Zatoka Euget z nieba, widziana minionej zimy. (Zdjęcie: EcologyWA/Public Domain)

Wyobraź sobie przez chwilę, że Ty i Twój przyjaciel dostaliście pozornie proste zadanie: zmierzyć linię brzegową Puget Sound, w stanie Waszyngton. Zasoby są ograniczone, więc ty masz miernik, a twój przyjaciel długą na stopę linijkę. Każdy z was idzie wzdłuż brzegu wody, kładąc swój kij pomiarowy wzdłuż linii brzegowej, najlepiej jak potraficie. Kiedy skończycie, porównujecie notatki – i jesteście zszokowani. Podczas gdy ty skończyłeś z godnym szacunku wynikiem 3000 mil, twój przyjaciel i jego długa stopa uzyskali znacznie wyższy wynik, gdzieś około 4500 mil.

Wy nie jesteście szaleni. Jesteście ofiarami paradoksu linii brzegowej, podstępnej zasady matematycznej, która miesza w głowach kartografom, utrudnia pracę urzędom rządowym i uniemożliwia dokładne określenie, jak duży jest nasz świat.

Paradoks linii brzegowej, w jednym poręcznym gifie. (Obraz: Branden Rishel)

Ludzie byli zdezorientowani liniami brzegowymi co najmniej od V wieku p.n.e., kiedy to ateńscy żeglarze mieli za zadanie zmierzyć wybrzeże Sardynii i wrócili zdezorientowani. Jednak paradoks ten po raz pierwszy ujawnił się w 1951 roku podczas badań nad konfliktami zbrojnymi. Lewis Fry Richardson, pacyfista i matematyk, próbował ustalić, czy długość granicy dzielonej przez dwa dane kraje miała jakikolwiek wpływ na to, czy pójdą one na wojnę, czy nie.

Widział niezgodność nawet w fazie zbierania danych – szukając długości granicy hiszpańsko-portugalskiej, odkrył, że Hiszpania miała ją wykreśloną jako 987 km, podczas gdy Portugalia mówiła o 1214 km. Zafascynowany tym odkryciem, przyjrzał się temu dalej i opracował, że nie tylko długości linii brzegowych i niektórych granic są niezwykle zmienne – jeśli dostaniesz wystarczająco mały kij pomiarowy, każda z nich jest efektywnie nieskończenie długa.

Ten tok myślenia został wkrótce podchwycony przez matematyka Benoit Mandelbrota, w pracy z 1967 roku zatytułowanej „Jak długie jest wybrzeże Wielkiej Brytanii?”. „Oto pytanie, podstawa geometrii z podstawówki, które, jeśli się nad tym zastanowić, jest niemożliwe” – powiedział później New York Timesowi. Aby się z nim zmierzyć – i zmierzyć inne podobnie dziwaczne kształty, takie jak chmury, płatki śniegu i góry – Mandelbrot wymyślił pojęcie fraktala, krzywej, która staje się tym bardziej złożona, im dokładniej się jej przyjrzysz.

Zbiór Mandelbrota, fraktal prawdopodobnie znany Ci z pierwszej strony podręcznika do matematyki. (Foto: Wolfgang Beyer/CC BY-SA 3.0)

Patrząc abstrakcyjnie, paradoks linii brzegowej jest rzeczą budzącą respekt, dowodem na niemożność uporządkowania wszystkiego i na zasadniczą nieredukowalność naszego świata. Jednak na poziomie praktycznym jest to ogromny ból, mówi Branden Rishel, kartograf, który pracuje nad odtworzeniem linii brzegowej w Puget Sound. Podobnie jak większość stanu Waszyngton, Puget Sound jest pełen fiordów, niekończących się zakamarków wyrzeźbionych w ziemi przez lodowce 15 000 lat temu. Fiordy dodają wiele szaleństwa do linii brzegowej – na przykład nieskończenie karbowana Norwegia ma około 18 000 mil linii brzegowej z fiordami, a zaledwie 1573 mile, jeśli je pominąć.

Na szczycie czystej matematycznej dziwności, wybrzeża stale się zmieniają, mówi Rishel. Urwiska erodują, poziom morza wzrasta, masy lądowe powoli odbijają się od miejsc, gdzie lodowce je popchnęły. Każdego dnia pływy morskie wpływają, przesuwając linię wody o 10 stóp, a potem znowu wypływają. „Plaże zmieniają kształt z każdą falą,” mówi Rishel. „Jak możesz to przypiąć?”

Nie możesz – nawet jeśli bardzo chcesz. W 2006 roku Congressional Research Service opublikował notatkę zatytułowaną „U.S. International Borders: Brief Facts”, która miała zapewnić, że wszyscy są po tej samej stronie co do tego, jak dużą granicę musimy myśleć o zabezpieczeniu. Ale po raz kolejny, nie było nawet tej samej strony, aby być na tej samej stronie. „Dane dotyczące 'ogólnej linii brzegowej’ w tym raporcie oparte są na mapach morskich o dużej skali, w wyniku czego miara linii brzegowej dla 50 stanów wynosi 12,383 mil” – czytamy w raporcie. „Inna miara wykorzystująca mapy morskie w mniejszej skali ponad dwukrotnie zwiększa tę miarę do 29 093 mil… podczas gdy dane używane przez NOAA w zarządzaniu programem Coastal Zone Management wynoszą 88 612 mil (nie licząc Wielkich Jezior).”

Stan Waszyngton z drogi w górę. (Fot. NASA/Public Domain)

Czasami jednak ludzie muszą znaleźć sposób, aby się zgodzić. W stanie Waszyngton eksperci tacy jak Rishel używają czegoś, co nazywa się „ShoreZone Shoreline”, która została narysowana przez Departament Zasobów Naturalnych Waszyngtonu w późnych latach 90-tych, na podstawie zdjęć i filmów zrobionych z nisko latających helikopterów. Wersja ShoreZone linii brzegowej Puget Sound ma około 2500 mil długości, mówi Rishel – jest to liczba możliwa do opanowania, a przynajmniej lepsza niż „nieskończoność”. Zgadzając się na to przybliżenie, ludzie, którzy pracują nad przywróceniem plaż, śledzą miejsca tarła ryb lub budują domy nad wodą, mogą upewnić się, że mówią tym samym językiem geograficznym.

Ale próba standaryzacji ma swoje wady. Linia brzegowa ShoreZone traktuje niektóre struktury stworzone przez człowieka, takie jak niektóre mola, tak jakby były częścią linii brzegowej, a inne pomija. „Czasami linia brzegowa ShoreZone jest oddalona o kilkadziesiąt stóp od miejsca, gdzie powinna znajdować się jakakolwiek szanująca się linia brzegowa” – mówi Rishel. „W jednym miejscu jest ona oddalona o 800 stóp, a w miejscu, które powinno być wodą, znajduje się lądowisko”. Udało się nawet ominąć całą wyspę.

Rishel spodziewa się, że ShoreZone zostanie wkrótce zaktualizowany o dane LiDAR, które zastępują kamery i ludzkie oczy bardziej precyzyjnymi pomiarami laserowymi, wykonywanymi z samolotów. Mimo to, nie będzie to idealne rozwiązanie. „W ciągu miesiąca lub dwóch, które trzeba było przelecieć, nawet najlepszy LiDAR uchwyciłby niewyraźną migawkę cieśniny Sund,” mówi. „Zimowe profile plaż różnią się drastycznie od letnich. Urwiska ulegają erozji. Zdarzają się osuwiska.”

Tak właśnie się dzieje, gdy próbujemy pracować z czymś, co jest dosłownie nieskończone – musimy po prostu zrobić wszystko, co w naszej mocy.