Wprowadzenie

Przygotowanie obiektu, wykonanie na nim pomiaru i zarejestrowanie wyniku stanowią uproszczony obraz eksperymentu fizycznego na tym obiekcie. Kilkakrotne powtórzenie tej samej procedury pozwala na zebranie statystyki (częstości względnych) zarejestrowanych wyników. Idea przyczynowości statystycznej wyraża przekonanie, że statystyka ta może być aproksymowana i modelowana przez miarę prawdopodobieństwa zależną od pomiaru i przygotowania.

Ten prosty obraz jest często podawany jako intuicyjne tło w formułowaniu probabilistycznych teorii fizycznych obiektów, zbudowanych na statystycznym dualizmie pomiędzy pojęciami stanów (klas równoważności preparatów) i obserwabli (klas równoważności pomiarów), gdzie dualizm jest dany przez funkcję prawdopodobieństwa, która przypisuje każdemu stanowi i każdej obserwabli miarę prawdopodobieństwa, która wysuwa prawdopodobieństwa wyniku pomiaru dla tej obserwabli w tym stanie.

W podejściu aksjomatycznym dąży się do wprowadzenia fizycznie wiarygodnych struktur dla zbiorów wszystkich możliwych stanów (preparatów) i obserwabli (pomiarów), takich, że postać funkcji prawdopodobieństwa może być określona.

W niniejszej pracy zarysowujemy takie podejście dla mechaniki kwantowej. W §2, ogólne ramy i odpowiednie struktury przestrzeni Hilberta są krótko przypomniane. W §3, twierdzenie Soléra jest użyte do identyfikacji ogólnej struktury ortomodularnej z Hilbertowską. Wyeksponowana jest rola symetrii ukrytej w tym kluczowym twierdzeniu. W końcu, przeglądamy pewne argumenty, które wskazują, że mechanika kwantowa powinna być sformułowana w złożonej przestrzeni Hilberta (§4).

Podstawowe struktury

(a) Punkt wyjścia

Niech S i O będą dwoma niepustymi zbiorami, zbiorami wszystkich stanów i wszystkich obserwabli układu fizycznego, który ma być badany. Obserwable idzie razem z niepustym zbiorem Ω i sigma-algebrą podzbiorów Ω. Niech , lub po prostu E, oznacza obserwowalne. Przyjmujemy, że zbiór Ω opisuje możliwe wyniki pomiarów dla obserwowalnego, a elementy algebry σ rozumiemy jako zbiory testowe, w których liczone są grupy wyników. W większości zastosowań zbiór ten jest podzbiorem (otwartym lub zamkniętym) linii rzeczywistej (lub płaszczyzny), a σ-algebra to odpowiadające im zbiory borelowskie.

Podstawowe założenie stosowanego tu podejścia jest następujące: dla każdego stanu α∈S i dla każdego obserwowalnego E istnieje miara prawdopodobieństwa , która daje prawdopodobieństwa wyników pomiaru dla obserwowalnego E w stanie α.

Zbiór S stanów jest naturalnie obdarzony strukturą wypukłą i jako taki może być postrzegany jako wypukły podzbiór rzeczywistej przestrzeni wektorowej. Struktura ta pozwala rozróżnić stany czyste, elementy ekstremalne S, oraz stany mieszane, jego elementy nieekstremalne. Niech ex(S) oznacza zbiór stanów czystych, choć na początek może on być pusty. Jeśli α=λβ1+(1-λ)β2 jest mieszaniną stanów β1,β2, z wagą 0≤λ≤1, to z definicji struktury wypukłej S wynika, że p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) dla każdej obserwowalnej E i zbioru wartości . Każda para (E,X) definiuje więc funkcję afiniczną S∋α↦p(α,E,X)∈. Mówimy, że funkcja afiniczna f:S→ jest funkcją doświadczalną, czyli skutkiem, jeśli f(α)=p(α,E,X) dla pewnej pary (E,X). Niech E⊂S oznacza zbiór wszystkich funkcji doświadczalnych. Wyraźnie widać, że 0,1∈E i jeśli f∈E, to także f⊥=1-f∈E. Naturalne uporządkowanie funkcji S→ nadaje E strukturę zbioru częściowo uporządkowanego o uniwersalnych granicach 0,1, a mapa f↦f⊥ jest antyautomorfizmem inwolutywnym. Oczywiście, E nie musi być kratą (względem ≤), a mapa f↦f⊥ nie musi być ortokomplementacją. Niekiedy możemy też rozważać stany jako funkcje na E pisząc α(f)=f(α). Zachowują one zarówno porządek jak i inwolucję.

Okazuje się, że przy formułowaniu aksjomatów dla teorii para (S,E) stanów i funkcji doświadczalnych jest łatwiejsza w obsłudze niż para stanów i obserwabli. Zauważmy też, że każda f∈E, wraz z f⊥∈E, może być rozumiana jako pomiar tak-nie (lub dwuwartościowa obserwowalna), przy czym f(α)=p(α,E,X) i f⊥(α)=p(α,E,X′) dają prawdopodobieństwa odpowiednio dla wyników tak i nie.

(b) Przypadek przestrzeni Hilberta

Przed przejściem do ogólnej struktury, przypomnijmy sobie kilka dobrze znanych aspektów mechaniki kwantowej w przestrzeni Hilberta. Przyjmijmy, że zbiór S stanów może być utożsamiony ze zbiorem dodatnich operatorów śladu pierwszego na złożonej separowalnej przestrzeni Hilberta . Wtedy każda funkcja doświadczalna f rozszerza się na dodatnią funkcję liniową na , klasę śladu samoprzylepnego. Stąd, dla dowolnego f, istnieje unikalny dodatni jednostkowy operator związany 0≤E≤I taki, że f(α)=tr dla wszystkich α∈S. Niech (E,X) będzie parą, dla której f(α)=p(α,E,X)=tr. Ponieważ dla dowolnego α mapa X↦p(α,E,X) jest miarą prawdopodobieństwa, wnioskujemy, że obserwowalny E jest znormalizowaną miarą operatorową dodatnią . W tym miejscu naturalnie można przyjąć, że zbiór E wszystkich funkcji doświadczalnych jest utożsamiony z całym zbiorem operatorów oddziaływań, dodatnich operatorów jednostkowych związanych na .

Załóżmy następnie, że zbiór funkcji doświadczalnych E pokrywa się z siecią projekcyjną z . W takim przypadku, każdy stan może być postrzegany jako miara prawdopodobieństwa na . Przez twierdzenie Gleasona, jeśli dowolna miara prawdopodobieństwa na powstaje z unikalnego dodatniego operatora trace one i znów mamy formułę trace dla prawdopodobieństw: dla dowolnego , P(α)=α(P)=tr, gdzie stan α jest identyfikowany z elementem danym przez twierdzenie Gleasona. W tym podejściu naturalne jest założenie, że zbiór S stanów pokrywa się ze zbiorem wszystkich miar prawdopodobieństwa na , a więc , dzięki czemu obserwable można utożsamiać ze znormalizowanymi miarami o wartości rzutowej .

Można też zacząć od założenia, że zbiór E funkcji doświadczalnych jest utożsamiany z całym zbiorem operatorów oddziaływań. Wówczas, ponownie, każdy stan ograniczony do podzbioru może być utożsamiony z elementem , przy czym formuła śladu daje prawdopodobieństwa.

Wreszcie, można założyć, że oraz że dowolny stan α:E→ nie tylko zachowuje porządek i inwolucję, ale także jest częściowo addytywny (to znaczy, dla wszystkich , jeśli , to α(A+B)=α(A)+α(B)) i ma następującą własność ciągłości: jeśli (Ai)i∈I jest rosnącą siatką w , to . Wówczas, znów bez użycia twierdzenia Gleasona, każdy stan α można utożsamić z unikalnym elementem i α(E)=tr.

(c) Przypadek ortomodularny

(i) Ogólna struktura

W podejściu aksjomatycznym opartym na dualności statystycznej (S,E) strategia polega na stawianiu fizycznie wiarygodnych założeń dotyczących możliwości preparacji i pomiarów. Zarówno podejście Mackeya (logika kwantowa), jak i podejście Daviesa-Lewisa (wypukłość) mają to wspólne tło.

W przypadku przygotowań typowe założenie dotyczy istnienia dostatecznie dużego zbioru stanów czystych (stanów o maksymalnej informacji), na przykład w tym sensie, że zbiór ten jest dostatecznie duży, aby określić rząd funkcji eksperymentalnych. Innym wspólnym założeniem jest to, że stany czyste można nie tylko przygotować, ale i zidentyfikować za pomocą odpowiednich pomiarów tak-nie. To założenie już poza dualnością przeplata zbiory stanów i funkcji eksperymentalnych, pomiarów tak-nie. Dalsze założenia dotyczące struktury zbioru E są zwykle formułowane jako wymóg istnienia wystarczająco dużego podzbioru L⊂E pomiarów tak-nie, które kwalifikują się jako idealne, pierwszorzędne i powtarzalne pomiary.

Od pionierskich prac Mackeya i Daviesa & Lewisa , powyższe typy argumentów były szeroko badane w literaturze; zob. np. monografie lub nasz niedawny przegląd . Nie powtarzamy tych argumentów, a jedynie podajemy dobrze znany wynik końcowy:

• (a) Istnieje podzbiór L⊂E efektów, zwanych propozycjami lub ostrymi efektami, który ma strukturę L=(L,≤,⊥,0,1) częściowo uporządkowanej, ortokomplementarnej, ortomodularnej, kompletnej sieci, z uniwersalnymi granicami 0 i 1, która jest atomistyczna, rozłączna, ma własność pokrycia i jest nieredukowalna.

• (b) Zbiór S stanów można rozpatrywać jako σ-wypukły zbiór miar prawdopodobieństwa na L, który ma zbiór dostateczny ex(S) stanów czystych: dla dowolnych a,b∈L, a≤b jeśli α(a)≤α(b) dla wszystkich α∈ex(S).

• (c) Istnieje bijektorialna korespondencja między zbiorami ex(S), czystych stanów S, i At(L), atomów L, dana przez projekcję wsparcia α↦s(α), przy czym s(α) jest najmniejszym elementem, dla którego α(b)=1,b∈L.

Komentujemy tu tylko dwie, być może najbardziej technicznie wyglądające własności: rozłączność i nieredukowalność. Dowolna obserwowalna E, której związane z nią funkcje doświadczalne są propozycjami (lub ostrymi efektami) może być widziana jako σ-homorfizm , przy czym przedział jest booleańską sub-σ-algebrą L. Rozdzielność L implikuje, że dowolna booleańska sub-σ-algebra L może być widziana jako przedział obserwowalnej z przestrzenią wartości rzeczywistych . Nieredukowalność L pokazuje, że dualność (S,E) opisuje właściwy obiekt kwantowy. Istotnie, własność ta wynika np. z założenia, że dla dowolnych dwóch stanów czystych α,β∈ex(S), α≠β, istnieje trzeci γ∈ex(S), α≠γ≠β, który jest ich superpozycją (np. w tym sensie, że podpora γ jest zawarta w złączeniu podpor α i β).

Mapa ⊥, gdy jest ograniczona do L, jest w istocie ortokomplementacją i sprawia, że L jest ortomodularne; to znaczy, dla dowolnego a,b∈L, jeśli a≤b, to b=a∨(a∧b⊥). Przypominamy, że o a i b mówimy, że są wzajemnie ortogonalne, a⊥b, jeśli a≤b⊥. To właśnie te struktury pozwalają zdefiniować miary prawdopodobieństwa na L. Niech Prob(L) oznacza zbiór wszystkich miar prawdopodobieństwa na L; to znaczy, wszystkie mapy μ:L→ dla których dla dowolnego ciągu parami ortogonalnych elementów ai∈L. Z punktu (b) wynika, że zbiór S stanów jest sigma-wypukłym podzbiorem Prob(L), a z (c) wynika, że stany czyste odpowiadają atomom L. Choć jest to oczywiste, podkreślamy, że zbiór stanów może być właściwym podzbiorem wszystkich miar prawdopodobieństwa na L.

Wiadomo, że zbiór L twierdzeń o własnościach podanych w powyższym punkcie (a) dopuszcza koordynację wektorowo-przestrzenną.

(ii) Ortomodularna realizacja przestrzeni

Pozwólmy (V,K,*,f) być przestrzenią hermitowską, to znaczy V jest (lewostronną) przestrzenią wektorową nad pierścieniem podziału K, mapa K∋λ↦λ*∈K jest antyautomorfizmem inwolutywnym, a mapa V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K jest (niesingularną) formą hermitowską.

Mówi się, że podprzestrzeń M⊂V jest f-zamknięta, jeśli M=M⊥⊥, gdzie

Zbiór Lf(V) wszystkich f-zamkniętych podprzestrzeni V tworzy nieredukowalną pełną ortokomplementarną siatkę względem inkluzji podzbiorów ⊆ i mapy M↦M⊥. Jest ona również atomistyczna i ma własność pokrycia. Zawiera wszystkie podprzestrzenie skończenie wymiarowe, a podprzestrzenie jednowymiarowe ={λv | λ∈K},v≠0, są atomami Lf(V). Wiadomo, że siatka Lf(V) jest ortomodularna dokładnie wtedy, gdy przestrzeń (V,K,*,f) jest ortomodularna; to znaczy, jeśli dla dowolnego M∈Lf(V),

Twierdzenie odwrotne jest zbiorem podstawowych wyników z geometrii rzutowej. Szczegółowe dowody są podane w książkach Varadarajana i Maedy & Maeda . Wynik ten zakłada, że długość kratownicy L, czyli długość maksymalnego łańcucha w L, wynosi co najmniej 4, co oznacza, że przestrzeń wektorowa V jest co najmniej trójwymiarowa.

Twierdzenie 2.1

Jeśli długośćjest co najmniej 4, to istnieje przestrzeń ortomodularna (V,K,*,f) taka, że siatkaz f-zamkniętych podprzestrzeni V jest ortoizomorficzna do, w skrócie .

Zbiór S stanów można teraz zidentyfikować jako podzbiór wszystkich miar prawdopodobieństwa na Lf(V), czyli S⊂Prob(Lf(V)); każdy α∈S ma swoją podporę s(α)∈Lf(V) i każdy M∈Lf(V) jest podporą jakiegoś α∈S. Ponadto, stany czyste α∈ex(S) odpowiadają atomom ∈Lf(V) jeden do jednego i są jednoznacznie określone przez ich wartości na atomach, czyli przez liczby α()∈. Jasne, że jeśli (V,K,*,f) jest klasyczną przestrzenią ortomodularną, czyli przestrzenią Hilberta nad to f jest iloczynem wewnętrznym i przez twierdzenie Gleasona

dla dowolnych v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. W tym przypadku zbiór Prob(Lf(V)) wszystkich miar prawdopodobieństwa na Lf(V) pokrywa się ze zbiorem stanów S obiektu, ponieważ teraz.

Powyższe ogólne struktury dotyczące pary (S,L), L⊂E, implikują, że ortomodularna przestrzeń wektorowa V musi dopuszczać bogaty zbiór miar prawdopodobieństwa na Lf(V). W przypadku skończenie wymiarowym nie wystarczy to, by przestrzeń ta stała się przestrzenią Hilberta. Istotnie, jeśli , , , z mapą tożsamości jako inwolucją , to jest przestrzenią ortomodularną. Zbiór jest zbiorem wszystkich podprzestrzeni i dla każdej z nich powyższa formuła definiuje miarę prawdopodobieństwa na . Jeśli oznacza σ-wypukły kadłub wszystkich takich miar prawdopodobieństwa na , to para ma wszystkie własności wymienione w powyższych punktach (a)-(c), choć nie jest przestrzenią Hilberta. W tym przypadku jest właściwym podzbiorem . (Istnieją również nieskończenie wymiarowe przestrzenie ortomodularne, które nie są przestrzeniami Hilberta, ale które dopuszczają bogate zbiory miar prawdopodobieństwa . Pozostaje jednak otwartą kwestią, czy nieskończenie wymiarowa przestrzeń ortomodułowa z własnościami (b) i (c) musi lub nie musi być przestrzenią Hilberta.

Twierdzenie Soléra charakteryzuje przestrzenie Hilberta wśród nieskończenie wymiarowych przestrzeni ortomodułowych z własnością, która jest, przynajmniej częściowo, otwarta na operacyjne uzasadnienie. Zajmiemy się tym zagadnieniem dalej.

Twierdzenie Soléra i symetria

(a) Twierdzenie Soléra

Rozważmy ponownie dualność statystyczną (S,E) z własnościami (a)-(c) z §2c(i). Ze względu na rozłączność L, dowolna wzajemnie ortogonalna rodzina elementów w L jest co najwyżej przeliczalnie nieskończona. Naturalnie można założyć, że takie niezliczone ciągi istnieją; na przykład, w najbardziej naturalnym przypadku, gdy rozważany obiekt fizyczny może być zlokalizowany w przestrzeni euklidesowej, warunek ten jest gwarantowany. Zakładamy zatem, że w L istnieje co najmniej jeden nieskończony ciąg wzajemnie ortogonalnych atomów. W tym przypadku przestrzeń ortomodularna (V,K,*,f) związana z L jest nieskończenie wymiarowa i istnieje co najmniej jeden nieskończony ciąg (niezerowych) wektorów (ei)⊂V, który jest ortogonalny; to znaczy, że f(ei,ej)=0 dla wszystkich i≠j. Twierdzenie Soléra charakteryzuje przestrzenie Hilberta spośród takich przestrzeni ortomodularnych.

Twierdzenie 3.1

Niech (V,K,*,f) będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią ortomodularną. Jeśli istnieje nieskończony ciąg ortogonalnyo własności

3.1

wtedy K jest(liczby rzeczywiste),(liczby zespolone) lub(kwaterniony), a (V,K,*,f) jest odpowiednią przestrzenią Hilberta. Dla, inwolucja * jest mapą tożsamości; dla, jest koniugacją złożoną; a dla, jest koniugacją kwaternionową.

Dodatkowy „warunek normy” (3.1) wygląda dość niewinnie, ale w rzeczywistości jest bardzo silnym warunkiem, co można zrozumieć z pracy Kellera . Chociaż własność ta jest wyrażona w terminach formy f i nie jest bezpośrednio związana z własnościami dualności, ma z nimi związek poprzez teorię symetrii.

(b) Symetria

W mechanice kwantowej istnieje kilka naturalnych sformułowań pojęcia symetrii i wszystkie one okazują się równoważne (np. ). Pozostaje to ważne również dla dualności statystycznych z własnościami (a)-(c) z §2c(i). W celu zastosowania teorii symetrii w kontekście Twierdzenia 3.1, przyjmujemy następującą definicję pojęcia symetrii: symetria jest bijektorialnym odwzorowaniem ℓ:At(L)→At(L), które jest takie, że dla dowolnych p,q∈At(L), atomy p i q są wzajemnie ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy ℓ(p) i ℓ(q) są takie. Przypomnijmy, że dla Lf(V), atomy i są ortogonalne dokładnie wtedy, gdy f(v′,u′)=0 dla pewnych, a więc wszystkich niezerowych wektorów v′∈, u′∈. Ponieważ atomy i stany czyste są w korespondencji jeden-do-jednego onto, możemy równie dobrze rozważać symetrię jako bijekcję na ex(S), rozumiejąc, że wzajemna ortogonalność stanów czystych oznacza wzajemną ortogonalność odpowiadających im atomów, podpór stanów czystych.

Podobnie jak w teorii przestrzeni Hilberta, dowolna symetria ℓ może być realizowana przez mapę S działającą na bazową przestrzeń wektorową V . Istotnie, rozszerzając symetrię ℓ:At(L)→At(L) na rzutowość (V,K,*,f), czyli bijekcję zachowującą porządek na siatce wszystkich podprzestrzeni V (np. ), pierwsze fundamentalne twierdzenie o reprezentacji geometrii rzutowej wraz z nieskończenie wymiarową wersją twierdzenia Birkhoffa-von Neumanna daje następujący wynik.

Twierdzenie 3.2

Dla dowolnej symetrii, istnieje zachowująca ortogonalność bijektorialna mapa g-liniowa S:V →V taka, że dla dowolnego v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Jeśli T jest inną bijektorialną h-liniową mapą V →V wywołującą tę samą symetrię, to istnieje λ∈K taka, że Sv=λTv dla dowolnego v∈V . Ponadto, istnieje ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, takie, że

3.2

dla wszystkich u,v∈V .

Przypominamy, że pojęcie mapy g-liniowej S:V →V oznacza, że S jest addytywna na V , g:K→K jest izomorfizmem i S(λv)=g(λ)Sv dla wszystkich v∈V,λ∈K.

Lemma 3.3

Pozwól , być dowolnymi dwoma wzajemnie ortogonalnymi atomami wLf(V). Jeżeli istnieją niezerowe wektoryx′∈ iy′∈ takie, że

to istnieje symetria ℓ, która zamienia atomy i , czyli ℓ()= i ℓ()= i ma ich superpozycję jako punkt stały, czyli istnieje atom ≤∨ taki, że ℓ()=.

Lemat ten, udowodniony w , sugeruje, że aby dualność statystyczna (S,E) o własnościach (a)-(c) z §2c(i) miała realizację w przestrzeni Hilberta, zbiór symetrii musi być dostatecznie bogaty. Warto podkreślić, że pojęcie superpozycji stanów czystych, które stoi również za nieredukowalnością L, odgrywa w tym lemacie pewną rolę. Dalej, warto przypomnieć, że obiekt kwantowy jest elementarny względem grupy symetrii G, jeśli istnieje homomorfizm grupowy zdefiniowany na G i przyjmujący wartości w zbiorze Sym(L) wszystkich symetrii At(L) taki, że dla dowolnego stanu czystego α∈ex(S) zbiór {ℓg(α) | g∈G} jest kompletny w sensie superpozycji, czyli każdy inny stan czysty β∈ex(S) może być wyrażony jako superpozycja pewnych stanów czystych ℓg(α), g∈G .

Załóżmy teraz, że dla dowolnych dwóch wzajemnie ortogonalnych atomów i istnieje symetria ℓ taka, że ℓ()= i ℓ()= dla pewnego ≤∨. Niech S,g,ρ będzie trójką, która realizuje ℓ zgodnie z Twierdzeniem 3.2. Dla dowolnego y′∈, istnieje x′∈ takie, że Sx′=y′. Wtedy, f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Zakładając, że forma f jest taka, że dla każdego v∈V liczba f(v,v) jest elementem komutującym K, czyli f(v,v)∈Cent(K), wtedy dla dowolnego z′∈, Sz′=λz′ dla jakiegoś λ∈K, a zatem λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(f(z′,z′)). Równanie to daje g(ρ)=λλ*, pod warunkiem że g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Wtedy również f(y′,y′)=f(λx′,λx′), co jest potrzebne w twierdzeniu 3.

Z powyższych obserwacji wynika, że jeśli zbiór symetrii jest dostatecznie obfity w tym sensie, że dla każdej pary ortogonalnych atomów istnieje symetria zamieniająca atomy i zachowująca ich superpozycję jako punkt stały oraz jeśli postać f jest dostatecznie regularna w tym sensie, że dla każdego v∈V , f(v,v)∈Cent(K) i g(f(v,v))=f(v,v) dla dowolnego automorfizmu g K, to warunki twierdzenia Soléra są spełnione, a zatem nieskończenie wymiarowa przestrzeń ortomodularna (V,f,*,K) modelująca dualność statystyczną (S,E), z własnościami (a)-(c) z §2c(i), jest przestrzenią Hilberta nad lub .

Wnioskujemy, że aż do pytania o regularność formy konieczność realizacji w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta dualności statystycznej (S,E) układu kwantowego jest dobrze zrozumiała.

Przypadek dla

Pozostaje nam kwestia wyboru pola liczbowego. Nie jesteśmy w stanie dać definitywnej odpowiedzi na to pytanie, ale chcemy wskazać na pewne, w zasadzie dobrze znane wyniki, które wzięte razem przemawiają za wyborem pola zespolonego jako tego dla mechaniki kwantowej.

Dobrze wiadomo, że podstawowe struktury mechaniki kwantowej są jednakowo ważne w każdym z trzech przypadków nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nad lub . Z twierdzenia Gleasona , twierdzenie 4.23, stany układu można utożsamiać z operatorami dodatnimi o jednostkowym śladzie, a obserwable z unormowanymi miarami operatorów dodatnich , przy czym formuła śladu tr daje prawdopodobieństwa wyniku pomiaru. Co więcej, obserwable ostre (o wartości rzutowej) są w korespondencji jeden do jednego na z operatorami samopodobnymi , twierdzenie 4.11; dla systematycznego studium teorii operatorów w kwaternionowych przestrzeniach Hilberta (np. ). Ponadto, dzięki twierdzeniu Soléra, twierdzenie 3.2 redukuje się do twierdzenia Wignera , twierdzenie 4.29.

Równie dobrze wiadomo, że te trzy przypadki wykazują pewne znaczące różnice. Tylko w przypadku złożonym jednoparametrycznym grupom jednostkowym odpowiadają, poprzez twierdzenie Stone’a, operatory samopodobne A działające w . W przypadkach rzeczywistych i kwaternionowych implikuje to istotne zmiany w strukturze obserwabli zdefiniowanych w kategoriach ich charakterystycznych własności symetrii (np. rozdz. 22, , rozdz. 18, ). Przypominamy też, że istnieją przekształcenia symetrii, które mogą być realizowane tylko w przypadku złożonym (np. ). Ponadto, pochodność relacji nieoznaczoności preparatyki typu Heisenberga-Kennarda-Robertsona oraz działanie odwracania czasu wydają się wymagać liczb zespolonych (np. , s. 66, , , s. 47-49). W szczególności wydaje się, że systematyczna interpretacja mechaniki kwantowej w rzeczywistej przestrzeni Hilberta efektywnie wymaga jej osadzenia w przestrzeni zespolonej. Dlatego, choć nie z logicznej konieczności, można zastosować brzytwę Occama i odłożyć na bok przypadek rzeczywisty jako niepotrzebną komplikację w porównaniu z formułowaniem mechaniki kwantowej w złożonej przestrzeni Hilberta.

Co z kwaternionami? W świetle obszernej monografii Adlera Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields , można by uznać, że kwestionowanie tej możliwości jest nie na miejscu. Jednak z matematycznego punktu widzenia, a także w porozumieniu z Adlerem, można wskazać, że większość ważnych wyników teorii operatorów w kwaternionowych przestrzeniach Hilberta uzyskuje się przez redukcję do przypadku złożonego za pomocą techniki „plasterków”, stosowanej np. w . Dlatego, podobnie jak w przypadku rzeczywistym, brzytwa Occama może być również użyta do wykluczenia kwaternionów. Istnieje jednak podstawowy problem z kwaternionową mechaniką kwantową, problem układów złożonych. Poniżej krótko omówimy ten punkt.

Teoria układów złożonych jest jedną z najistotniejszych części mechaniki kwantowej, zarówno z założycielskiego, jak i z praktycznego punktu widzenia. Niech zatem (S,L,E), (S1,L1,E1) i (S2,L2,E2) będą statystycznymi opisami trzech właściwych układów kwantowych odpowiednio i , oraz niech , , i=1,2, podadzą ich realizacje w przestrzeni Hilberta, przy czym K,Ki jest jedną z lub w każdym przypadku.

Załóżmy, że jest kompozycją i ; to znaczy i są podsystemami i jest z nich i z niczego innego złożona. Idea ta prowadzi do pewnych oczywistych wymagań dotyczących opisu statystycznego tych trzech systemów (np. rozdz. 24). W szczególności, muszą istnieć iniekcyjne unitalne morfizmy (mapy rozpoznawania) hi:Li→L takie, że dla każdego a1∈L1,a2∈L2, propozycje h1(a1),h2(a2)∈L są zgodne (wspólnie mierzalne), oraz dla dowolnych dwóch atomów (stanów czystych) p1∈At(L1) i p2∈At(L2), h1(p1)∧h2(p2) jest atomem (stanem czystym) L.

Analogicznie z twierdzenia 3.2 można pokazać, że mapa

może, w obecnym kontekście, być realizowana przez (g1,g2)-bilinearną mapętaką, że

(patrz , twierdzenie 2.22, lub , twierdzenie 9 i , twierdzenie 24.4.1). W szczególności wynika z tego, że morfizmy gi:Ki→K komutują z odpowiednimi inwolucjami, czyli, dla każdego λi∈Ki, jak również ze sobą nawzajem, czyli g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) dla wszystkich λi∈Ki.

Rozważmy teraz przypadek kwaternioniczny; to znaczy, załóżmy, że (a więc także ). Ponieważ każdy automorfizm jest wewnętrzny, mamy teraz, że oba gi są postaci dla jakiegoś . Ale nie istnieje , z |c1|=|c2|=1, dla której

mogłoby to mieć miejsce dla wszystkich. Prowadzi nas to do wniosku, że mechanika kwantowa na kwaternionowych przestrzeniach Hilberta nie jest w stanie opisać układów złożonych w sposób sformalizowany w kategoriach map rozpoznawania opisanych powyżej. Oczywiście, wynik ten, dzięki , jest związany z problemem iloczynu tensorowego kwaternionowych przestrzeni Hilberta (np. ).

Z drugiej strony, jeśli , to również , twierdzenie 12, w którym to przypadku funkcje g1,g2 są albo tożsamością, albo koniugacjami zespolonymi. Cztery przypadki (g1,g2) prowadzą do czterech rozwiązań iloczynu tensorowego: , , i , przy czym jest przestrzenią dualną (zob. lub , rozdz. 24). Choć bazowe przestrzenie Hilberta są izomorficzne tylko w parach i , to logiki (sieci projekcyjne) są izomorficzne w każdym przypadku. Dlatego uznajemy je za równoważne i wybieramy , inne wybory jawią się więc raczej jako niepotrzebne komplikacje.

Wniosek

Korzystając z ogólnych ram probabilistycznych teorii fizycznych, można postawić fizycznie wiarygodne założenia dotyczące możliwości przygotowań i pomiarów układu fizycznego tak, że otrzymana teoria przyjmuje zasadniczo postać mechaniki kwantowej na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nad liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub kwaternionami. W każdym przypadku podstawowe cechy mechaniki kwantowej pozostają w mocy: stany jako dodatnie operatory śladu pierwszego, obserwabla jako unormowane miary dodatnich operatorów oraz reguła Borna (formuła śladu) określająca prawdopodobieństwo wyniku pomiaru. W przypadkach rzeczywistych i kwaternionowych definiowanie konkretnych obserwabli w kategoriach ich naturalnych własności symetrii staje się jednak kłopotliwe. Z tymi komplikacjami i tak można sobie poradzić, w przypadku rzeczywistym przez osadzenie rzeczywistej przestrzeni Hilberta w przestrzeni zespolonej, w przypadku kwaternionowym przez redukcję teorii do teorii zespolonej. Dlatego wydaje się, że obie opcje implikują tylko niepotrzebne komplikacje w porównaniu z teorią złożoną. Co więcej, kwaternionowa mechanika kwantowa cierpi z powodu niezdolności do opisu układów złożonych.

Dostępność danych

Ten artykuł nie ma dodatkowych danych.

Wkład autorów

Ten artykuł jest produktem ubocznym długotrwałej współpracy między autorami. Autorzy mają równy, wzajemnie uwikłany wkład.

Konkurencyjne interesy

Zgłaszamy, że nie mamy konkurencyjnych interesów.

Finansowanie

Nie otrzymaliśmy żadnych funduszy na to badanie.

Footnotes

Jeden wkład z 15 do numeru tematycznego „Second quantum revolution: foundational questions”.

Dedykujemy ten artykuł Profesorowi Maciejowi Ma̧czyńskiemu z okazji Jego 80. urodzin.

.