nLab Przestrzeń Banacha

Written by on in Articles

Idea

Przestrzeń Banacha â¬mathcal{B} jest zarówno przestrzenią wektorową (nad normowanym polem, takim jak âmathbb{R}), jak i kompletną przestrzenią metryczną, w sposób zgodny. Stąd kompletna unormowana przestrzeń wektorowa.

Źródło prostych przestrzeni Banacha pochodzi z rozważania przestrzeni kartezjańskiej â nathbb{R}^n (lub K nK^n, gdzie KK jest polem unormowanym) z normą:

â(x 1,â¦,x n)â pâ i=1 n|x i| pp {(x_1,¦,x_n)|_p} \coloneqq \root p {{sum_{i = 1}^n {|x_i|^p}}

gdzie 1â¤pâ¤â1 âleq p âleq âleq âinfty (nie ma to sensu dla p=âp = âinfty, ale przyjmując granicę jako pââp âp do âinfty i odczytując â â=limâś nâ nathbb{R}^ âinfty = âunderset{longrightarrow}{âlim}_n âmathbb{R}^n jako granicę bezpośrednią (w przeciwieństwie do granicy odwrotnej) otrzymujemy wzór â(x 1,(x 1, x n)ââmax i|x i|{(x_1, x_n)||infty} ∙coloneqq ∙max_i {|x_i|}).

Jednakże teoria tych przestrzeni nie jest dużo bardziej skomplikowana niż teoria skończonych przestrzeni wektorowych, ponieważ wszystkie one mają tę samą podstawową topologię. Kiedy jednak przyjrzymy się przykładom nieskończenie wymiarowym, sprawy stają się bardziej skomplikowane. Typowymi przykładami są przestrzenie Lebesgue’a, przestrzenie Hilberta i przestrzenie sekwencji.

W literaturze najczęściej spotyka się przestrzenie Banacha nad polem â{R} liczb rzeczywistych; przestrzenie Banacha nad polem â{C} liczb zespolonych nie różnią się zbytnio, ponieważ są również nad â{R}. Ale ludzie badają je również nad liczbami p-adycznymi. Jeśli nie podano inaczej, poniżej zakładamy, że âmathbb{R}.

Definicje

Pozwólmy VV być przestrzenią wektorową nad polem liczb rzeczywistych. \0 ;

  • ârvâ=|r|âvâ {} = {|r|} {\|v\|} (dla rr jako skalara i vv jako wektora) ;
  • âv+wâ¤âvâ+âwâ {{{|v + wâ}} ∙leq {v|v|} + {vâ + wâ} .

    • Z powyższego wynika, że âvââ¥0{vâ|} \geq 0; w szczególności, â0â=0{w} = 0. Norma jest pseudonormą, która spełnia odwrotność tego: v=0v = 0, jeśli âvâ=0{w} = 0.

    A norm on VV is complete if, given any infinite sequence (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \dots) such that

    (1)lim m,nâââ i=m m+nv iâ=0, \lim_{m,nâââ} {= 0 ,

    istnieje (koniecznie unikalna) suma SS taka, że

    (2)lim nâââSââ i=1 nv iâ=0; \lim_{n,nto} {S – ≥sum_{i=1}^n v_i ≥prawda} = 0 ;

    piszemy

    S=â i=1 âv i S = ≥sum_{i=1}^infty v_i

    (przy czym prawa strona jest niezdefiniowana, jeśli taka suma nie istnieje).

    Przestrzeń Banacha jest po prostu przestrzenią wektorową wyposażoną w normę zupełną. Podobnie jak w przypadku linii rzeczywistej, w przestrzeni Banacha mamy, że

    â i=1 âv iâââ¤â i=1 ââv iâ, {} \^leq ^sum_{i=1}^infty {{v_i}}

    z gwarancją istnienia lewej strony, jeśli prawa strona istnieje jako skończona liczba rzeczywista (ale lewa strona może istnieć nawet jeśli prawa strona jest rozbieżna, zwykłe rozróżnienie między zbieżnością bezwzględną i warunkową).

    Jeśli nie nalegamy na to, by przestrzeń była zupełna, nazywamy ją przestrzenią unormowaną (wektorową). Jeśli mamy topologiczną przestrzeń wektorową taką, że topologia pochodzi od normy, ale nie dokonujemy rzeczywistego wyboru takiej normy, to mówimy o przestrzeni normowalnej.

    Przestrzenie Banacha jako przestrzenie metryczne

    Trzy aksjomaty dla pseudonormy są bardzo podobne do trzech aksjomatów dla pseudometrii.

    W dowolnej pseudonormowanej przestrzeni wektorowej niech odległość d(v,w)d(v,w) będzie

    d(v,w)=âwâvâ. d(v,w) = {w – v} .

    Wtedy dd jest pseudometryczną, która jest niezmiennicza translacyjnie w tym sensie, że

    d(v+x,w+x)=d(v,w) d(v+x,w+x) = d(v,w)

    always holds. I odwrotnie, biorąc pod uwagę dowolną niezmienniczą pseudometrię dd na przestrzeni wektorowej VV, niech âvâ będzie

    âvâ=d(0,v). âââ{v} = d(0,v) .

    Wtedy âââ{v} spełnia aksjomaty (1â3) dla pseudonormy, z tym, że może spełniać (2) tylko dla r=0,±1r = 0, 1. (Innymi słowy, jest to tylko pseudonorma G.) Będzie to rzeczywiście pseudonorma, jeśli pseudometria spełnia regułę jednorodności:

    d(rv,rw)=|r|d(v,w). d(r v,r w) = {|r|} d(v,w) .

    Tak więc pseudonormy odpowiadają dokładnie homogenicznym pseudometrom niezmienniczym translacyjnie.

    Podobnie, normy odpowiadają homogenicznym metrykom niezmienniczym translacyjnie, a kompletne normy odpowiadają kompletnym homogenicznym metrykom niezmienniczym translacyjnie. Istotnie, (1) mówi, że ciąg sum częściowych jest ciągiem Cauchy’ego, podczas gdy (2) mówi, że ciąg sum częściowych zbiega do SS.

    Tak więc przestrzeń Banacha może być równoważnie zdefiniowana jako przestrzeń wektorowa wyposażona w pełną jednorodną metrykę niezmienniczą względem translacji. W rzeczywistości, zwykle widzimy coś w rodzaju hybrydowego podejścia: przestrzeń Banacha jest normowaną przestrzenią wektorową, której odpowiadająca metryka jest kompletna.

    Mapy pomiędzy przestrzeniami Banacha

    Jeśli VV i WW są pseudonormowanymi przestrzeniami wektorowymi, to norma funkcji liniowej f:VâWf do W może być zdefiniowana w jeden z tych równoważnych sposobów:

    • âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} {\i1} = \i0} \;|\; {\|v\|} \\} ;
    • âfâ=inf{r|âv,âfvâ¤râvâ} {= \inf \{ r \;\; \ dla wszystkich \,\; {\i0} \̇ r {f v} \} .

    (Czasami widzi się inne formy, ale mogą się one załamać w zdegenerowanych przypadkach.)

    Dla przestrzeni skończonych wymiarów, każda mapa liniowa ma dobrze zdefiniowaną skończoną normę. W ogólności, następujące są równoważne:

    • ff jest ciągła (mierzona pseudometriami na VV i WW) w punkcie 00;
    • ff jest ciągła (wszędzie);
    • ff jest jednostajnie ciągła;
    • ff jest ciągła Lipschitza;
    • âfâ{|f} jest skończony (i w matematyce konstruktywnej zlokalizowany);
    • ff jest ograniczony (mierzony przez bornologie podane przez pseudometrie na VV i WW).

    W tym przypadku mówimy, że ff jest ograniczona. Jeśli f:VâWf nie jest z założenia liniowa, to powyższe warunki nie są już równoważne.

    Związane liniowe mapy z VV na WW same tworzą pseudonormatywną przestrzeń wektorową â¬(V,W)¬mathcal{B}(V,W). Będzie to przestrzeń Banacha jeśli (i, z wyjątkiem zdegenerowanych przypadków VV, tylko jeśli) WW jest przestrzenią Banacha. W ten sposób kategoria BanBan przestrzeni Banacha jest kategorią zamkniętą z â’mathbf{R} jako jednostką.

    Bystry czytelnik zauważy, że nie zdefiniowaliśmy jeszcze BanBan jako kategorii! (zaskakująco w nLab) Istnieje wiele (nie równoważnych) sposobów, aby to zrobić.

    W analizie funkcjonalnej, zwykłym pojęciem âizomorfizmuâ dla przestrzeni Banacha jest ograniczona, bijektywna, liniowa mapa f:VâWfcolon V \ na W taka, że odwrotna funkcja f â1:WâVf^{-1}colon W \ na V (która jest koniecznie liniowa) jest również ograniczona. W tym przypadku można zaakceptować wszystkie związane liniowe mapy pomiędzy przestrzeniami Banacha jako morfizmy. Analitycy czasami nazywają to kategorią âizomorficznąâ.

    Innym naturalnym pojęciem izomorfizmu jest surjektywna izometria liniowa. W tym przypadku za morfizm uważamy krótką mapę liniową lub kontrakcję liniową: mapę liniową ff taką, że âfâ¤1{fâ¤|} \równa się 1. Ta kategoria, którą teoretycy kategorii na ogół nazywają Ban, jest czasami nazywana przez analityków kategorią âizometrycznąâ. Zauważmy, że dzięki temu âunderlying setâ (w sensie Ban jako konkretnej kategorii, jak każda kategoria zamknięta) przestrzeni Banacha jest jej (zamkniętą) kulą jednostkową

    Hom Ban(â,V)â {v|âvââ¤1}. Hom_Ban(™mathbb{R},V) ™cong ™{ v ™; {v|v|} \™leq 1 ™}

    raczej niż zbiór wszystkich wektorów w VV (bazowy zbiór VV jako przestrzeni wektorowej).

    Yemon Choi: To jest naprawdę tutaj, aby przypomnieć sobie, jak zrobić skrzynki zapytań. Ale kiedy jaâm na tym, czy to naprawdę OK, aby odnieść się do âunit ball functorâ jako âtaking the underlying setâ? Zauważyłem, że w dyskusji o wewnętrznych homach w internal hom twierdzi się, że âKażda zamknięta kategoria jest kategorią konkretną (reprezentowaną przez II), a zbiór bazowy wewnętrznego homa jest zewnętrznym homemâ, co wydaje się wymagać âunderlying setâ, aby być interpretowanym w tym luźniejszym sensie.

    Toby: Jasne, ale punktem umieszczenia âunderlying setâ w scare quotes jest właśnie wskazanie, że category-theoretic underlying set nie jest tym, czego normalnie można by się spodziewać.

    Mark Meckes: Rozszerzyłem tę sekcję częściowo, aby być spójnym z terminologią analitykówâ. Przyjąłem pewne założenia dotyczące konwencji teoretyków kategorii, które mogą nie być poprawne. (Jeśli znajdę czas, mogę napisać o innych kategoriach przestrzeni Banacha, o których myślą analitycy.)

    Toby: Dla mnie wygląda dobrze!

    Z perspektywy teoretyka kategorii, kategoria izomorficzna jest tak naprawdę pełnym obrazem funktora inkluzywnego z BanBan do TVSTVS (kategoria topologicznych przestrzeni wektorowych), który może być oznaczany jako Ban TVSBan_{TVS}. Jeśli pracujesz w Ban TVSBan_{TVS}, to obchodzi cię tylko topologiczna struktura liniowa twojej przestrzeni (chociaż obchodzi cię też to, że można ją wyprowadzić z jakiejś metryki); jeśli pracujesz w BanBan, to obchodzi cię cała struktura na przestrzeni.

    Przykłady

    Wiele przykładów przestrzeni Banacha jest sparametryzowanych przez wykładnik 1â¤pâ¤â1 âleq p âleq âleq âleq âlefty. (Czasem można też spróbować 0â¤p<10 â¤leq p ≥1, ale to na ogół nie daje przestrzeni Banacha. .

    (Możemy dopuścić p=âp = \infty, przyjmując granicę; wynikiem jest to, że âxâ â=max i|x i|{x_i|} = \max_i {|x_i|}). Każda skończenie wymiarowa przestrzeń Banacha jest izomorficzna do tego dla pewnych nn i pp; w rzeczywistości, gdy ustalisz nn, wartość pp jest nieistotna aż do izomorfizmu.

  • Przestrzeń sekwencji l pl^p jest zbiorem nieskończonych ciągów (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\) liczb rzeczywistych takich, że

    â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {{(x_1,x_2,¦)¦} = ¦root p {{sum_i {|x_i|^p}}

    istnieje jako skończona liczba rzeczywista. (Jedynym pytaniem jest, czy suma jest zbieżna. Znowu p=âp = \infty jest granicą, z tym, że âxâ â=sup i|x i||{x_i|^p} = \sup_i {|x_i|}). Wtedy l pl^p jest przestrzenią Banacha z taką normą. Są to wszystkie wersje â â â â â â â âââmathbb{R}^_infty, ale nie są one już izomorficzne dla różnych wartości pp. (Patrz klasy izomorfizmu przestrzeni Banacha.)

  • W ogólniejszym sensie, niech AA będzie dowolnym zbiorem i niech l p(A)l^p(A) będzie zbiorem funkcji ff z AA do â âmathbb{R} takich, że

    âfâ p=â x:A|f(x)| pp {fâ_p} = ∗ p {sum_{x: A} {|f(x)|^p}}

    istnieje jako skończona liczba rzeczywista. (Ponownie, âfâ â=sup x:A|f(x)|{suma{x: A} {|f(x)|^p}} = ∙sup_{x}colon A} {|f(x)|}.) Wtedy l p(A)l^p(A) jest przestrzenią Banacha. (Przykład ten zawiera poprzednie przykłady, dla AA zbioru przeliczalnego.)

  • Na dowolnej przestrzeni miar XX, przestrzeń Lebesgue’a â p(X)l^p(X) jest zbiorem mierzalnych prawie-wszędzie-określonych funkcji rzeczywisto-wartościowych na XX takich, że

    âfâ p=â”|f| pp {|f|_p} = ∗ p {|f|^p}

    istnieje jako skończona liczba rzeczywista. (Ponownie, jedynym pytaniem jest, czy całka jest zbieżna. I znów p=âp = \infty jest granicą, z tym skutkiem, że âfâ â{|f|}jest istotnym supremum |f|{|f|}). Jako taka, â p(X)\mathcal{L}^p(X) jest kompletną pseudonormatywną przestrzenią wektorową; ale identyfikujemy funkcje, które są równe prawie wszędzie, aby przekształcić ją w przestrzeń Banacha. (Ten przykład zawiera poprzednie przykłady, dla XX zbioru z miarą liczenia.)

  • Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha; to zawiera wszystkie powyższe przykłady dla p=2p = 2.

    • Operacje na przestrzeniach Banacha

    Kategoria BanBan przestrzeni Banacha jest mała kompletna, mała kokompletna i symetrycznie monoidalna zamknięta względem jej standardowego wewnętrznego hom (opisanego w internal hom). Some details follow.

    • The category of Banach spaces admits small products. Biorąc pod uwagę małą rodzinę przestrzeni Banacha {X α} w A}, to jej iloczyn w BanBan jest podprzestrzenią iloczynu wektorowo-przestrzennego

      â αAX αââprod_{w A} X_alfa

      składającą się z AA-tuples â¨x αââââ kąt x_âââpha ¨rangle, które są jednolicie ograniczone (tzn. istnieje CC takie, że âÎââA:âx αââ¤C}dla wszystkich ¨alpha ¨w A: {{x_alpha}} \C), przyjmując najmniejszą taką górną granicę jako normę â¨x ÎąââââââââââââââC dla wszystkich ¨x_alpha ¨w A: {{x_alpha|}}). Norma ta nazywana jest normą ′infty′; w szczególności, iloczyn AA-indeksowanej rodziny kopii ′mathbb{R} lub ′mathbb{C} jest tym, co jest zwykle oznaczane jako l â(A)l^{infty}(A).

    • Kategoria przestrzeni Banacha dopuszcza korektory. W rzeczy samej, korektorem pary map f,g:XâYf, g: Xârightarrows Y w BanBan jest jądro fâgf-g pod normą odziedziczoną po XX (jądro jest zamknięte, ponieważ fâgf-g jest ciągłe, a zatem jest zupełne). W rzeczywistości każdy equalizer jest parzystym przekrojem przez twierdzenie Hahna-Banacha. Każdy ekstremalny monomorfizm jest już nawet korektorem (i odcinkiem): Niech f:XâYf będzie ekstremalnym monomorfizmem, ι:â(f)âYfiota ™colon ™Im(f) ™to Y osadzeniem Im(f)Im(f) w kodomenie ff, a fâ²:XâIm(f)f ™prime ™colon X ™to Im(f) ff z ograniczoną kodomeną. Ponieważ fâ²f jest epimorfizmem, f=ιfâ²f=iota ff, a ff ekstremalne, fâ²f jest izomorfizmem, zatem ff jest embeddingiem.

    • Kategoria przestrzeni Banacha dopuszcza małe koprodukty. Biorąc pod uwagę małą rodzinę przestrzeni Banacha {X α} w A}, to jej koprodukt w BanBan jest dopełnieniem koproduktu przestrzeni wektorowej

      ⨠αAX αbigoplus_{ w A} X_alpha

      w odniesieniu do normy danej przez

      ⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {left ¨ ¨bigoplus_{s w S} x_s ¨right ¨} = ¨sum_{s w S} {{{x_s}} ,

      gdzie SâAS \subseteq A jest skończony i âx sâ{x_s\} oznacza normę elementu w X sX_s. Norma ta nazywana jest 11-normą; w szczególności koproduktem indeksowanej przez AA rodziny kopii ââx sââ{R} lub ââx sâ{C} jest to, co zwykle oznaczane jest jako l 1(A)l^1(A).

    • Kategoria przestrzeni Banacha dopuszcza koekwalizatory. W istocie, koekwiwalent pary map f,g:XâYf, g: X ™rightarrows Y jest cokernel of fâgf-g under the quotient norm (w którym norma cosetu y+Cy + C jest minimalną normą osiągniętą przez elementy y+Cy + C; tutaj CC jest obrazem (fâg)(X)(f-g)(X), który jest zamknięty). Standardowo norma ilorazowa na Y/CY/C jest zupełna biorąc pod uwagę, że norma na YY jest zupełna.

    • Do opisu iloczynu tensorowego Xâ BanYX ∙otimes_{Ban} Y dwóch przestrzeni Banacha (czyniąc BanBan symetryczną monoidalną zamkniętą względem zwykłego wewnętrznego hom), niech F(XĂY)F(X \times Y) będzie wolną przestrzenią wektorową generowaną przez zbiór XĂYX \times Y, z normą na typowym elemencie zdefiniowaną przez

      â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iâ ây iâ. {a_i (x_i ∙ razy y_i) ∙right} = ∙sum_{1 ∙leq i ∙leq n} {|a_i|} {|x_i} \Niech F¯(XĂY)\\\(X \times Y) oznacza jego dopełnienie względem tej normy. Następnie bierzemy cokernel z F¯(XĂY)\overline{F}(X \times Y) przez zamknięcie podprzestrzeni rozpiętej przez oczywiste relacje bilinearne. Tym ilorazem jest Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

      W literaturze dotyczącej przestrzeni Banacha powyższy iloczyn tensorowy jest zwykle nazywany rzutowym iloczynem tensorowym przestrzeni Banacha; zob. inne iloczyny tensorowe przestrzeni Banacha. Produkt i koprodukt są uważane za sumy bezpośrednie; zobacz inne sumy bezpośrednie przestrzeni Banacha.

      Do opisania:

      • duale (p+q=pqp + q = p q);
      • kompletność (BanBan jest refleksyjną podkategorią PsNVectPsNVect (pseudonormed vector spaces)).
      • BanBan jako (nieco większa) kategoria z dualami.

      Integracja w przestrzeniach Banacha

      Ten paragraf opisuje pewne aspekty teorii całkowania w przestrzeniach Banacha, które są istotne dla zrozumienia literatury o AQFT. W podanym kontekście, elementy przestrzeni Banacha â¬mathcal{B} są czasami nazywane wektorami, funkcje lub miary przyjmujące wartości w â¬mathcal{B} są zatem nazywane funkcjami wektorowymi i miarami wektorowymi. Funkcje i miary przyjmujące wartości w dziedzinie, na której zdefiniowana jest przestrzeń Banacha jako przestrzeń wektorowa, nazywamy funkcjami skalarnymi i miarami skalarnymi.

      Rozważymy dwa rodzaje całek:

      • integralne funkcji wektorowych względem miary skalarnej, w szczególności całkę Bochnera,

      • integralne funkcji skalarnych względem miary wektorowej, w szczególności całkę spektralną operatora normalnego na przestrzeni Hilberta.

      Całka Bochnera

      Całka Bochnera jest bezpośrednim uogólnieniem całki Lesbegue’a na funkcje, które przyjmują wartości w przestrzeni Banacha. Ilekroć w literaturze dotyczącej AQFT spotykamy się z całką funkcji przyjmującej wartości w przestrzeni Banacha, można bezpiecznie założyć, że chodzi o całkę Bochnera. Dwa punkty wyjaśnione już przez Wikipedię są interesujące:

      1. Wersja zdominowanego twierdzenia o zbieżności jest prawdziwa dla całki Bochnera.
      2. Istnieją twierdzenia, które nie są ważne dla całki Bochnera, w szczególności twierdzenie Radona-Nikodyma nie zachodzi w ogólności.
      • Wikipedia

      odnośnik: Józef Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (pozycja ZMATH), rozdział IV.

      Całka spektralna

      Całka względem miary spektralnej związanego operatora normalnego na przestrzeni Hilberta jest przykładem całki z przestrzeni Banacha względem miary wektorowej. W tym paragrafie przedstawiamy dobrze znany, ale nieco rzadziej cytowany wynik, który jest przydatny w niektórych dowodach w niektórych podejściach do AQFT, jest to wersja zdominowanego twierdzenia o zbieżności dla danego układu.

      Niech A będzie związanym operatorem normalnym na przestrzeni Hilberta, a E będzie jego miarą spektralną (ârozwiązanie tożsamościâ w ujęciu Dunforda i Schwartza). Niech Ï(A)\sigma(A) będzie widmem A. Dla ograniczonej złożonej funkcji Borela f mamy wtedy

      f(A)ââ” Ï(A)f(Δ)E(dΔ) f(A) ˆcoloneqq ˆint_{sigma(A)} f(ˆlambda) E(dˆlambda)
      Twierdzenie (dominująca zbieżność)

      Jeśli jednolity ciąg {f n} {f_n} złożonych funkcji borelowskich jest zbieżny w każdym punkcie Ï(A)\sigma(A) do funkcji ff, wtedy f n(A)âf(A)f_n(A) zbiega do f(A) w topologii silnego operatora.

      Patrz Dunford, Schwartz II, rozdział X, corollary 8.

      Właściwości

      Relacja do przestrzeni bornologicznych

      Każda indukcyjna granica przestrzeni Banacha jest bornologiczną przestrzenią wektorową. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

      Odwrotnie, każda bornologiczna przestrzeń wektorowa jest granicą indukcyjną przestrzeni normowanych, i przestrzeni Banacha, jeśli jest quasi-complete (Schaefer-Wolff 99)

      • refleksyjna przestrzeń Banacha

      • projektywna przestrzeń Banacha

      • przestrzeń analityczna Banacha

      Nazwa od nazwiska Stefana Banacha.

      • Walter Rudin, Analiza funkcjonalna

      • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âLinear operators. Część I: Ogólna teoria.â (hasło ZMATH), âLiniowe operatory. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

      • Z. Semadeni, Przestrzenie Banacha funkcji ciągłych, t. I, Polskie wydawnictwa naukowe. Warszawa 1971

      • Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

      • H. H. Schaefer with M. P. Wolff, Topological vector spaces, Springer 1999

      category: analysis

      .

    Dodaj komentarz

    Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.