Funkcja harmoniczna, funkcja matematyczna dwóch zmiennych mająca tę własność, że jej wartość w dowolnym punkcie jest równa średniej z jej wartości wzdłuż dowolnego okręgu wokół tego punktu, pod warunkiem, że funkcja jest określona na okręgu. W tej średniej bierze udział nieskończona liczba punktów, więc musi być ona znaleziona za pomocą całki, która reprezentuje nieskończoną sumę. W sytuacjach fizycznych, funkcje harmoniczne opisują te warunki równowagi, takie jak rozkład temperatury lub ładunku elektrycznego w regionie, w którym wartość w każdym punkcie pozostaje stała.

Funkcje harmoniczne mogą być również zdefiniowane jako funkcje, które spełniają równanie Laplace’a, warunek, który można wykazać, że jest równoważny pierwszej definicji. Powierzchnia określona przez funkcję harmoniczną ma zerową wypukłość, a zatem funkcje te mają tę ważną własność, że nie mają wartości maksymalnych ani minimalnych wewnątrz regionu, w którym są określone. Funkcje harmoniczne są również analityczne, co oznacza, że posiadają wszystkie pochodne (są idealnie „gładkie”) i mogą być reprezentowane jako wielomiany o nieskończonej liczbie członów, zwane szeregami potęgowymi.

Sferyczne funkcje harmoniczne powstają, gdy używany jest sferyczny układ współrzędnych. (W tym systemie, punkt w przestrzeni jest zlokalizowany przez trzy współrzędne, jeden reprezentujący odległość od początku i dwa inne reprezentujące kąty elewacji i azymutu, jak w astronomii). Sferyczne funkcje harmoniczne są powszechnie stosowane do opisu pól trójwymiarowych, takich jak pola grawitacyjne, magnetyczne i elektryczne, a także te wynikające z niektórych rodzajów ruchu płynów.

.