Funkcje wskaźnikowe

Written by on in Articles

by Marco Taboga, PhD

Funkcja wskaźnikowa zdarzenia jest zmienną losową, która przyjmuje wartość 1, gdy zdarzenie ma miejsce i wartość 0, gdy zdarzenie nie ma miejsca. Funkcje wskaźnikowe są często używane w teorii prawdopodobieństwa w celu uproszczenia notacji i udowodnienia twierdzeń.

Table of Contents

Definicja

Poniżej znajduje się formalna definicja.

Definicja Niech Omega będzie przestrzenią próbkową, a $Esubseteq Omega $ będzie zdarzeniem. Funkcja wskaźnika (lub wskaźnikowa zmienna losowa) zdarzenia E, oznaczana przez $1_{E}$, jest zmienną losową zdefiniowaną w następujący sposób:

Podczas gdy wskaźnik zdarzenia E jest zwykle oznaczany przez $1_{E}$, czasami jest on również oznaczany przez, gdzie $chi $ jest grecką literą Chi.

Przykład Rzucamy kością i jedna z sześciu liczb od 1 do 6 może pojawić się twarzą do góry. Przykładowa przestrzeń toZdefiniuj zdarzenie opisane zdaniem „Parzysta liczba pojawia się twarzą do góry”. Zmienna losowa, która przyjmuje wartość 1, gdy parzysta liczba pojawia się twarzą do góry i wartość 0 w przeciwnym przypadku jest wskaźnikiem zdarzenia E. Przypadkowa definicja tego wskaźnika to

Z powyższej definicji łatwo można zauważyć, że $1_{E}$ jest dyskretną zmienną losową o wsparciu i funkcji masy prawdopodobieństwa

Właściwości

Funkcje wskaźnikowe korzystają z następujących własności.

Potęgi

n-trzecia potęga $1_{E}$ jest równa $1_{E}$:ponieważ $1_{E}$ może być albo 0 albo 1 i

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana $1_{E}$ jest równa :

Wariancja

Wariancja $1_{E}$ jest równa . Dzięki zwykłemu wzorowi na wariancję i powyższej własności potęg otrzymujemy

Intersekcje

Jeśli E i F są dwoma zdarzeniami, toprzyp:

  1. if $omega in Ecap F$, then and

  2. if , thenand

Wskaźniki zdarzeń o prawdopodobieństwie zerowym

Niech E będzie zdarzeniem o prawdopodobieństwie zerowym, a X zmienną losową całkowitą. Wówczas,Pomimo, że rygorystyczny dowód tego faktu wykracza poza zakres tego wprowadzenia, własność ta powinna być intuicyjna. Zmienna losowa jest równa zero dla wszystkich punktów próby omega z wyjątkiem ewentualnie punktów $omega w E$. Wartość oczekiwana jest średnią ważoną wartości, jakie może przyjąć $X1_{E}$, gdzie każda wartość jest ważona przez odpowiednie prawdopodobieństwo. Niezerowe wartości, jakie może przyjąć $X1_{E}$ są ważone zerowymi prawdopodobieństwami, więc musi wynosić zero.

Rozwiązane ćwiczenia

Poniżej znajdziesz kilka ćwiczeń z objaśnionymi rozwiązaniami.

Ćwiczenie 1

Rozważmy zmienną losową X oraz inną zmienną losową Y zdefiniowaną jako funkcja X.

Wyrazić Y za pomocą funkcji wskaźnikowych zdarzeń i .

Rozwiązanie

Zaznaczamy przez wskaźnik zdarzenia i oznaczamy przez wskaźnik zdarzenia . Możemy zapisać Y jako

Ćwiczenie 2

Niech X będzie zmienną losową dodatnią, to znaczy taką, która może przyjmować tylko wartości dodatnie. Niech $c$ będzie stałą. Udowodnij, że gdzie jest wskaźnikiem zdarzenia .

Rozwiązanie

Pierw zauważ, że suma wskaźników i jest zawsze równa 1:W konsekwencji możemy napisaćTeraz zauważ, że jest zmienną losową dodatnią, a wartość oczekiwana zmiennej losowej dodatniej jest dodatnia:Tym samym,

Ćwiczenie 3

Niech E będzie zdarzeniem i oznaczmy jego funkcję wskaźnikową przez $1_{E}$. Niech $E^{c}$ będzie dopełnieniem E i oznaczmy jego funkcję wskaźnikową przez $1_{E^{c}}$. Czy można wyrazić $1_{E^{c}}$ jako funkcję $1_{E}$?

Rozwiązanie

Suma dwóch wskaźników jest zawsze równa 1:Therefore,

How to cite

Please cite as:

Taboga, Marco (2017). „Funkcje wskaźnikowe”, Wykłady z teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydanie trzecie. Kindle Direct Publishing. Dodatek online. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.