Era klasyczna była jedną z kwitnących innowacji, i widział eksplozję manuja grantham : siddhantas, bhaashyaas, vartikaas (objaśnienia komentarzy), karanas, tantraa i nowości jak vaakya-panchaangas, z których zaskakująca liczba została zachowana, zredagowana, opublikowana, a niektóre nawet przetłumaczone na angielski w ciągu ostatnich kilku stuleci. Krytycyzm, korekta, obserwacja, udoskonalenie, innowacja naznaczyły ten okres kilku stuleci i różnych geografii.
Interesującą stroną dla ekonomisty, jest różnorodność walut i monet (dinara, paNaa, kaarshapaaNa, puraaNa, svarNaa) oraz wag (pala, krosha) i miar (angula, hasta) omawianych w różnych księgach.
Pierwszy nacisk położony jest na astronomię, ale każda siddhanta omawia kapitał, odsetki, składanie, stopę wzrostu i takie obliczenia pieniężne również.
Mahavira
Mahavira, dżinijski matematyk, który skomponował Ganita Saara Sangraha napisał pierwszą książkę matematyczną, pozbawioną astronomii.
Struktura jego książki jest taka, że pierwsze dwie lub trzy zwrotki w każdym rozdziale wyjaśniają algorytm lub formułę, a reszta zwrotek to problemy tego typu do rozwiązania przez czytelnika.
Jego użycie Dżinijskich symboli, świątyń, metod kultu, obliczeń itp. są pojedynczymi znakami rozpoznawczymi książki.
Mahavira zachwyca się kilkoma rodzajami ułamków: bhaaga (ułamek prosty), prabhaaga (ułamek ułamka), bhaagaabhaaga (ułamek złożony), i tak dalej. Na przykład, jeden problem postawiony jest poniżej:
दिवसैसत्रिभिस्सपादैरयोजनषट्कं चतुर्थभागोनम्
गच्छति यः पुरुशोसौ दिनयुतवर्षेण किं कथय ॥ ३ ॥
divasais-.tribhis-sa-paadair-yojana-shaTkam caturta-bhaaga-unam
Gacchati yaH purusho-asau dina-yuta-varsheNa kim kathaya
Tłumaczenie: Człowieku (purusha), który (asau) chodzi (gacchati) ćwierć (caturtha-bhaaga) mniej (unam) niż sześć (shaTka) yojanaas w trzy (tribhi) i ćwierć (paadai) dni (divasau), powiedz (kataya) ile (kim) chodzi w ciągu dnia (dina) i (yuta) roku (varsha).
Bhaskaracharya
Lilavati Bhaskara, autora również Siddhanta Siromani, jest znana nawet tym, którzy nie znają matematyki, jako przykład pięknej poezji, i ma wokół siebie popularną legendę.
Podobnie jak Mahavira, Bhaskara podrzucił kilka przykładów z życia codziennego, aby postawić problemy matematyczne, i podobnie jak Varahamihira, cieszył się swoimi talentami poetyckimi.
Lilavati jest zazwyczaj jedyną książką matematyczną, którą cytują słowniki sanskrytu. Zainspirowała niezliczone komentarze, przez wieki, tłumaczenia na wiele języków i stała się standardowym podręcznikiem indyjskiej matematyki.
Bhaskara poprawił błędny wzór Aryabhaty na objętość kuli, co umknęło nawet Brahmagupcie (który poprawił błędny wzór Aryabhaty na objętość czworościanu).
Podał również poprawne objętości dla pola powierzchni kuli. Jego metafora sieci pokrywającej kulę (kandukasya jaalam) dla objętości kuli wskazuje, że natknął się na zalążek idei infinetyzmu i rachunku. Ale te dziedziny będą rozwijać się tylko w późniejszych wiekach, w Kerala.
Bhaskara wprowadził również pojęcie kha-hara (liczba podzielna przez zero) dla nieskończoności (nie tylko filozoficzne ananta (nieskończony).
Bhaskara był również wśród najwcześniejszych, aby zapewnić dowody niektórych z jego pochodnych, a nie zostawić go do komentatorów, lub tylko uczyć studentów. Po krótkich eksploracjach Pingali i Varahamihiry, Bhaskara badał również permutacje i kombinacje.
Do czasów Bhaskary, algebra rozwinęła się do zaawansowanego stanu. Przyznaje on, że bazował na pracach swoich poprzedników Sridhary i Padmanabhy.
Perspektywa historyczna
Indyjscy matematycy używali irracjonalnych pierwiastków kwadratowych przez tysiąc lat, a sinusów i cosinusów przez kilka stuleci przed odkryciem liczb ujemnych. Inspiracja dla liczb ujemnych pochodzi z handlu i pojęcia długu, a nie z filozofii religijnej.
Potrzebne było sześć wieków i Bhaskara, aby poprawić błąd Aryabhaty dotyczący objętości kuli. Bhaskara zdał sobie sprawę, że podział przez zero daje nieskończoność, ale nie w pełni pojął jego konsekwencje.
Od skończonych serii Aryabhaty do nieskończonych serii Viraseny minęły tylko dwa wieki. Odkryli oni nieskończone szeregi sumujące się do skończonej liczby przez sześć stuleci, zanim to zakwestionowali.
Tak jak silnik parowy został wynaleziony sto lat przed znacznie prostszym rowerem, historia matematyki jest pełna przykładów złożonych koncepcji odkrywanych przed znacznie prostszymi koncepcjami.
Astronomia zainspirowała niezwykłą matematykę, ale również często oszukiwała i wprowadzała w błąd największych matematyków.