Przymus matematyków do tworzenia rzeczy coraz bardziej złożonych jest zarówno błogosławieństwem, jak i przekleństwem. Ich pęd do wzięcia pomysłu i rozciągnięcia go tak daleko, jak to tylko możliwe, może przynieść fascynujące nowe odkrycia. Minusem jest to, że w miarę jak matematyka staje się bardziej abstrakcyjna i zyskuje moc opisywania ogromnych połaci wiedzy pojęciowej, staje się coraz trudniejsza do opisania słowami.
Więc z ciężką głową kieruję uwagę tej serii poświęconej problemom związanym z Nagrodą Milenijną na Koncepcję Hodge’a. Jest to niesamowite skrzyżowanie różnych dziedzin matematyki, ale ból w torusie, aby podsumować. Więc jako że jest to Światowy Dzień Matematyki, zacznę od obietnicy: jak tylko sprawy staną się zbyt skomplikowane, zrezygnuję, póki jestem do przodu.
Ludzie studiowali matematykę kształtów na długo przed tym, jak trójkąt po raz pierwszy wpadł w oko Pitagorasowi około 500 r. p.n.e.. Z biegiem pokoleń badano coraz bardziej skomplikowane kształty, aż około dwa tysiące lat później wydawało się, że nie mają już sił. Matematycy zrobili z kształtami wszystko, co mogli wymyślić, i po drodze stworzyli podstawy wszystkiego, od inżynierii po malarstwo perspektywiczne. Wtedy, w 1637 roku, bystry młody matematyk-filozof zdał sobie sprawę, że jeśli abstrahować o jeden krok dalej, geometria jest w rzeczywistości tym samym, co algebra.
Używając kartezjańskiego układu współrzędnych, który teraz nosi jego imię, Kartezjusz zrobił wiele przemyśleń na temat tego, jak linia geometryczna była po prostu zbiorem liczb. Równania mogą również produkować zestaw liczb jako ich rozwiązania. Jeśli oba te zbiory liczb byłyby dokładnie takie same, wtedy linia narysowana na kartce papieru mogłaby być uważana za to samo, co rozwiązanie równania.
To był przełomowy moment w matematyce, który pozwolił na zastosowanie wszystkich narzędzi opracowanych w algebrze do geometrii. To dlatego twój szkolny nauczyciel matematyki był tak podekscytowany przekształcaniem wykresów liniowych w równania: każda przypadkowa linia może być uważana za zbiór rozwiązań równania takiego jak y = mx + c. Każdy okrąg jest zbiorem rozwiązań równania (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Teraz, jeśli chcesz zobaczyć, gdzie dana linia przecina dany okrąg, możesz albo narysować kształty geometrycznie, albo po prostu porównać równania algebraicznie. Obie metody dadzą tę samą odpowiedź.
Matematycy nie byli zadowoleni z poprzestania na liniach i szybko odkryli, że bardziej skomplikowane równania, a nawet zestawy równań pracujących razem, mogą produkować niesamowite kształty we wszystkich rodzajach wymiarów. Niektóre z nich nadal można było wyobrazić sobie jako kształty – takie jak równania, których zbiór rozwiązań odwzorowuje powierzchnię pierścienia, znanego jako torus – ale wiele z nich wykraczało poza to, co możemy sobie wyobrazić i było dostępnych tylko dzięki algebrze i bardzo rozciągniętej wyobraźni.
Jako że matematycy mieli teraz do czynienia z obiektami wykraczającymi poza to, co możemy sobie wyobrazić, te „kształty” stały się ogólnie znane jako „cykle algebraiczne”. Jeśli cykl algebraiczny był ładnym, gładkim i ogólnie dobrze zachowującym się kształtem, zyskał również miano „rozmaitości”.
Dwie rzeczy wydarzyły się jednocześnie. Po pierwsze: grupa matematyków zwanych topologami zaczęła badać, co się stanie, jeśli narysujemy kształty na rozmaitości. Możesz sobie wyobrazić, że masz pączek pierścieniowy i rysujesz trójkąt dookoła jego wierzchołka (patrz rysunek powyżej). A może pięciokąt.
Właściwie, czy potrzebujesz obu? Jeśli kształt może przesuwać i rozciągać wtedy trójkąt może być zniekształcony do pięciokąta. Topolodzy zgrupowali wszystkie kształty, które mogą być zniekształcone z jednego do drugiego (bez usuwania ich z powierzchni rozmaitości) w „klasę homologii” – rodzaj uogólnionego kształtu. Wszystkie kształty, które przechodzą przez „dziurę” w pączku, tworzyłyby inną klasę homologii.
Po drugie, grupa matematyków, którzy nazywali siebie algebraistami, zaczęła brać zestawy równań, które już produkowały ładne, schludne rozmaitości i dodawać do nich kolejne równania. Te dodatkowe równania produkowały nowe cykle algebraiczne w obrębie tych rozmaitości.
Nie minęło wiele czasu, zanim ludzie zdali sobie sprawę, że topologowie rysujący klasy homologii na rozmaitościach i algebraiści osadzający cykle algebraiczne w rozmaitościach to właściwie ta sama rzecz. Było to powtórzenie sytuacji, gdy figury geometryczne po raz pierwszy spotkały się z równaniami algebraicznymi. Trudność polegała na tym, że nikt nie wiedział na pewno, kiedy klasa homologii na rozmaitości zawierała przynajmniej jeden kształt, który można było opisać również jako cykl algebraiczny.
Podsumowując, rozmaitość jest dziwnym (być może wielowymiarowym) kształtem, który można opisać za pomocą zestawu równań. Dodanie dodatkowych równań daje mniejsze kształty, znane jako cykle algebraiczne, w obrębie tej rozmaitości.
Problem polega na tym, że jeśli narysujemy dowolny losowy – możliwe, że paskudny – kształt na rozmaitości, skąd będziemy wiedzieć, czy można go rozciągnąć do innego kształtu, który można opisać jako ładny cykl algebraiczny?
Szkocki matematyk William Hodge miał świetny pomysł na to, jak można powiedzieć, które klasy homologii na danej rozmaitości są równoważne cyklowi algebraicznemu. Tylko nie potrafił tego udowodnić. Jeśli potrafisz udowodnić, że jego metoda zawsze działa, nagroda w wysokości 1 miliona dolarów jest twoja.
Mój problem polega na tym, że do tej pory mówiłem w kategoriach ładnych zwykłych współrzędnych liczbowych i normalnych wymiarów przestrzennych. Domniemanie Hodge’a w rzeczywistości używa tego, co znane jest jako współrzędne liczb zespolonych i złożone wymiary przestrzenne. Więc tak bardzo, jak chciałbym opisać dla Ciebie całe to przypuszczenie, jest to dokładnie ten punkt, w którym obiecałem, że przestanę.
Matt Parker pracuje na wydziale matematyki w Queen Mary, University of London, i można go znaleźć online pod adresem standupmaths.com
Aby dowiedzieć się więcej o domniemaniu Hodge’a, to wideo z wykładu Dana Freeda z University of Texas at Austin jest bardzo polecane
- Share on Facebook
- Share on Twitter
- Share via Email
- Share on LinkedIn
- Share on Pinterest
- Share on WhatsApp
- Share on Messenger
.