Prawo Bernoulliego
Do tej pory skupialiśmy się na płynach w spoczynku. Ta sekcja zajmuje się płynami, które są w ruchu jednostajnym, tak że prędkość płynu w każdym danym punkcie przestrzeni nie zmienia się w czasie. Każdy model przepływu, który jest stały w tym sensie, może być postrzegany w kategoriach zbioru linii strumieni, trajektorii wyimaginowanych cząstek zawieszonych w płynie i unoszonych wraz z nim. W przepływie ustalonym płyn jest w ruchu, ale linie strumienia są nieruchome. Tam, gdzie linie opływowe łączą się ze sobą, prędkość płynu jest stosunkowo duża; tam, gdzie się rozchodzą, płyn ulega względnej stagnacji.
Kiedy Euler i Bernoulli tworzyli podstawy hydrodynamiki, traktowali płyn jako wyidealizowaną substancję inwazyjną, w której, tak jak w płynie w stanie równowagi, naprężenia ścinające związane z lepkością są zerowe, a ciśnienie p jest izotropowe. Doszli oni do prostego prawa odnoszącego zmianę p wzdłuż linii strumienia do zmiany v (zasadę tę przypisuje się Bernoulliemu, ale wydaje się, że Euler doszedł do niej pierwszy), które służy do wyjaśnienia wielu zjawisk, jakie wykazują rzeczywiste płyny w ruchu ustalonym. Na nieuniknione pytanie, kiedy i dlaczego zaniedbanie lepkości jest uzasadnione, nie ma jednej odpowiedzi. Niektóre odpowiedzi zostaną udzielone w dalszej części artykułu, ale najpierw zajmiemy się innymi sprawami.
Rozważmy mały element płynu o masie m, na który – poza działającą na niego siłą wynikającą z grawitacji – działa tylko ciśnienie p. To ostatnie jest izotropowe i nie zmienia się w czasie, ale może się zmieniać z punktu na punkt w przestrzeni. Znaną konsekwencją praw ruchu Newtona jest to, że gdy cząstka o masie m porusza się pod wpływem swojej masy mg i dodatkowej siły F z punktu P, gdzie jej prędkość wynosi vP, a wysokość zP do punktu Q, gdzie jej prędkość wynosi vQ, a wysokość zQ, to praca wykonana przez dodatkową siłę jest równa przyrostowi energii kinetycznej i potencjalnej cząstki – tzn, że
W przypadku rozważanego elementu płynnego, F może być w prosty sposób odniesione do gradientu ciśnienia i znajdujemy
Jeśli zmiany gęstości płynu wzdłuż linii strumienia od P do Q są pomijalnie małe, to czynnik ρ-1 może być wzięty poza całką po prawej stronie (131), która sprowadza się do ρ-1(pQ – pP). Następnie (130) i (131) można połączyć, aby otrzymać
Ponieważ dotyczy to dowolnych dwóch punktów, które mogą być odwiedzane przez pojedynczy element płynu, można natychmiast wydedukować ważny wynik Bernoulliego (lub Eulera), że wzdłuż każdej linii strumienia w ustalonym przepływie płynu indykującego wielkość
jest stała.
W jakich okolicznościach zmiany gęstości są pomijalnie małe? Gdy są one bardzo małe w porównaniu z samą gęstością – tzn. gdy
gdzie symbol Δ jest używany do reprezentowania zakresu zmian wzdłuż linii strumienia wielkości, która za nią podąża, a gdzie Vs jest prędkością dźwięku (patrz poniżej Przepływ ściśliwy w gazach). Warunek ten jest spełniony dla wszystkich problemów związanych z przepływem wody, które są omówione poniżej. Jeżeli płynem jest powietrze, jest on odpowiednio spełniony pod warunkiem, że największe odchylenie w z jest rzędu metrów, a nie kilometrów i pod warunkiem, że prędkość płynu jest wszędzie mniejsza niż około 100 metrów na sekundę.
Prawo Bernoulliego wskazuje, że jeżeli płyn nieściśliwy płynie wzdłuż rury o zmiennym przekroju, to ciśnienie jest względnie niskie w przewężeniach, gdzie prędkość jest duża i względnie wysokie tam, gdzie rura się otwiera i płyn się zatrzymuje. Wielu ludzi uważa tę sytuację za paradoksalną, gdy spotyka się z nią po raz pierwszy. Czy na pewno zwężenie powinno zwiększać lokalne ciśnienie, a nie je zmniejszać? Paradoks znika, gdy nauczymy się myśleć o zmianach ciśnienia wzdłuż rury jako przyczynie i zmianach prędkości jako skutku, a nie na odwrót; to tylko dlatego, że ciśnienie spada przy zwężeniu, gradient ciśnienia przed zwężeniem ma właściwy znak, aby płyn przyspieszał.
Paradoksalne czy nie, przewidywania oparte na prawie Bernoulliego są dobrze zweryfikowane przez eksperyment. Spróbuj trzymać dwa arkusze papieru tak, że wiszą pionowo dwa centymetry lub tak daleko od siebie i dmuchnij w dół tak, że jest prąd powietrza między nimi. Kartki zostaną przyciągnięte do siebie przez spadek ciśnienia związany z tym prądem. Statki są przyciągane do siebie z podobnej przyczyny, jeśli poruszają się w tym samym kierunku i z tą samą prędkością, a odległość między nimi jest niewielka. W tym przypadku prąd wynika z wypierania wody przez dziób każdego statku, która musi płynąć do tyłu, aby wypełnić przestrzeń powstałą w wyniku ruchu rufy do przodu, a prąd między statkami, do którego przyczyniają się oba, jest silniejszy niż prąd płynący obok ich zewnętrznych burt. W ramach kolejnego prostego eksperymentu posłuchaj syczącego dźwięku wydawanego przez kran, który jest prawie, ale nie całkiem, wyłączony. W tym przypadku przepływ jest tak zwężony, a prędkość w przewężeniu tak duża, że ciśnienie w przewężeniu jest w rzeczywistości ujemne. Wspomagany przez rozpuszczone gazy, które są normalnie obecne, woda kawituje jak przechodzi przez, i hałas, który jest słyszany jest dźwięk małych pęcherzyków zapadających się jak woda zwalnia i ciśnienie wzrasta ponownie po drugiej stronie.
Dwa praktyczne urządzenia, które są używane przez inżynierów hydraulików do monitorowania przepływu cieczy choć rury są oparte na prawie Bernoulliego. Jednym z nich jest zwężka Venturiego, krótka rurka z przewężeniem o standardowym kształcie (patrz rysunek 5A), która może być włożona do właściwej rury. Jeśli prędkość w punkcie P, gdzie rura ma pole przekroju AP, wynosi vP, a prędkość w przewężeniu, gdzie pole przekroju jest AQ, wynosi vQ, warunek ciągłości – warunek, że masa przepływająca przez rurę w jednostce czasu musi być taka sama we wszystkich punktach na jej długości – sugeruje, że ρPAPvP = ρQAQvQ, lub że APvP = AQvQ, jeśli różnica pomiędzy ρP i ρQ jest pomijalna. Wtedy prawo Bernoulliego wskazuje 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Więc powinno być możliwe znalezienie vP, a zatem wielkości Q (= APvP), którą inżynierowie określają jako szybkość wypływu, poprzez pomiar różnicy poziomów h płynu w dwóch bocznych rurkach pokazanych na rysunku. Przy małych prędkościach na różnicę ciśnień (pP – pQ) duży wpływ ma lepkość (patrz poniżej Lepkość), a równanie (135) jest w konsekwencji zawodne. Zwężka Venturiego jest jednak zwykle stosowana, gdy prędkość jest wystarczająco duża, aby przepływ był turbulentny (patrz poniżej Turbulencja). W takich okolicznościach, równanie (135) przewiduje wartości Q, które zgadzają się z wartościami zmierzonymi bardziej bezpośrednimi metodami z dokładnością do kilku części procenta, nawet jeśli wzór przepływu nie jest w rzeczywistości stały.
Innym urządzeniem jest rurka pitota, która jest zilustrowana na rysunku 5B. Linie strumienia cieczy rozdzielają się w miarę zbliżania się do tępego końca tej rurki, a w punkcie oznaczonym na rysunku literą Q występuje całkowita stagnacja, ponieważ ciecz w tym punkcie nie porusza się ani w górę, ani w dół, ani w prawo. Z prawa Bernoulliego wynika natychmiast, że
Podobnie jak w przypadku zwężki Venturiego, powinniśmy zatem być w stanie znaleźć vP z różnicy poziomów h.
Jeszcze jeden prosty wynik zasługuje tu na wzmiankę. Dotyczy on strumienia płynu wydobywającego się przez otwór w ściance naczynia wypełnionego cieczą pod ciśnieniem. Obserwacja strumieni pokazuje, że po pojawieniu się zwężają się one nieznacznie, zanim ustabilizują się do mniej więcej jednolitego przekroju poprzecznego, znanego jako vena contracta. Robią to, ponieważ streamlines są zbieżne na otwór wewnątrz naczynia i są zobowiązane do kontynuowania zbieżności na krótki czas na zewnątrz. To był Torricelli, który po raz pierwszy zasugerował, że jeśli nadmiar ciśnienia wewnątrz naczynia jest generowany przez głowę cieczy h, a następnie prędkość v na vena contracta jest prędkość, że wolna cząstka osiągnie na spadek przez wysokość h-i.e, że
Ten wynik jest bezpośrednią konsekwencją, dla płynu nieściśliwego, zasady zachowania energii, którą zawiera prawo Bernoulliego.
W następnym rozdziale, prawo Bernoulliego jest użyte w pośredni sposób do ustalenia wzoru na prędkość, z jaką zaburzenia przemieszczają się nad powierzchnią płytkiej wody. We wzorze tym zawarte jest wyjaśnienie kilku interesujących zjawisk związanych z falami wodnymi. Analogiczne zjawiska dotyczące fal dźwiękowych w gazach omówione są poniżej w Przepływie ściśliwym w gazach, gdzie wprowadzona jest alternatywna postać prawa Bernoulliego. Ta postać prawa jest ograniczona do gazów w przepływie ustalonym, ale nie jest ograniczona do prędkości przepływu, które są znacznie mniejsze od prędkości dźwięku. Komplikacja, jaką stanowi lepkość, jest ponownie pomijana w tych dwóch rozdziałach.