To jest część serii dotyczącej powszechnych błędnych przekonań.

Prawda czy fałsz?

Nieskończoność jest liczbą na końcu linii liczb rzeczywistych.

Dlaczego niektórzy ludzie mówią, że to prawda: ponieważ nieskończoność jest liczbą, która jest większa od wszystkich innych liczb.

Dlaczego niektórzy twierdzą, że to fałsz: ponieważ nieskończoność nie jest liczbą, a linia liczbowa nie ma końca.

Stwierdzenie to jest fałszywe ^color{#D61F06}{\tekstbf{false}}false.

Dowód:

Błędne przekonanie w pracy tutaj jest takie, że „jeśli będziesz kontynuował wzdłuż linii liczbowej mijając coraz większe liczby liczące, to w końcu liczby liczące po prostu się skończą (gdzieś po punkcie, w którym twój nauczyciel zmęczy się robieniem znaków tikowych), i będzie tam znak nieskończoności (∞ ∞ ∞), aby zaznaczyć koniec linii liczbowej.” Alternatywnie, niektórzy mówią, że „nieskończoność jest na końcu linii liczbowej, ale nadal istnieje nieskończenie wiele liczb mniejszych od nieskończoności i między nieskończonością a każdym innym punktem na linii”. Oba te pojęcia mają swoje korzenie w pojęciach związanych z rachunkiem; jednak oba są zasadniczo błędne.

Gdy twój nauczyciel „kończy linię liczbową” z ∞infty∞, jest to w rzeczywistości mylący skrót do reprezentowania, że linia liczbowa ciągnie się w nieskończoność. Mniej mylącym sposobem reprezentowania tego pojęcia może być przedłużenie linii liczbowej za pomocą strzałki. Możemy dodatkowo wskazać, że liczby całkowite trwają nadal po tym, jak zdecydujemy się przestać je zapisywać, używając wspólnej notacji szeregu ogólnego: „…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…”, aby opisać, w tym przypadku, zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych. Zbiór ten jest również powszechnie znany jako „liczby naturalne (N{N}N)” lub jako „nieujemne liczby całkowite”.

Nieporozumienie polega na wyborze traktowania ∞infty∞ jako liczby całkowitej lub całkowitej lub jako jednej z liczb rzeczywistych. To nie jest to samo, co przekonanie, że ∞infty∞ jest „prawdziwa” lub „nierzeczywista” w angielskim sensie tego słowa. Nieskończoność jest „prawdziwym” i użytecznym pojęciem. Jednak nieskończoność nie jest członkiem matematycznie zdefiniowanego zbioru „liczb rzeczywistych”, a zatem nie jest liczbą na linii liczb rzeczywistych.

Zbiór liczb rzeczywistych, R, jest wyjaśniony zamiast zdefiniowany w większości szkół przed-kolegiackich. I nawet wtedy, to jest zwykle tylko krótko wyjaśnione, z opisem do skutku „wszystkie punkty na linii liczbowej,” i z dodatkowym uzupełnieniem, że „ujemne liczby rzeczywiste są na lewo od 0 i dodatnie liczby są te na prawo od 0.”

Większość studentów nie jest nauczana rygorystycznej definicji liczb rzeczywistych, chyba że stają się kierunkami matematycznymi na uniwersytecie. Jedną z najczęstszych definicji, których można się wtedy nauczyć, jest to, że liczby rzeczywiste są zbiorem cięć Dedekinda liczb racjonalnych. Biorąc pod uwagę jakąkolwiek rygorystyczną definicję liczb rzeczywistych, jest natychmiast oczywiste, że „nieskończoność” nie jest członkiem zbioru liczb rzeczywistych.

Rebuttal: W badaniu granic, nieskończoność (∞ ∞ infty∞) jest traktowana tak samo jak każda inna liczba. Dlaczego robimy to w rachunku, jeśli nieskończoność nie jest w rzeczywistości liczbą?

Odpowiedź: Wielu uczy się o granicach w prekalkulaturze lub rachunku dokładnie tak, jak opisujesz, a sposób, w jaki traktuje się nieskończoność, mylnie sugeruje, że nieskończoność jest po prostu inną liczbą. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję z poziomą asymptotą na 5, możemy powiedzieć, że granicą f(x)f(x)f(x), gdy xxx zbliża się do nieskończoności jest pięć: f(x)x→∞=5f(x)_{xrightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, a jeśli f(x)f(x)f(x) ma asymptotę pionową w 171717, uczymy się mówić, że f(x)x→17=∞f(x)_{xrightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Jest to pierwsza styczność wielu studentów z ∞infty∞ i jest to bardzo mylące wprowadzenie, ponieważ sugeruje, że ∞infty∞ można traktować jako liczbę, która jest po prostu „większa niż wszystkie inne liczby.”

Jednakże, w tym kontekście, nieskończoność jest tylko skrótem dla dobrze zdefiniowanego pojęcia funkcji, która nie ma granicy żadnej wartości rzeczywistej, ale zamiast tego, rośnie wiecznie bez ograniczeń. Zobacz wiki na temat granic funkcji po więcej szczegółów!

Przeciw: Zdecydowanie widziałem nieskończoność w podręcznikach matematyki, a czasami jest ona zdefiniowana jako liczba większa niż wszystkie nieskończone liczby. Dlaczego tam jest, jeśli nie jest to prawdziwe pojęcie matematyczne?

Odpowiedź: Rzeczywiście istnieją matematyczne zbiory liczbowe, takie jak liczby kardynalne i liczby porządkowe, w których wiele różnie zdefiniowanych wersji ∞infty∞ są liczbami. A ściśle zdefiniowane systemy liczbowe, które zawierają ∞infty∞, mają wiele cennych zastosowań. Na przykład, w zbiorze liczb kardynalnych nieskończoność jest w rzeczywistości miarą tego, ile jest liczb rzeczywistych. Jednak zbiór liczb rzeczywistych R{R}R jest zdefiniowany tak, że pomija jakąkolwiek wersję nieskończoności.

Dodatkowo, gdy rozważamy liczby kardynalne, musimy zmienić naszą intuicję na temat nieskończoności: nie jest to liczba w sensie „linii liczbowej”, jak stosuje się liczby rzeczywiste. Zamiast tego jest to pojęcie służące do mierzenia i porównywania rozmiarów zbiorów.