluxo não seja realmente estável em absoluto.
O outro dispositivo é o tubo pitot, que é ilustrado na Figura 5B. As linhas de fluxo do fluido se dividem conforme se aproximam da extremidade romba deste tubo, e no ponto marcado Q no diagrama há uma estagnação completa, já que o fluido neste ponto não está se movendo nem para cima, nem para baixo, nem para a direita. Segue imediatamente da lei de Bernoulli que
Como com o tubo venturi, deve ser possível encontrar o vP a partir da diferença de nível h.
Um outro resultado simples merece ser mencionado aqui. Trata-se de um jacto de fluido que emerge através de um orifício na parede de um recipiente cheio de líquido sob pressão. A observação dos jactos mostra que depois de emergir estreitam ligeiramente antes de assentarem numa secção transversal mais ou menos uniforme, conhecida como vena contracta. Eles fazem isso porque as linhas de fluxo estão convergindo no buraco dentro do vaso e são obrigados a continuar convergindo por um curto período de tempo fora. Foi Torricelli quem primeiro sugeriu que, se o excesso de pressão dentro do vaso é gerado por uma cabeça de h líquido, então a velocidade v na vena contracta é a velocidade que uma partícula livre alcançaria ao cair através de uma altura h-i.e, que
Este resultado é uma consequência imediata, para um fluido invisível, do princípio de conservação de energia que a lei de Bernoulli consagra.
Na secção seguinte, a lei de Bernoulli é usada de forma indirecta para estabelecer uma fórmula para a velocidade a que as perturbações viajam sobre a superfície da água rasa. A explicação de vários fenômenos interessantes relacionados com ondas de água está enterrada nesta fórmula. Fenômenos análogos que lidam com ondas sonoras em gases são discutidos abaixo em Fluxo compressível em gases, onde uma forma alternativa da lei de Bernoulli é introduzida. Esta forma da lei é restrita a gases em fluxo constante, mas não se restringe a velocidades de fluxo que são muito inferiores à velocidade do som. A complicação que a viscosidade representa é novamente ignorada ao longo destas duas seções.