Teorie tensorowe odnoszą się do dość ogólnej klasy kwantowych teorii pola używanych do opisu cząstek elementarnych i ich oddziaływań. Teorie te charakteryzują się obecnością pól wektorowych i jako takie są uogólnieniem starszej teorii elektrodynamiki kwantowej (QED), która jest używana do opisu oddziaływań elektromagnetycznych naładowanych cząstek elementarnych o spinie 1/2. Bardzo centralnym zagadnieniem jest lokalna niezmienniczość gauge’a. Ważną cechą jest to, że teorie te są często znormalizowane, gdy są używane w 3 wymiarach przestrzennych i 1 czasowym.

• 1 1. Równania Maxwella i niezmienniczość gauge’a
• 2 2. Teoria Yanga-Millsa
• 3 3. Mechanizm Brouta-Englerta-Higgsa
• 4 4. Chromodynamika kwantowa
• 5 5. Lagrangian
• 6 6. Renormalizacja i anomalie
• 7 7. Model Standardowy
• 8 8. Wielkie teorie zunifikowane
• 9 9. Uwagi końcowe
• 10 Piśmiennictwo
• 11 Further reading
• 12 See Also
• 13 Linki zewnętrzne

1. Równania Maxwella i niezmienniczość gauge’a

Najprostszym przykładem teorii gauge’a jest elektrodynamika, opisana równaniami Maxwella. Natężenie pola elektrycznego (∗ E(∗ x,t)∗) i natężenie pola magnetycznego (∗ B(∗ x,t)∗) spełniają jednorodne równania Maxwella (w jednostkach SI):

Zgodnie z Lematem Poincarégo, równanie (2) implikuje istnienie jednorodnych równań Maxwella (w jednostkach SI). (2) implikuje, że istnieje inne pole wektorowe \(\vec A(\vec x,t)\) takie, że

Ponieważ Eq. (1) ma teraz postać

możemy również stwierdzić, że istnieje pole potencjalne \(\Phi(\vecx,t)\) takie, że

Pole \(\Phi\) jest elektrycznym polem potencjalnym; pole wektorowe \(\vec A\) nazywamy wektorowym polem potencjalnym. Natężenia tych pól potencjalnych są określane przez niejednorodne równania Maxwella, które są równaniami odnoszącymi natężenia pól elektromagnetycznych do ładunków elektrycznych i prądów, które te pola wytwarzają. Zastosowanie pól potencjalnych często upraszcza problem rozwiązywania ciągów Maxwella.

Tym, co czyni z tej teorii teorię gauge’a jest fakt, że wartości tych pól potencjalnych nie są całkowicie określone przez równania Maxwella. Rozważmy konfigurację pola elektromagnetycznego ((∗ E(∗ x,t),∗ B(∗ x,t))‖) i załóżmy, że jest ono opisane przez pola potencjalne ‖ ((∗ Phi(∗ x,t),‖ A(∗ x,t))‖). Następnie, używając dowolnej funkcji skalarnej, można znaleźć inny zestaw pól potencjalnych opisujących te same pola elektryczne i magnetyczne, Ponieważ transformacja (6) może być wybrana jako dowolna funkcja punktów ((vec x,t)‖) w czasoprzestrzeni, mówimy o lokalnym przekształceniu wymiernym. Fakt, że pola elektromagnetyczne są niezmiennicze pod wpływem tych lokalnych przekształceń gaugometrycznych, czyni teorię Maxwella teorią gauge’a.

W relatywistycznej kwantowej teorii pola, pole \(\psi(\vecx,t)\) nie oddziałującej bezspinowej cząstki zwykle spełniałoby równanie

gdzie zastosowano jednostki takie, że prędkość światła \(c=1\,\) i stała Plancka \(\hbar=1\).\Daje to relację dyspersji pomiędzy energią i pędem zgodnie ze Szczególną Relatywistyką:

Załóżmy teraz, że dana cząstka posiada ładunek elektryczny:

Jak na jej równanie wpływa obecność pola elektryczno-magnetycznego? Okazuje się, że nie da się napisać poprawnych równań używając bezpośrednio pól \(\ E \) i \(\ B \). W tym przypadku można jedynie wybrać dodanie członów zależnych od (wektorowych) pól potencjalnych:

Można sprawdzić, że to równanie poprawnie tworzy fale, które są odchylane przez siły elektromagnetyczne w sposób, jakiego się spodziewamy.Na przykład, łatwo zauważyć, że energia \(E) jest zwiększona o wartość \(q,\Phi(\vec x,t)\), która jest energią potencjalną naładowanej cząstki w elektrycznym polu potencjalnym.

Jednakże, co dzieje się z tym równaniem, gdy dokonujemy transformacji gaugetransformacji? Wygląda na to, że równanie zmienia się, więc rozwiązanie dla pola \\ powinno również ulec zmianie.\NW rzeczy samej, \u003>

zmienia się w następujący sposób:

Tak więc, pole \u003> wykonuje obrót na płaszczyźnie zespolonej. Jest to ściśle związane z „przekształceniem skali”, które byłoby wynikiem usunięcia spójnika „i” z równania (10). To Hermann Weyl zauważył, że to przekształcenie symetrii po prostu redefiniuje skalę pola \(\psi\, \) i wprowadził słowo „gauge”, aby opisać tę cechę.

Kombinacje

>

Rysunek 1: Diagram Feynmana dla elektronu emitującego foton.

nazywamy je pochodnymi kowariantnymi, ponieważ są tak dobrane, że pochodne funkcji \(\Lambda(\vecx,t)\) znoszą się w transformacji gauge’a:

i to sprawia, że łatwo zauważyć, że równanie (10) poprawnie opisuje sposób, w jaki funkcja \(\) przekształca się pod wpływem alokalnej transformacji gauge’a, spełniając to samo równanie pola(9) zarówno przed, jak i po transformacji (wszystkie warunki w równaniu są mnożone przez ten sam wykładnik, więc ten czynnik jest nieistotny).

Wartość bezwzględna, \(\psi(\vec x,t)\), nie zmienia się w ogóle pod wpływem transformacji układu pomiarowego i rzeczywiście jest to wielkość, która odpowiada czemuś, co jest fizycznie obserwowalne: jest to prawdopodobieństwo, że cząstka może być znaleziona w punkcie \(\vecx,t)\). Zasadą jest, że lokalna niezmienniczość układu pomiarowego wymaga, aby wszystkie pochodne w naszych równaniach zastąpić pochodnymi kowariancyjnymi.

2. Teoria Yanga-Millsa

Rysunek 2: Diagramy Feynmana dla emisji fotonów Yanga-Millsa. Powyżej: elektron zamieniający się w neutrino elektronowe; poniżej: neutron zamieniający się w proton.

W latach pięćdziesiątych XX wieku wiadomo było, że równania pola dla pola protonu, \(P(\vec x,t)\) i pola neutronu, \(N(\vec x,t)\) są takie, że można obracać te pola w złożonej przestrzeni dwuwymiarowej:

gdzie macierz U może zawierać cztery dowolne liczby zespolone, tak długo jak jest jednostkowa (\(U, U^dagger=I\)), a zwykle wyznacznik \(U) jest ograniczony do 1. Ponieważ te równania przypominają obroty, które można wykonać w zwykłej przestrzeni, aby opisać spin cząstki, symetrię, o której tu mowa nazwano izospinową.

W 1954 roku C.N. Yang i R.L. Mills opublikowali bardzo ważny pomysł. Czy można zmodyfikować równania w taki sposób, aby te izospinowe obroty mogły być uważane za lokalne obroty gauge’a? Oznaczałoby to, że w odróżnieniu od znanego przypadku, macierze powinny być zależne od przestrzeni i czasu, tak jak generator gauge’a \(\Lambda(\vec x,t)\) w inelektromagnetyzmie. Yang i Mills byli również zainspirowani obserwacją, że teoria grawitacji Einsteina, Ogólna Teoria Względności, również pozwala na transformacje bardzo podobne do lokalnych transformacji gaugetowskich: zastąpienie ramy współrzędnych przez inne współrzędne w arbitralny, zależny od czasoprzestrzeni sposób.

Aby zapisać równania pola dla protonów i neutronów, potrzebne są pochodne tych pól. Sposób, w jaki te pochodne przekształcają się pod wpływem lokalnej transformacji gauge’a, implikuje istnienie członów zawierających gradienty macierzy (U .\Aby teoria stała się gauge-inwariantna, gradienty te musiałyby zostać usunięte i w tym celu Yang i Mills zastąpili pochodne \(\nabla \) kowariancyjnymi \(\vec D= \nabla -ig\vec A(\vec x,t)\ ,\) tak jak to miało miejsce w elektromagnetyzmie, patrz równanie (11). Jednak w tym przypadku pola \(\vec A\) musiały być wartościowane macierzowo, tak jak macierze izospinowe \(U\):

Ponieważ macierze \(U\) zawierają cztery współczynniki z jednym ograniczeniem (wyznacznik musi wynosić 1), otrzymujemy zestaw trzech nowych pól wektorowych (w macierzy (15) są 3 niezależne wektory rzeczywiste). Na pierwszy rzut oka wydaje się, że są to pola cząstki wektorowej o izospinie jeden. W praktyce powinno to odpowiadać cząstkom z jedną jednostką spinu (tzn. cząstka obraca się wokół własnej osi), a jej ładunek elektryczny może być obojętny albo jeden lub minus jedna jednostka. Teoria Yanga-Millsa przewiduje zatem i opisuje nowy typ cząstek o spinie jeden, które przenoszą siłę nie podobną do siły elektromagnetycznej.

Pola, które są równoważne elektrycznym i magnetycznym polom Maxwella otrzymuje się przez rozważenie komutatora pochodnych dwukowariancyjnych:

D_mu D_mu D_mu=-ig(_partial_mu A_mu-ig) = -igF_{partial_mu A_mu} ,\gdzie indeksy przyjmują wartości \(\mu,\nu=0,1,2,3\,\) z 0 odnoszącym się do składowej czasowej.

Jako że F_{mu}=-F_{mu} ten tensor ma 6 niezależnych składowych, trzy tworzące elektryczne pole wektorowe i trzy pole magnetyczne. Każdy z tych składników jest również macierzą. Komutator, ∗ jest nowym, nieliniowym członem, który czyni równania Yanga-Millsa o wiele bardziej skomplikowanymi niż system Maxwella.

Pod innymi względami cząstki Yanga-Millsa, będące kwantami energii pól Yanga-Millsa, są podobne do fotonów, kwantów światła. Yang-Mills cząstki także noszą żadną wewnętrzną masę, i podróżują z prędkością światła. Rzeczywiście, cechy te były początkowo powodem odrzucenia tej teorii, ponieważ bezmasowe cząstki tego rodzaju powinny być wykryte już dawno temu, tymczasem były one wyraźnie nieobecne.

3. Mechanizm Brout-Englert-Higgsa

Teoria ta odżyła, gdy połączono ją ze spontanicznym załamaniem lokalnej symetrii cechowania, znanym również jako mechanizm Brout-Englert-Higgsa. Rozważmy skalarną (bezspinową) cząstkę opisaną polem \(\phi(\vec x,t)\ .\) Przyjmuje się, że pole to jest polem wektorowym, w tym sensie, że ulega ono pewnejerotacji podczas transformacji gauge’owej. W praktyce oznacza to, że cząstka nosi jeden lub kilka rodzajów ładunków, które czynią ją wrażliwą na siłę Yanga-Millsa, a często ma ona kilka składników, co oznacza, że istnieją różne gatunki tej cząstki. Taka cząstka musi spełniać statystykę Bosego-Einsteina, co oznacza, że może ona ulegać kondensacji Bosego-Einsteina. W odniesieniu do jej pola oznacza to co następuje:

Rysunek 3: Spontaniczne łamanie symetrii. Obiekt przebywający w rotacyjnie symetrycznym potencjale znajduje stabilne, asymetryczne położenie. W przypadku BEH, to pole Higgsa, \((\phi_1, \phi_2)\) znajduje asymetryczną wartość \((F,\,0)\)

W próżni pole \(\) przyjmuje nie zanikającą wartość \(F .\)

Zazwyczaj zapisuje się to jako

Po lokalnej transformacji gauge’a wyglądałoby to tak

gdzie \(U(\vec x,t) \) jest polem macierzowym reprezentującym lokalną transformację gauge’a.

Często mówi się, że z tego powodu próżnia nie jest gauge-invariantna, ale, ściśle mówiąc, nie jest to poprawne. Sytuacja opisana równaniem (18) jest tą samą próżnią co (17); jest ona tylko inaczej opisana. Ta właściwość próżni ma jednak ważne konsekwencje. Ponieważ obrócone pole opisuje teraz tę samą sytuację, co poprzednia wartość, nie ma innej cząstki fizycznej związanej z obróconym polem. Jedynie długość wektora ma znaczenie fizyczne. Długość ta jest niezmienna w przestrzeni. Dlatego tylko długość wektora jest związana z jednym typem cząstki, która musi być neutralna dla sił Yanga-Millsa. Cząstka ta jest teraz nazywana cząstką Higgsa.

Jako, że pole Higgsa jest stałym źródłem siły pola Yang-Millsa, równania pola Yang-Millsa są przez nie modyfikowane. Z powodu pola Higgsa, „fotony” opisane przez pole Yang-Millsa otrzymują masę. Można to również wytłumaczyć w następujący sposób. Bezmasowe fotony mogą mieć tylko dwa stany helikalności, czyli mogą wirować tylko w dwóch kierunkach. Jest to związane z faktem, że światło może być spolaryzowane dokładnie w dwóch kierunkach. Fotony masywne (cząstki o nieprzemijającej masie i z jedną jednostką spinu), mogą zawsze wirować w trzech kierunkach. Trzeci sposób rotacji jest obecnie zapewniony przez pole Higgsa, które samo traci kilka swoich fizycznych składników. Całkowita liczba fizycznych składowych pola pozostaje taka sama przed i po mechanizmie Brouta-Englerta-Higgsa. Dalszą konsekwencją tego wpływu na pole Yanga-Millsa jest to, że siła przenoszona przez masywne fotony jest krótkozasięgowa (zasięg siły jest odwrotnie proporcjonalny do masy fotonu).

Rysunek 4: Sześć smaków i trzy kolory kwarków i ich antycząstek. Strzałki pokazują przejścia słabe i silne

Oddziaływania słabe mogą być teraz z powodzeniem opisane przez teorię Yanga-Millsa. Zbiór lokalnych transformacji gauge’a tworzy grupę matematyczną \(SU(2)\ i U(1)\). Grupa ta generuje 4 gatunki fotonów (3 dla SU(2)\) i 1 dla U(1)\). Mechanizm Brouta-Englerta-Higgsa rozbija tę grupę w taki sposób, że pozostaje podgrupa o postaci U(1)\). Jest to teoria elektromagnetyczna z jednym fotonem. Pozostałe trzy fotony stają się masywne; odpowiadają za oddziaływania słabe, które w praktyce wydają się być słabe tylko dlatego, że siły te mają bardzo mały zasięg. W odniesieniu do elektromagnetyzmu dwa z tych pośrednich bozonów wektorowych, W^pm, są elektrycznie naładowane, a trzeci, Z^0, jest elektrycznie neutralny. Gdy istnienie tego ostatniego zostało wyprowadzone z teoretycznych argumentów grupowych, dało to początek przewidywaniu dotychczas niezauważonej formy oddziaływania słabego: oddziaływania neutralnego prądu. Teoria ta, która łączy elektromagnetyzm i siłę słabą w jedno, nazywana jest teorią elektrosłabą i była pierwszą w pełni renormalizowalną teorią dla siły słabej (patrz Rozdział 5).

4. Chromodynamika kwantowa

Gdy zrozumiano, że oddziaływania słabe, wraz z elektromagnetycznymi, mogą być przypisane teorii gauge’a Yanga-Millsa, zadano pytanie, jak rozwiązać problem siły silnej, bardzo silnej siły o stosunkowo krótkim zasięgu działania, która kontroluje zachowanie cząstek hadronowych, takich jak nukleony i jony. Od 1964 roku było wiadomo, że cząstki te zachowują się tak, jakby były zbudowane z podjednostek, zwanych kwarkami. Znane były trzy odmiany kwarków (górny, dolny i dziwny), a trzy kolejne miały być odkryte później (uroczy, górny i dolny). Kwarki te mają tę szczególną właściwość, że trwale przylegają do siebie albo w triolecie, albo jeden kwark przylega do jednego antykwarka. Jednak gdy zbliżą się do siebie bardzo blisko, zaczynają zachowywać się swobodniej jako osobniki.

Rysunek 5: Diagramy Feynmana dla emisji gluonów QCD. Kwarki zmieniają kolor, ale ich smak pozostaje taki sam: u pozostaje u, a d pozostaje d.

Te cechy rozumiemy teraz jako, ponownie, wynikające z teorii Yang-Millsgauge. Tutaj mamy grupę matematyczną \(SU(3)\) jako lokalną grupę gauge, podczas gdy teraz symetria nie jest naruszona przez żaden mechanizm Brout-Englert-Higgsa. Ze względu na nieliniowy charakter pola Yanga-Millsa, oddziałuje ono samoczynnie, co powoduje, że pola układają się we wzory zupełnie inne niż w przypadku elektromagnetycznym: powstają linie wirowe, które tworzą nierozerwalne wiązania pomiędzy kwarkami. W bliskich odległościach siła Yanga-Millsa słabnie i jest to cecha, którą można w elementarny sposób wyprowadzić za pomocą rozwinięć perturbacyjnych, ale jest to własność skwantowanego układu Yanga-Millsa, którą do tej pory uważano za niemożliwą dla kwantowej teorii pola, zwana wolnością asymptotyczną. Odkrycie tej właściwości ma skomplikowaną historię.

Rysunek 6: Kwantowe pola chromodynamiczne tworzą wiry, które utrzymują kwarki i antykwarki (po lewej) lub układy trójkwarkowe (po prawej) trwale zamknięte.

(SU(3)\) implikuje, że każdy gatunek kwarka występuje w trzech rodzajach, określanych jako kolor: są one „czerwone”, „zielone” lub „niebieskie”. Przekształcenia miernicze Yanga-Millsa obracają ten wektor w przestrzeni kolorów. Same pola Yang-Millsa tworzą macierze 3 na 3, z jednym ograniczeniem (ponieważ wyznacznik macierzy gaugerotacji Yang-Millsa musi być równy jeden). Dlatego w polu Yang-Millsa znajduje się 8 kolorowych cząstek fotonopodobnych, zwanych gluonami. Antykwarki niosą kolory sprzężone („cyjan”, „magenta” lub „żółty”). Teoria ta jest obecnie nazywana chromodynamiką kwantową (QCD). Jest to również teoria renormalizowalna.

Kleony efektywnie utrzymują kwarki razem w taki sposób, że ich kolory sumują się do sumy, która jest neutralna kolorystycznie („biały” lub „odcień szarości”). To dlatego trzy kwarki lub jeden kwark i jeden antykwark mogą się połączyć, tworząc fizycznie obserwowalną cząstkę (hadron). Ta własność teorii nazywana jest trwałym ograniczeniem kwarkowym. Ze względu na silnie nieliniową naturę pól, uwięzienie kwarkowe jest w rzeczywistości dość trudne do udowodnienia, podczas gdy własność asymptotycznej swobody może być dokładnie wykazana. W istocie, matematycznie szczelna demonstracja zamknięcia, z towarzyszącym jej zjawiskiem luki masowej w teorii (brak ściśle bezmasowych obiektów hadronowych) nie została jeszcze podana i jest przedmiotem pracy wydanej przez Clay Mathematics Institute w Cambridge, Massachusetts.

5. Lagrangian

Nie można dowolnie wybrać wszystkich równań pola. Oznacza to, że istnieje zasada akcji (akcja = reakcja), a zasadę tę najwygodniej jest wyrazić poprzez zapisanie Lagrangianu dla teorii. Lagrangian (dokładniej gęstość Lagrange’a) \( \mathcal{L}(\vec x,t)\) jest wyrażeniem pól układu. Dla rzeczywistego pola skalarnego \(\Phi\) jest to

, a dla pól Maxwella jest to

, gdzie sumowanie jest sumowaniem kowariantnym nad indeksami Lorentza \(\mu,\).\Równania pola można wyprowadzić z tego wyrażenia wymagając, aby całka z działania,

gdzie

jest sumą Lagrangianów wszystkich pól w układzie, była stacjonarna dla wszystkich nieskończenie małych zmian tych pól. Nazywa się to zasadą Eulera-Lagrange’a, a równania są równaniami Eulera-Lagrange’a.

Dla teorii gauge’a uogólnia się to bezpośrednio: zapisuje się

używając wyrażenia (16) dla pól gauge’a \(F_{mu}}, \) i dodaje wszystkie warunki związane z innymi polami, które są wprowadzone. Wszystkie symetrie teorii są symetriami Lagrangianu, a wymiarowość wszystkich sił sprzężenia można łatwo odczytać z Lagrangianu, co ma znaczenie dla procedury renormalizacji (patrz następny rozdział).

6. Renormalizacja i anomalie

Zgodnie z prawami mechaniki kwantowej, energia w polu składa się z pakietów energetycznych, a te pakiety energetyczne są w rzeczywistości cząstkami związanymi z polem. Mechanika kwantowa daje niezwykle precyzyjne recepty na to, jak te cząstki oddziałują, gdy tylko znane są równania pola, które można podać w postaci Lagrangianu. Teoria ta nazywana jest kwantową teorią pola (QFT) i wyjaśnia nie tylko, w jaki sposób siły są przekazywane poprzez wymianę cząstek, ale również stwierdza, że powinno dochodzić do wielokrotnej wymiany. W wielu starszych teoriach wielokrotna wymiana powodowała trudności: jej efekty zdawały się być nieograniczone lub nieskończone. Natomiast w teorii gauge’a struktura małych odległości jest bardzo precyzyjnie określona przez wymóg niezmienniczości. W takiej teorii można połączyć nieskończone efekty wielokrotnych wymian z redefinicjami mas i ładunków cząstek biorących udział w wymianie. Procedura ta nazywana jest renormalizacją. W 3 wymiarach przestrzeni i 1 wymiarze czasu większość teorii gaugetowskich jest renormalizowalna. Pozwala to na obliczenie efektów wymiany wielu cząstek z dużą dokładnością, co umożliwia szczegółowe porównanie z danymi doświadczalnymi.

Rysunek 7: Diagramy Feynmana zawierające pętle spowodowane wymianą wielu cząstek. Pętle te często generują nieskończone wyrażenia.

Renormalizacja wymaga, aby masy i siły sprzężenia cząstek były zdefiniowane bardzo starannie. Jeżeli wszystkim parametrom sprzęgającym teorii nada się zerową lub dodatnią wymiarowość masową, to liczba rozbieżnych wyrażeń pozostaje pod kontrolą. Zwykle wymóg, aby teoria pozostawała gauge invariantna przez cały czas trwania procedury renormalizacji nie pozostawia żadnych niejasności w definicjach. Jednak nie jest oczywiste, że jednoznaczne, niezmiennicze definicje w ogóle istnieją, ponieważ niezmienniczość gauge’a musi zachodzić dla wszystkich oddziaływań, podczas gdy tylko kilka nieskończonych wyrażeń można zastąpić skończonymi.

Dowód, który pokazał jak i dlaczego można uzyskać jednoznaczne wyrażenia renormalizacyjne, można było uzyskać w najbardziej elegancki sposób uświadamiając sobie, że teorie gauge’a mogą być sformułowane w dowolnej liczbie wymiarów czasoprzestrzeni. Możliwe było nawet jednoznaczne zdefiniowanie wszystkich Feynmandowskich diagramów dla teorii w przestrzeniach, w których wymiary są \(3-epsilon\ , \) gdzie \(\epsilon\) jest wielkością nieskończenie wielką. Przyjęcie granicy \(\epsilon\rightarrow0\) wymaga odjęcia biegunów postaci \(C_n/\epsilon^n\) od oryginalnych, „gołych” parametrów masy i sprzężenia. W rezultacie otrzymujemy zbiór unikalnych, skończonych i niezmienniczych wyrażeń gauge’owskich. W praktyce okazało się, że ta procedura, zwana regularyzacją wymiarową i renormalizacją, jest również wygodna przy wykonywaniu skomplikowanych technicznie obliczeń diagramów pętlowych.

Rysunek 8: Diagram, w którym cząstka fermionowa tworzy zamknięty trójkąt, sprzęgając się z trzema cząstkami wagowymi, jest głównym źródłem anomalii.

Jest jednak szczególny przypadek, w którym rozszerzenie do wymiarów różnych od kanonicznego jest niemożliwe. Dzieje się tak, gdy cząstki fermioniczne wykazują symetrię chiralną. Symetria chiralna jest asymetrią, która odróżnia cząstki lewoskrętne od prawoskrętnych i rzeczywiście odgrywa kluczową rolę w Modelu Standardowym.Symetria chiralna jest możliwa tylko wtedy, gdy przestrzeń jest trójwymiarowa i nie pozwala na renormalizację wymiarową. Rzeczywiście, czasami chiralna symetria nie może być zachowana podczas renormalizacji teorii. Pojawia się wtedy anomalia, zwana anomalią chiralną. Została ona po raz pierwszy odkryta, gdy obliczenia amplitudy rozpadu (∗ 0,0,0,0,0,0,0,0) dały odpowiedzi, które nie były zgodne z oczekiwanym wzorcem symetrii.

Ponieważ symetrie cechowania Modelu Standardowego rozróżniają cząstki lewoskrętne od prawoskrętnych (w szczególności, tylko lewoskrętne neutrina są produkowane w oddziaływaniu słabym), anomalie były dużym powodem do niepokoju. Tak się jednak składa, że wszystkie anomalne amplitudy, które mogłyby zagrozić niezmienniczości gauge’a i naruszyć samospójność naszych równań, znoszą się. Jest to związane z faktem, że niektóre „wielkie zjednoczone” rozszerzenia Modelu Standardowego są oparte na wolnych od anomalii grupach gauge’a (patrz rozdział 7).

Anomalia ma bezpośrednie fizyczne implikacje. Topologicznie spleciona konfiguracja pola zwana instantonem (ponieważ reprezentuje zdarzenie w danej chwili w czasie), reprezentuje dokładnie taką konfigurację pola cechującego, w której anomalia jest maksymalna. Powoduje ona naruszenie zasady zachowania niektórych ładunków cechowania. W przypadku anomalii co najmniej jeden z ładunków nie może być ładunkiem elementarnym, lecz musi być ładunkiem, z którym nie jest sprzężone pole elementarne, np. ładunek barionowy. Rzeczywiście, w teorii elektrosłabej instantony powodują naruszenie praw zachowania barionów. Obecnie uważa się, że może to wyjaśniać brak równowagi między materią a antymaterią, która musiała powstać we wczesnych fazach Wszechświata.

7. Model Standardowy

Oprócz siły słabej, elektromagnetycznej i silnej istnieje siła grawitacji działająca na cząstki elementarne. Żadne inne siły elementarne nie są znane. Na poziomie pojedynczych cząstek grawitacja jest tak słaba, że w większości przypadków można ją zignorować. Przypuśćmy teraz, że weźmiemy układ ( SU(2)″czasU(1)″) Yang-Millsa, wraz z polem Higgsa, do opisania elektromagnetyzmu i siły słabej, i dodamy do tego teorię ((SU(3)\) dodajemy do tego teorię Yanga-Millsa dla siły silnej, oraz włączamy wszystkie znane elementarne pola materii, czyli kwarki i leptony, z ich odpowiednimi regułami transformacji w ramach transformacji augustowskiej; załóżmy, że dodamy do tego wszystkie możliwe sposoby mieszania się tych pól, co jest cechą obserwowaną doświadczalnie, a co można wytłumaczyć jako podstawowy rodzaj samo-interakcji pól. Wówczas otrzymamy to, co nazywamy Modelem Standardowym. Jest to jedna wielka teoria miernicza, która dosłownie reprezentuje całe nasze obecne rozumienie cząstek subatomowych i ich oddziaływań.

Model Standardowy zawdzięcza swoją siłę temu, że jest renormalizowalny. Był on przedmiotem licznych eksperymentów i obserwacji. Wytrzymał wszystkie te testy nadzwyczaj dobrze. Na początku lat 90. nieunikniona stała się jedna ważna modyfikacja: w sektorze leptonowym również neutrina mają niewielką masę, a ich pola się mieszają. Nie było to całkowicie niespodziewane, ale bardzo udane eksperymenty z neutrinami (w szczególności japoński eksperyment Kamiokande) pokazały jasno, że te efekty naprawdę istnieją. W rzeczywistości sugerowały one dalsze wzmocnienie Modelu Standardowego.

Jeden składnik nie został jeszcze potwierdzony: cząstka Higgsa. Obserwacja tego obiektu jest spodziewana w najbliższej przyszłości, zwłaszcza przez Wielki Zderzacz Hadronów w CERN w Genewie. Najprostsze wersje Modelu Standardowego wymagają tylko jednej, elektrycznie neutralnej cząstki Higgsa, ale „sektor Higgsa” może być bardziej skomplikowany: cząstka Higgsa może być znacznie cięższa niż się obecnie oczekuje, lub może istnieć więcej niż jedna jej odmiana, w którym to przypadku znaleziono by również elektrycznie naładowane cząstki skalarne.

Model Standardowy nie jest doskonały z matematycznego punktu widzenia.Przy ekstremalnie wysokich energiach (energiach znacznie wyższych niż te, które można dziś osiągnąć w akceleratorach cząstek) teoria staje się nienaturalna. W praktyce oznacza to, że nie wierzymy już, że wszystko będzie się działo dokładnie tak, jak przewiduje teoria; należy spodziewać się nowych zjawisk. Najpopularniejszym scenariuszem jest pojawienie się nowej symetrii zwanej supersymetrią, symetrii łączącej bozony z fermionami (cząstki takie jak elektrony i kwarki, które do opisu wymagają pól Diraca).

8. Wielkie teorie zunifikowane

Naturalne jest podejrzenie, że siły elektrosłabe i siły silne powinny być również połączone przez rotacje gauge’a. To implikowałoby, że wszystkie siły są powiązane z siłami elektrosłabymi. Sugerowałoby to, że wszystkie siły między cząstkami subatomowymi są w rzeczywistości powiązane przez przekształcenia miernika. Nie ma na to bezpośrednich dowodów, ale jest kilka okoliczności, które wydają się wskazywać na ten kierunek. W obecnej wersji Modelu Standardowego, pola \(SU(3)\) Yang-Millsa, opisujące siłę silną, rzeczywiście wykazują bardzo duże siły sprzężenia, podczas gdy sektor U(1)‖, opisujący sektor elektryczny (i część słabego), ma małe siły sprzężenia. Można teraz wykorzystać matematykę renormalizacji, w szczególności tzw. grupę renormalizacyjną, do obliczenia efektywnych sił tych sił przy znacznie wyższych energiach. Okazuje się, że siła sił \(SU(3)\) maleje ze względu na asymptotyczną swobodę, ale siła sprzężenia \(U(1)\) rośnie. Siły \(SU(2)\) zmieniają się wolniej. Przy ekstremalnie wysokich energiach, odpowiadających ultra krótkiej skali odległości, około ^{-32} cm, trzy siły sprzężenia wydają się zbliżać do siebie, tak jakby to było miejsce, w którym siły się jednoczą.

Stwierdzono, że \(SU(2)\) i \(SU(3)\) całkiem ładnie pasują do grupy zwanej \(SU(5)\). Tworzą one podgrupę SU(5)\). Można więc założyć, że mechanizm Brouta-Englerta-Higgsa rozbija tę grupę do podgrupy \(SU(2)\ razy U(1)\ razySU(3)\). Otrzymujemy tak zwaną Wielką Zunifikowaną Teorię Pola. W teorii tej zakłada się istnienie trzech generacji protonów, z których każda przekształca się w ten sam sposób pod wpływem transformacji (matematycznie tworzą one reprezentację ∑mathbf{10}} i ∑overline{mathbf{5}}).

Teoria ∑mathbf{5}} przewiduje jednak, że proton rozpada się bardzo powoli na leptony i piony. Rozpad ten był poszukiwany, ale nie został znaleziony. Ponadto, w tym modelu nie jest łatwo wyjaśnić masę neutrin i ich wymieszania. Znaleziono lepszą teorię, w której SU(5)\) jest rozszerzony do SO(10)\).\Reprezentacje \(SU(5)\) oraz \(\overline{mathbf{5}} reprezentacji \(SU(5)\) wraz z pojedynczym prawoskrętnym polem neutrinowym łączą się w \(\mathbf{16}} reprezentacji \(SO(10)\) (po jednej dla każdej z trzech generacji).Ten wielki zunifikowany model stawia neutrina na tym samym poziomie co naładowane leptony. Często jest on rozszerzany do wersji supersymetrycznej.

9. Uwagi końcowe

Każdą teorię gauge’a konstruuje się w następujący sposób. Najpierw należy wybrać grupę gauggrupy. Może to być bezpośredni iloczyn dowolnej liczby nieredukowalnych, zwartych grup Lie, albo z szeregu \(SU(N)\) lub \(Sp(2N)\), albo grup wyjątkowych \(G_2,\ F_4,\ E_6, E_7,\) lub \(E_8\).\) Następnie wybieramy pola fermionowe (spin 1/2) i skalarne (spin 0) tworzące reprezentacje tej lokalnej grupy gauge. Lewa składowa helikalności i prawa składowa helikalności pól fermionowych mogą być reprezentacjami obojętnymi, pod warunkiem, że anomalie się znoszą. Oprócz lokalnej grupy gauge możemy narzucić dokładne i/lub przybliżone symetrie globalne. Na koniec wybieramy w Lagrangianie człony masowe i człony oddziaływań, opisane przez dowolnie ustawiane parametry sprzężenia. Takich parametrów będzie tylko skończona liczba, pod warunkiem, że wszystkie oddziaływania będą typu renormalizowalnego (można to teraz łatwo odczytać z Lagrangianu teorii).

Istnieje nieskończenie wiele sposobów konstruowania teorii mierniczych wzdłuż linii. Wydaje się jednak, że modele, które są najbardziej przydatne do opisywania obserwowanych cząstek elementarnych, to te stosunkowo proste, oparte na dość elementarnych grupach matematycznych i reprezentacjach. Można się zastanawiać, dlaczego Natura wydaje się być tak prosta i czy taka pozostanie, gdy odkryte zostaną nowe cząstki i oddziaływania. Można sobie wyobrazić, że bardziej rozbudowane teorie mierników będą potrzebne do opisania oddziaływań przy energiach, które nie są jeszcze osiągalne w dzisiejszych akceleratorach cząstek.

Pokrewnymi tematami są supersymetria i teoria superstrun. Są to nowsze idee dotyczące struktury cząstek i symetrii cząstek, gdzie niezmienniczość chodu również odgrywa bardzo podstawową rolę.

• Yang, C N i Mills, R L (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96: 191-195.
• Higgs, P W (1964). Złamane symetrie, bezmasowe cząstki i pola cechowania. Phys. Lett. 12: 132.
• Higgs, P W (1964). Złamane symetrie i masy bozonów gauge’a. Phys. Rev. Lett. 13: 508.
• Higgs, P W (1966). Spontaniczne załamanie symetrii bez bezmasowych bozonów. Phys. Rev. 145: 1156.
• Englert, F i Brout, R (1964). Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons. Phys. Rev. Lett. 13: 321.
• Weinberg, S (1967). A Model of Leptons. Phys. Rev. Lett. 19: 1264.
• Faddeev, L D i Popov, V N (1967). Feynman diagramy dla pola Yang-Mills. Phys. Lett. 25B: 29.
• 't Hooft, G (1971). Renormalizacja bezmasowych pól Yang-Millsa. Nucl. Phys. B33: 173.
• 't Hooft, G (1971). Renormalizowalne Lagrangiany dla masywnych pól Yang-Millsa. Nucl. Phys. B35: 167.
• Taylor, J C (1971). Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field. Nucl. Phys. B33: 436.
• Slavnov, A (1972). Ward identities in gauge theories Theor. Math. Phys. 10: 153.
• 't Hooft, G i Veltman, M (1972). Regularization and renormalization of gauge fields. Nucl. Phys. B44: 189.
• Adler, S L (1969). Axial-Vector Vertex in Spinor Electrodynamics Phys. Rev. 177: 2426.
• Bell, J S and Jackiw, R (1969). A PCAC puzzle: π0→γγ in the σ-model Nuovo Cim. 60A: 47.
• Adler, S L and Bardeen, W A (1969). Absence of Higher-Order Corrections in the Anomalous Axial-Vector Divergence Equation. Phys. Rev. 182: 1517.
• Bardeen, W A (1969). Anomalous Ward Identities in Spinor Field Theories. Phys. Rev. 184: 1848.
• Fritzsch, H; Gell-Mann , M i Leutwyler, H (1973). Zalety koloru oktet gluon obraz Phys. Lett. 47B: 365.
• De Rujula, A; Georgi, H; Glashow, S L i Quinn, H (1974). Fakt i fantazja w fizyce neutrin. Rev. Mod. Phys. 46: 391.

Dalsze czytanie

• Crease, R P and Mann, C C (1986). The Second Creation: makers of the revolution in twentieth-century physics, Macmillan, New York. ISBN 0-02-521440-3.
• 't Hooft, G (1997). In Search of the Ultimate Building Blocks (English translation of: „Bouwstenen van de Schepping”) Cambridge Univ. Press, Cambridge. ISBN 0521550831.
• 't Hooft, G (1994). Under the spell of the gauge principle. Advanced Series in Mathematical Physics 19. World Scientific, Singapore. ISBN 9810213093.
• 't Hooft, G (2005). 50 lat teorii Yanga-Millsa World Scientific, Singapur. ISBN 978-981-256-007-0.
• de Wit, B and Smith, J (1986). Field Theory in Particle Physics North Holland, Amsterdam. ISBN 0444869999.
• Aitchison, I J R and Hey, A J G (1989). Gauge Theories in Particle Physics, a practical introduction Adam Hilger, Bristol and Philadelphia. ISBN 0-85274-329-7.
• Itzykson, C and Zuber, J B (2006). Quantum Field Theory Dover Publications, New York. ISBN 0486445682.
• Ryder, L H (1997). Quantum Field Theory Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521478146.

Zobacz też

Symetria Becchiego-Roueta-Stora-Tyutina, Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanism, Gauge invariance, Slavnov-Taylor identities, Zinn-Justin equation

• http://www.phys.uu.nl/~thooft/

.