Homotopia, w matematyce, sposób klasyfikacji regionów geometrycznych poprzez badanie różnych typów ścieżek, które mogą być narysowane w regionie. Dwie ścieżki o wspólnych punktach końcowych nazywamy homotopijnymi, jeśli jedna z nich może być w sposób ciągły zdeformowana w drugą, pozostawiając stałe punkty końcowe i pozostając w zdefiniowanym regionie. W części A rysunku, w zacieniowanym regionie znajduje się otwór; f i g są ścieżkami homotopijnymi, ale g′ nie jest homotopijne do f lub g, ponieważ g′ nie może być zdeformowane do f lub g bez przechodzenia przez otwór i opuszczania regionu.

Bardziej formalnie, homotopia polega na zdefiniowaniu ścieżki przez odwzorowanie punktów w przedziale od 0 do 1 na punkty w regionie w sposób ciągły – to znaczy tak, że sąsiednie punkty w przedziale odpowiadają sąsiednim punktom na ścieżce. Mapa homotopijna h(x, t) jest ciągłą mapą, która kojarzy z dwiema odpowiednimi ścieżkami, f(x) i g(x), funkcję dwóch zmiennych x i t, która jest równa f(x) gdy t = 0 i równa g(x) gdy t = 1. Mapa ta odpowiada intuicyjnemu wyobrażeniu stopniowej deformacji bez opuszczania regionu, gdy t zmienia się od 0 do 1. Na przykład, h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) jest funkcją homotopijną dla ścieżek f i g w części A rysunku; punkty f(x) i g(x) są połączone odcinkiem prostej i dla każdej ustalonej wartości t, h(x, t) definiuje ścieżkę łączącą te same dwa punkty końcowe.

Szczególnie interesujące są ścieżki homotopijne zaczynające się i kończące w jednym punkcie (patrz część B rysunku). Klasę wszystkich takich ścieżek homotopijnych do siebie w danym obszarze geometrycznym nazywamy klasą homotopii. Zbiorowi wszystkich takich klas można nadać strukturę algebraiczną zwaną grupą, grupą fundamentalną regionu, której struktura zmienia się w zależności od typu regionu. W regionie bez dziur wszystkie ścieżki zamknięte są homotopijne i grupa fundamentalna składa się z jednego elementu. W regionie z jednym otworem wszystkie ścieżki są homotopijne i owijają się wokół niego tyle samo razy. Na rysunku, ścieżki a i b są homotopijne, podobnie jak ścieżki c i d, ale ścieżka e nie jest homotopijna do żadnej z pozostałych ścieżek.

W ten sam sposób definiuje się ścieżki homotopijne i grupę fundamentalną regionów w trzech lub więcej wymiarach, jak również na ogólnych rozmaitościach. W wyższych wymiarach można również zdefiniować grupy homotopii wyższych wymiarów.

.