Page

Written by on in Articles

Równanie funkcyjne, z grubsza rzecz biorąc, jest równaniem, w którym niektóre z niewiadomych, które mają być rozwiązane, są funkcjami. Na przykład, następujące równania są równaniami funkcyjnymi:

  • $f(x) + 2f(x) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8sin{x}$

.

Tematy wprowadzające

Odwrotność funkcji

Odwrotność funkcji to funkcja, która „cofa” funkcję. Dla przykładu, rozważmy funkcję: $f(x) = x^2 + 6$. Funkcja $g(x) = \sqrt{x-6}$ ma tę własność, że $f(g(x)) = x$. W tym przypadku $g$ nazywamy funkcją (prawostronnie) odwrotną. (Podobnie, funkcję $g$ tak, że $g(f(x))=x$ nazywamy lewą funkcją odwrotną. Zazwyczaj prawa i lewa odwrotność pokrywają się na odpowiedniej dziedzinie i w tym przypadku nazywamy po prostu prawą i lewą odwrotność funkcji funkcją odwrotną). Często odwrotność funkcji $f$ oznaczamy przez $f^{-1}$.

Intermediate Topics

Funkcje cykliczne

Funkcja cykliczna to funkcja $f(x)$, która ma tę własność, że:

$f(f(f(x))) = x$

Klasycznym przykładem takiej funkcji jest $f(x) = 1/x$ ponieważ $f(f(x)) = f(1/x) = x$. Funkcje cykliczne mogą znacząco pomóc w rozwiązywaniu tożsamości funkcyjnych. Rozważmy następujący problem:

Znajdź $f(x)$ taką, że $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. W tym równaniu funkcyjnym niech $x=y$ oraz niech $x = 1/y$. W ten sposób otrzymujemy dwa nowe równania:

$3f(y) - 4f(y) = y^2$

$3f(y) - 4f(y) = ^1{y^2}$

Teraz, jeśli pomnożymy pierwsze równanie przez 3, a drugie przez 4 i dodamy te dwa równania, to mamy:

$-7f(y) = 3y^2 + ^frac{4}{y^2}$

Więc wyraźnie, $f(y) = -frac{3}{7}y^2 - ^4}{y^2}$</p> <p>Jasno z tego wynika, że. \^4}{7y^2}$

Przykłady problemów

  • 2006 AMC 12A Problem 18
  • 2007 AIME II Problem 14

Zobacz także

  • Funkcje
  • Polynomiały
  • Równanie funkcyjne Cauchy’ego

.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.