Ten tekst przedstawia wprowadzenie na poziomie absolwenta do geometrii różniczkowej dla studentów matematyki i fizyki. Ekspozycja podąża za historycznym rozwojem pojęć połączenia i krzywizny w celu wyjaśnienia teorii Chern-Weila klas charakterystycznych na wiązce głównej. Po drodze napotykamy niektóre z najważniejszych punktów w historii geometrii różniczkowej, na przykład Theorema Egregium Gaussa i twierdzenie Gaussa-Bonneta. Ćwiczenia w książce sprawdzają zrozumienie materiału przez czytelnika, a czasami ilustrują rozszerzenia teorii. Wstępne wymagania stawiane czytelnikowi obejmują pobieżną znajomość rozmaitości. Po pierwszym rozdziale konieczne staje się rozumienie i operowanie formami różniczkowymi. Znajomość kohomologii de Rhama jest wymagana w ostatniej trzeciej części tekstu.

Materiał wstępny jest zawarty w tekście autora An Introduction to Manifolds, i może być przyswojony w ciągu jednego semestru. Dla dobra czytelnika i w celu ustalenia wspólnych notacji, w Dodatku A przypomniano podstawy teorii rozmaitości. Dodatkowo, w celu uczynienia wykładu bardziej zwartym, włączono sekcje dotyczące konstrukcji algebraicznych, takich jak iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna.

Geometria różniczkowa, jak sama nazwa wskazuje, jest nauką o geometrii wykorzystującą rachunek różniczkowy. Jej początki sięgają Newtona i Leibniza w XVII wieku, ale dopiero w XIX wieku, wraz z pracami Gaussa nad powierzchniami i Riemanna nad tensorem krzywizny, geometria różniczkowa rozkwitła, a jej nowoczesne podstawy zostały położone. W ciągu ostatnich stu lat geometria różniczkowa okazała się niezbędna do zrozumienia świata fizycznego, w ogólnej teorii względności Einsteina, w teorii grawitacji, w teorii gauge’a, a obecnie w teorii strun. Geometria różniczkowa jest również przydatna między innymi w topologii, kilku zmiennych zespolonych, geometrii algebraicznej, rozmaitościach zespolonych i układach dynamicznych. Dziedzina ta znalazła nawet zastosowania w teorii grup, jak w pracy Gromova, i w teorii prawdopodobieństwa, jak w pracy Diaconisa. Nie jest zbyt daleko idącym twierdzenie, że geometria różniczkowa powinna być w arsenale każdego matematyka.