Este texto apresenta uma introdução de nível de pós-graduação em geometria diferencial para estudantes de Matemática e Física. A exposição segue o desenvolvimento histórico dos conceitos de conexão e curvatura com o objetivo de explicar a teoria de Chern-Weil das aulas características em um feixe principal. Ao longo do percurso encontramos alguns dos pontos altos da história da geometria diferencial, por exemplo, o Theorema Egregium de Gauss e o teorema de Gauss-Bonnet. Exercícios ao longo do livro testam a compreensão do leitor sobre o material e às vezes ilustram extensões da teoria. Inicialmente, os pré-requisitos para o leitor incluem uma familiaridade passageira com os coletores. Após o primeiro capítulo, torna-se necessário compreender e manipular as formas diferenciais. Um conhecimento da coomologia de Rham é necessário para o último terço do texto.

Material pré-requisito está contido no texto do autor Uma Introdução aos Manifolds, e pode ser aprendido em um semestre. Para o benefício do leitor e para estabelecer notações comuns, o Apêndice A relembra as noções básicas da teoria dos manifestos. Adicionalmente, numa tentativa de tornar a exposição mais auto-contida, seções sobre construções algébricas como o produto tensor e a potência exterior são incluídas.

Diferencial geometria, como o seu nome implica, é o estudo da geometria usando cálculo diferencial. Ela remonta a Newton e Leibniz no século XVII, mas foi só no século XIX, com o trabalho de Gauss nas superfícies e Riemann no tensor de curvatura, que a geometria diferencial floresceu e sua fundação moderna foi colocada. Ao longo dos últimos cem anos, a geometria diferencial provou ser indispensável para a compreensão do mundo físico, na teoria geral da relatividade de Einstein, na teoria da gravitação, na teoria da bitola, e agora na teoria das cordas. A geometria diferencial também é útil em topologia, diversas variáveis complexas, geometria algébrica, coletores complexos e sistemas dinâmicos, entre outros campos. O campo tem até encontrado aplicações para agrupar teoria como no trabalho de Gromov e para a teoria da probabilidade como no trabalho de Diaconis. Não é muito rebuscado argumentar que a geometria diferencial deveria estar no arsenal de todos os matemáticos.