Elektrodynamika kwantowaEdit

Do czasu pojawienia się mechaniki kwantowej, jedyny dobrze znany przykład symetrii gauge występował w elektromagnetyzmie, a ogólne znaczenie tego pojęcia nie było w pełni zrozumiałe. Na przykład nie było jasne, czy to pola E i B, czy potencjały V i A są wielkościami fundamentalnymi; jeśli te pierwsze, to przekształcenia gauge’a można było uznać za nic więcej niż matematyczną sztuczkę.

Eksperyment Aharonova-BohmaEdit

W mechanice kwantowej cząstka taka jak elektron jest również opisywana jako fala. Na przykład, jeśli eksperyment z podwójną szczeliną jest wykonywany z elektronami, to obserwuje się falowy wzór interferencji. Elektron ma największe prawdopodobieństwo wykrycia w miejscach, w których części fali przechodzącej przez dwie szczeliny są w fazie ze sobą, co powoduje interferencję konstruktywną. Częstotliwość fali elektronowej jest związana z energią kinetyczną pojedynczej cząstki elektronu poprzez kwantowo-mechaniczną zależność E = hf. Jeżeli w tym eksperymencie nie ma pól elektrycznych lub magnetycznych, to energia elektronu jest stała i, na przykład, będzie duże prawdopodobieństwo wykrycia elektronu wzdłuż centralnej osi eksperymentu, gdzie przez symetrię dwie części fali są w fazie.

Ale teraz załóżmy, że elektrony w eksperymencie są poddane działaniu pól elektrycznych lub magnetycznych. Na przykład, gdyby pole elektryczne było nałożone po jednej stronie osi, ale nie po drugiej, wyniki eksperymentu zostałyby zakłócone. Część fali elektronowej przechodząca przez tę stronę drga z inną szybkością, ponieważ jej energia ma dodaną wartość -eV, gdzie -e jest ładunkiem elektronu, a V potencjałem elektrycznym. Wyniki doświadczenia będą inne, ponieważ zmieniły się relacje fazowe pomiędzy dwoma częściami fali elektronowej, a więc miejsca interferencji konstruktywnej i destruktywnej będą przesunięte w jedną lub drugą stronę. Mamy tu do czynienia z potencjałem elektrycznym, a nie z polem elektrycznym i jest to przejaw tego, że to potencjały, a nie pola mają fundamentalne znaczenie w mechanice kwantowej.

Objaśnienia z potencjałamiEdit

Możliwe są nawet przypadki, w których wyniki eksperymentu różnią się po zmianie potencjałów, nawet jeśli żadna naładowana cząstka nigdy nie jest wystawiona na działanie innego pola. Jednym z takich przykładów jest efekt Aharonova-Bohma, pokazany na rysunku. W tym przykładzie, włączenie solenoidu powoduje jedynie powstanie pola magnetycznego B wewnątrz solenoidu. Solenoid został jednak tak umieszczony, że elektron nie może przejść przez jego wnętrze. Gdybyśmy wierzyli, że pola są wielkościami fundamentalnymi, to oczekiwalibyśmy, że wyniki eksperymentu pozostaną niezmienione. W rzeczywistości wyniki są inne, ponieważ włączenie solenoidu zmieniło potencjał wektorowy A w obszarze, przez który przechodzą elektrony. Teraz, gdy ustaliliśmy, że to potencjały V i A są fundamentalne, a nie pola E i B, możemy zobaczyć, że przekształcenia miernika, które zmieniają V i A, mają rzeczywiste znaczenie fizyczne, a nie są tylko matematycznymi artefaktami.

Niezmienniczość miernika: wyniki eksperymentów są niezależne od wyboru miernika dla potencjałówEdit

Zauważmy, że w tych eksperymentach jedyną wielkością, która wpływa na wynik jest różnica w fazie pomiędzy dwoma częściami fali elektronowej. Przypuśćmy, że wyobrazimy sobie te dwie części fali elektronowej jako małe zegary, każdy z pojedynczą wskazówką, która obraca się po okręgu, śledząc swoją własną fazę. Chociaż ten rysunek pomija pewne szczegóły techniczne, to jednak zachowuje zjawiska fizyczne, które są tutaj ważne. Jeśli oba zegary zostaną przyspieszone o tę samą wartość, związek fazowy między nimi pozostanie niezmieniony, a wyniki eksperymentów będą takie same. Mało tego, nie jest nawet konieczne zmienianie prędkości każdego z zegarów o stałą wartość. Moglibyśmy zmieniać kąt nachylenia wskazówki każdego z zegarów o zmienną wartość θ, gdzie θ może zależeć zarówno od położenia w przestrzeni, jak i od czasu. Nie miałoby to żadnego wpływu na wynik eksperymentu, ponieważ ostateczna obserwacja położenia elektronu następuje w jednym miejscu i czasie, więc przesunięcie fazowe w każdym „zegarze” elektronowym byłoby takie samo, a oba efekty zniosłyby się. Jest to kolejny przykład transformacji gauge’a: jest ona lokalna i nie zmienia wyników eksperymentów.

SummaryEdit

Podsumowując, symetria gauge’a osiąga swoje pełne znaczenie w kontekście mechaniki kwantowej. W zastosowaniu mechaniki kwantowej do elektromagnetyzmu, tj. w elektrodynamice kwantowej, symetria gauge’a dotyczy zarówno fal elektromagnetycznych, jak i fal elektronowych. Te dwie symetrie są w rzeczywistości ściśle powiązane. Jeżeli na przykład do fal elektronowych zastosuje się przekształcenie θ, to trzeba również zastosować odpowiednie przekształcenie do potencjałów opisujących fale elektromagnetyczne. Symetria gauge’a jest wymagana, aby elektrodynamika kwantowa była teorią renormalizowalną, tzn, taką, w której obliczone przewidywania wszystkich fizycznie mierzalnych wielkości są skończone.

Rodzaje symetrii gauge’aEdit

Opisanie elektronów w powyższym podrozdziale jako małych zegarów jest w efekcie podaniem matematycznych reguł, zgodnie z którymi fazy elektronów mają być dodawane i odejmowane: mają być traktowane jak zwykłe liczby, z tym, że w przypadku, gdy wynik obliczeń wypada poza zakres 0≤θ<360°, zmuszamy go do „zawinięcia się” w dozwolony zakres, który obejmuje okrąg. Inaczej można to ująć w ten sposób, że kąt fazowy o wartości, powiedzmy, 5° uważamy za całkowicie równoważny kątowi 365°. Eksperymenty zweryfikowały to sprawdzalne stwierdzenie o wzorach interferencyjnych tworzonych przez fale elektronowe. Z wyjątkiem własności „zawijania”, własności algebraiczne tej struktury matematycznej są dokładnie takie same jak zwykłych liczb rzeczywistych.

W terminologii matematycznej, fazy elektronowe tworzą grupę abelianową w dodawaniu, zwaną grupą kołową lub U(1). „Abelian” oznacza, że dodawanie komutuje, tak że θ + φ = φ + θ. Grupa oznacza, że dodawanie kojarzy i ma element tożsamości, czyli „0”. Ponadto, dla każdej fazy istnieje odwrotność tak, że suma fazy i jej odwrotności jest 0. Inne przykłady grup abelian są liczby całkowite w dodawaniu, 0, i negacji, i niezerowe ułamki w produkcie, 1, i reciprocal.

As a way of visualizing the choice of a gauge, consider whether it is possible to tell if a cylinder has been twisted. Jeśli walec nie ma na sobie żadnych nierówności, śladów czy zadrapań, to nie możemy tego stwierdzić. Możemy jednak narysować dowolną krzywą wzdłuż walca, zdefiniowaną przez pewną funkcję θ(x), gdzie x mierzy odległość wzdłuż osi walca. Gdy ten arbitralny wybór (wybór miernika) został dokonany, staje się możliwe wykrycie go, jeśli ktoś później skręci cylinder.

W 1954 roku Chen Ning Yang i Robert Mills zaproponowali uogólnienie tych idei na grupy niekomutatywne. Niekomutatywna grupa gauge może opisać pole, które, w przeciwieństwie do pola elektromagnetycznego, oddziałuje z samym sobą. Na przykład, ogólna teoria względności stwierdza, że pola grawitacyjne mają energię, a szczególna teoria względności stwierdza, że energia jest równoważna masie. Stąd pole grawitacyjne indukuje kolejne pole grawitacyjne. Siły jądrowe również mają tę właściwość samo-interakcji.

Bozony cechowaniaEdit

Zaskakująco, symetria cechowania może dać głębsze wyjaśnienie istnienia oddziaływań, takich jak oddziaływania elektryczne i jądrowe. Wynika to z faktu, że wszystkie cząstki danego typu są doświadczalnie nieodróżnialne od siebie. Wyobraźmy sobie, że Alice i Betty są identycznymi bliźniaczkami, oznaczonymi przy urodzeniu bransoletkami z napisem A i B. Ponieważ dziewczynki są identyczne, nikt nie byłby w stanie stwierdzić, czy zostały zamienione przy urodzeniu; oznaczenia A i B są arbitralne i mogą być zamieniane. Taka trwała zamiana ich tożsamości jest jak globalna symetria pomiarowa. Istnieje również odpowiadaj±ca jej lokalna symetria, która opisuje fakt, że z chwili na chwilę Alicja i Betty mog± zamienić się rolami, gdy nikt nie patrzy, i nikt nie będzie w stanie tego stwierdzić. Je±li zaobserwujemy, „e ulubiony wazon mamy jest stłuczony, mo „emy jedynie wnioskowa¢, „e wina nale „y do jednego lub drugiego bliźniaka, ale nie mo „emy stwierdzi¢, „e wina jest w 100% po stronie Alice i w 0% po stronie Betty, lub odwrotnie. Jeśli Alice i Betty są w rzeczywistości kwantowo-mechanicznymi cząstkami, a nie ludźmi, to mają one również własności falowe, w tym własność superpozycji, która pozwala na dowolne dodawanie, odejmowanie i mieszanie fal. Wynika z tego, że nie jesteśmy nawet ograniczeni do całkowitej zamiany tożsamości. Na przykład, jeśli zaobserwujemy, że pewna ilość energii istnieje w pewnym miejscu w przestrzeni, to żaden eksperyment nie powie nam, czy ta energia to 100% A i 0% B, 0% A i 100% B, czy 20% A i 80% B, czy jakaś inna mieszanka. Fakt, że symetria jest lokalna oznacza, że nie możemy nawet liczyć na to, że te proporcje pozostaną niezmienne, gdy cząstki będą się rozchodzić w przestrzeni. Szczegóły tego, jak to jest przedstawiane matematycznie zależą od kwestii technicznych związanych ze spinami cząstek, ale dla naszych obecnych celów rozważymy cząstkę bez spinu, dla której okazuje się, że mieszanie może być określone przez pewien arbitralny wybór miernika θ(x), gdzie kąt θ = 0° reprezentuje 100% A i 0% B, θ = 90° oznacza 0% A i 100% B, a kąty pośrednie reprezentują mieszanki.

Zgodnie z zasadami mechaniki kwantowej cząstki w rzeczywistości nie mają trajektorii w przestrzeni. Ruch może być opisany jedynie za pomocą fal, a pęd p pojedynczej cząstki jest związany z długością jej fali λ przez p = h/λ. Z punktu widzenia pomiarów empirycznych, długość fali można wyznaczyć jedynie poprzez obserwację zmiany fali pomiędzy jednym punktem przestrzeni a innym punktem znajdującym się w pobliżu (matematycznie, poprzez różniczkowanie). Fala o krótszej długości fali oscyluje szybciej, a zatem szybciej zmienia się pomiędzy pobliskimi punktami. Załóżmy teraz, że arbitralnie ustalimy miernik w jednym punkcie przestrzeni, mówiąc, że energia w tym miejscu wynosi 20% A i 80% B. Następnie zmierzymy obie fale w jakimś punkcie przestrzeni. Następnie mierzymy te dwie fale w jakimś innym, pobliskim punkcie, aby określić ich długości fal. Istnieją jednak dwa zupełnie inne powody, dla których fale mogły się zmienić. Mogły się zmienić, ponieważ oscylowały z określoną długością fali, albo mogły się zmienić, ponieważ funkcja pomiarowa zmieniła się z mieszaniny 20-80 na, powiedzmy, 21-79. Jeśli zignorujemy drugą możliwość, to teoria nie zadziała; pojawią się dziwne rozbieżności w pędzie, naruszające zasadę zachowania pędu. Coś w teorii musi być zmienione.

Znowu pojawiają się techniczne problemy związane ze spinem, ale w kilku ważnych przypadkach, w tym cząstek naładowanych elektrycznie i cząstek oddziałujących siłami jądrowymi, rozwiązaniem problemu jest przypisanie fizycznej realności funkcji pomiarowej θ(x). Mówimy, że jeśli funkcja θ oscyluje, to reprezentuje nowy rodzaj fali kwantowo-mechanicznej, a ta nowa fala ma swój własny pęd p = h/λ, co okazuje się łatać rozbieżności, które w przeciwnym razie naruszyłyby zachowanie pędu. W kontekście elektromagnetyzmu cząstki A i B byłyby cząstkami naładowanymi, takimi jak elektrony, a fala kwantowo-mechaniczna reprezentowana przez θ byłaby polem elektromagnetycznym. (Pomijamy tu kwestie techniczne wynikające z faktu, że elektrony mają w rzeczywistości spin 1/2, a nie zero. To zbytnie uproszczenie jest powodem, że pole θ jest skalarem, podczas gdy pole elektromagnetyczne jest reprezentowane przez wektor składający się z V i A). W rezultacie mamy wyjaśnienie obecności oddziaływań elektromagnetycznych: jeśli spróbujemy skonstruować gauge-symetryczną teorię identycznych, nie oddziałujących cząstek, wynik nie jest samospójny i może być naprawiony jedynie przez dodanie pól elektrycznych i magnetycznych, które powodują, że cząstki oddziałują.

Ale chociaż funkcja θ(x) opisuje falę, prawa mechaniki kwantowej wymagają, aby miała ona również własności cząstek. W przypadku elektromagnetyzmu, cząstką odpowiadającą falom elektromagnetycznym jest foton. Ogólnie takie cząstki nazywane są bozonami cechowania, gdzie termin „bozon” odnosi się do cząstki o spinie całkowitym. W najprostszych wersjach teorii, bozony cechowania są bezmasowe, ale możliwe jest również skonstruowanie wersji, w których mają one masę, tak jak w przypadku bozonów cechowania przenoszących siły rozpadu jądrowego.

.