Pochodzenie i cel analizy korelacji kanonicznej

Analiza korelacji kanonicznej (CCorA, czasami CCA, ale my wolimy używać CCA od Canonical Correspondence Analysis) jest jedną z wielu metod statystycznych pozwalających na badanie zależności między dwoma zbiorami zmiennych.Bada ona korelację pomiędzy dwoma zbiorami zmiennych i wyodrębnia z tych tabel zbiór zmiennych kanonicznych, które są w jak największym stopniu skorelowane z obiema tabelami i ortogonalne względem siebie.

Odkryta przez Hotellinga (1936) metoda ta jest często używana w ekologii, ale została wyparta przez RDA (Redundancy Analysis) i przez CCA (Canonical Correspondence Analysis).

Zasady Kanonicznej Analizy Korelacji

Metoda ta jest symetryczna, w przeciwieństwie do RDA, i nie jest nastawiona na przewidywanie. Niech Y1 i Y2 będą dwiema tablicami, zawierającymi odpowiednio p i q zmiennych. Analiza korelacji kanonicznej ma na celu uzyskanie dwóch wektorów a(i) oraz b(i) takich, że

ρ(i) = cor = cov(Y1a(i) Y2b(i)) /

jest zmaksymalizowana. Należy wprowadzić ograniczenia, aby rozwiązanie dla a(i) oraz b(i) było unikalne. Ponieważ ostatecznie staramy się zmaksymalizować kowariancję między Y1a(i) i Y2b(i) oraz zminimalizować ich wariancję, możemy otrzymać składniki, które są dobrze skorelowane między sobą, ale które nie wyjaśniają dobrze Y1 i Y2. Po uzyskaniu rozwiązania dla i=1, szukamy rozwiązania dla i=2, gdzie a(2) i b(2) muszą być odpowiednio ortogonalne do a(1) i b(2), itd. Liczba wektorów, które można wyodrębnić jest maksymalnie równa min(p, q).

Uwaga: Analiza międzybateryjna Tuckera (1958) jest alternatywą, gdy chcemy zmaksymalizować kowariancję pomiędzy składowymi Y1a(i) i Y2b(i).

Wyniki analizy korelacji kanonicznej w XLSTAT

• Macierz podobieństwa: . Wyświetlana jest macierz, która odpowiada „typowi analizy” wybranemu w oknie dialogowym.
• Wartości własne i procenty bezwładności: W tej tabeli wyświetlane są wartości własne, odpowiadające im bezwładności oraz odpowiadające im procenty. Uwaga: w niektórych programach wartości własne, które są wyświetlane są równe L / (1-L), gdzie L jest wartością własną podaną przez XLSTAT.
• Test Lilksa Lambda: Test ten pozwala określić, czy dwie tablice Y1 i Y2 są istotnie związane z każdą zmienną kanoniczną.
• Korelacje kanoniczne: Korelacje kanoniczne, ograniczone przez 0 i 1, są wyższe, gdy korelacja między Y1 i Y2 jest wysoka. Nie mówią one jednak, w jakim stopniu zmienne kanoniczne są związane z Y1 i Y2. Kwadraty korelacji kanonicznych są równe wartościom własnym i w istocie odpowiadają procentowi zmienności przenoszonej przez zmienną kanoniczną.

Poniższe wyniki są obliczane oddzielnie dla każdej z dwóch grup zmiennych wejściowych.

• Współczynniki redundancji: Współczynniki te pozwalają zmierzyć dla każdego zestawu zmiennych wejściowych, jaka część zmienności zmiennych wejściowych jest przewidywana przez zmienne kanoniczne.
• Współczynniki kanoniczne: Współczynniki te (zwane również wagami kanonicznymi lub współczynnikami funkcji kanonicznych) wskazują, w jaki sposób zmienne kanoniczne zostały skonstruowane, ponieważ odpowiadają one współczynnikom w kombinacji liniowej, która generuje zmienne kanoniczne ze zmiennych wejściowych. Są one znormalizowane, jeżeli zmienne wejściowe zostały znormalizowane. W takim przypadku można porównać względne wagi zmiennych wejściowych.
• Korelacje pomiędzy zmiennymi wejściowymi i zmiennymi kanonicznymi: Korelacje pomiędzy zmiennymi wejściowymi a zmiennymi kanonicznymi (zwane również współczynnikami korelacji strukturalnej, lub kanonicznymi ładunkami czynnikowymi) pozwalają zrozumieć, w jaki sposób zmienne kanoniczne są związane ze zmiennymi wejściowymi.
• Współczynniki adekwatności zmiennych kanonicznych: Współczynniki adekwatności zmiennych kanonicznych odpowiadają, dla danej zmiennej kanonicznej, sumie kwadratów korelacji między zmiennymi wejściowymi a zmiennymi kanonicznymi, podzielonej przez liczbę zmiennych wejściowych. Dają one procent zmienności uwzględnionej przez interesującą nas zmienną kanoniczną.
• Kwadratowe cosinusy: Kosinusy kwadratowe zmiennych wejściowych w przestrzeni zmiennych kanonicznych pozwalają zorientować się, czy zmienna wejściowa jest dobrze reprezentowana w przestrzeni zmiennych kanonicznych. Kosinusy kwadratowe dla danej zmiennej wejściowej sumują się do 1. Suma na zredukowanej liczbie osi kanonicznych daje wspólnotowość.
• Punktacja: Punktacje odpowiadają współrzędnym obserwacji w przestrzeni zmiennych kanonicznych.

.