To jest krótkie wprowadzenie do teorii Galois. Poziom tego artykułu jest z konieczności dość wysoki w porównaniu z niektórymi artykułami NRICH, ponieważ teoria Galois jest bardzo trudnym tematem, zwykle wprowadzanym dopiero na ostatnim roku studiów matematycznych na poziomie licencjackim. Ten artykuł jedynie skąpi powierzchni teorii Galois i prawdopodobnie powinien być dostępny dla 17- lub 18-letniego ucznia z dużym zainteresowaniem matematyką. We wstępie poniżej znajduje się krótki i bardzo niejasny przegląd dwóch ważnych zastosowań teorii Galois. Jeśli chcesz wiedzieć więcej o teorii Galois, reszta artykułu jest bardziej dogłębna, ale również trudniejsza.
Dwie najważniejsze rzeczy, o których należy wiedzieć, aby zrozumieć dogłębną część artykułu to liczby zespolone i teoria grup. Jeśli nie zetknąłeś się wcześniej z liczbami zespolonymi, możesz przeczytać Wprowadzenie do liczb zespolonych, które powinno być dostępne dla 15- lub 16-letnich uczniów. Jeśli nie zetknąłeś się wcześniej z teorią grup, nie martw się. Wprowadzam ideę grupy poniżej, chociaż może być lepiej spróbować i znaleźć książkę lub stronę internetową, która idzie w bardziej szczegółowy.
1.1 Motywacja
Teoria Galois jest bardzo duży temat, i dopóki nie jesteś dość zanurzony w studiach matematycznych w sposób, który jest niezwykły, chyba że studiuje na stopień w matematyce, może wydawać się dość bezcelowe. Istnieją jednak dwa problemy, które dostarczają pewnej motywacji do studiowania teorii Galois – istnienie wielomianów, które nie są rozpuszczalne przez rodniki, oraz pewne wyniki dotyczące klasycznej geometrii euklidesowej, na przykład to, że nie można potrącić kąta za pomocą linijki i kompasu, oraz że pewne wielokąty foremne nie mogą być skonstruowane za pomocą linijki i kompasu.
Definicja Gdy możemy znaleźć rozwiązania wielomianu o współczynnikach racjonalnych używając tylko liczb racjonalnych oraz operacji dodawania, odejmowania, dzielenia, mnożenia i znajdowania n-tych pierwiastków, to mówimy, że $p(x)$ jest rozpuszczalny przez rodniki.
1.2 Historia
Dlaczego więc teoria Galois nazywana jest teorią Galois? Odpowiedź jest taka, że jest ona nazwana na cześć francuskiego matematyka Evariste Galois (1811-1832), który wykonał kilka bardzo ważnych prac w tej dziedzinie. Miał on bardzo dramatyczne i trudne życie, nie udało mu się uzyskać uznania dla wielu jego prac z powodu jego wielkich trudności w jasnym wyrażaniu się. Na przykład, nie został przyjęty na wiodący uniwersytet w Paryżu, Ecole Polytechnique , i musiał zadowolić się Ecole Normale . Trudności napotykał również ze względu na swoje sympatie polityczne, był republikaninem. Doprowadziło to do wyrzucenia go z Ecole Normale, gdy napisał list do gazety krytykujący dyrektora szkoły. Wstąpił do republikańskiego oddziału milicji, a następnie został dwukrotnie uwięziony z powodu swojej przynależności. Za drugim razem podczas pobytu w więzieniu zakochał się w córce lekarza więziennego, Stephanie-Felice du Motel, a po wyjściu na wolność zginął w pojedynku z Perscheux d’Herbinville. Powody pojedynku nie są do końca jasne, ale wydaje się prawdopodobne, że miał on coś wspólnego z Stephanie. Jego śmierć rozpoczęła republikańskie zamieszki i wiece, które trwały przez kilka dni.
Ale Galois często przypisuje się wynalezienie teorii grup i teorii Galois, wydaje się, że włoski matematyk Paolo Ruffini (1765-1822) mógł wpaść na wiele z tych pomysłów jako pierwszy. Niestety, jego pomysły nie były traktowane poważnie przez resztę ówczesnej społeczności matematycznej. Na końcu tego dokumentu znajduje się kilka linków dla osób zainteresowanych dowiedzeniem się więcej o historii teorii grup i teorii Galois.
1.3 Przegląd
Sposób w jaki udowadnia się powyższy wynik dotyczący rozpuszczalności przez rodniki (używając teorii Galois) polega na udowodnieniu wyniku dotyczącego zbioru symetrii wśród korzeni wielomianu, biorąc pod uwagę, że korzenie są zbudowane przy użyciu tylko powyższych operacji specjalnych. (Okazuje się, że zbiór symetrii musi tworzyć coś, co nazywamy grupą rozpuszczalną. Więcej na ten temat pod koniec tego artykułu). Następnie znajdujemy wielomian, dla którego symetrie korzeni nie mają tej specjalnej własności, więc wiemy, że korzenie nie mogły być zbudowane z operacji specjalnych.
Przedmiotem pozostałej części tego artykułu jest uściślenie, co rozumiemy przez symetrię pierwiastków oraz o strukturze zbioru tych symetrii.
1.4 Notacja
1.5 Wskazówki dotyczące czytania tego artykułu
Pozostała część tego artykułu jest dość trudna. Duża liczba nowych pomysłów są wprowadzane i używane w kółko, i jest wiele nieznanych słów. Do końca artykułu będę używał zwrotów takich jak $Q$ jest radykalnym rozszerzeniem pola $Q$, ponieważ może być zbudowany przy użyciu tylko rozszerzeń pól cyklotomicznych na każdym etapie. Nie zniechęcaj się tym pozornie obcym językiem, każde słowo jest wyjaśnione w trakcie jego wprowadzania. Najlepszą strategią czytania jest powolne przechodzenie i upewnienie się, że dokładnie rozumiesz, co każde słowo oznacza, zanim przejdziesz do następnej sekcji, ponieważ to słowo będzie używane wielokrotnie, a jeśli nie do końca je rozumiesz, to wszystko będzie coraz bardziej zagmatwane w miarę czytania. Jednakże, jeśli czytasz toonline możesz po prostu kliknąć na dowolne z podkreślonych słów i oryginalna definicja pojawi się w małym oknie.
2 Grupy i pola
W tym momencie możesz chcieć sprawdzić, czy podążałeś tak daleko. Zobacz, czy możesz udowodnić, że $S_n$ jest grupą i że ma $n!$ elementów. Jeśli jesteś zadowolony z idei zbiorów i funkcji to możesz udowodnić, że $S_X$ jest grupą nawet jeśli $X$ jest zbiorem nieskończonym.
2.2 Pola
2.3 Rozszerzenia pól
Definicja (Rozszerzenie pola):
Rozszerzenie pola $F$ to pole $K$ zawierające $F$ (piszemy rozszerzenie pola jako $F$ lub $K/F$). Na przykład, liczby rzeczywiste są rozszerzeniem pola liczb racjonalnych, ponieważ liczby rzeczywiste są polem, a każda liczba racjonalna jest również liczbą rzeczywistą.
2.4 Pola dzielone
Tutaj zaczyna się trochę teorii Galois.
Innym przykładem jest to, że pole dzielone $p(x)=x^4-5x^2+6$ jest $Q$. Czy widzisz dlaczego?
3 Automorfizmy i grupy Galois
Możesz sprawdzić, że dla funkcji $f$ powyżej naprawdę spełnia wszystkie warunki.
Pomysł automorfizmu pola jest taki, że jest to po prostu sposób na zmianę etykiet elementów pola bez zmiany jego struktury. Innymi słowy, możemy zastąpić symbol $sqrt{2}$ symbolem $-, wykonać wszystkie nasze obliczenia, a następnie zmienić symbol $- na $- i otrzymamy właściwą odpowiedź. Automorfizmy polowe są właściwym sposobem wyrażenia tej idei, ponieważ warunki, że $f(x+y)=f(x)+f(y)$ zachowują mnożenie, dodawanie i tak dalej.
3.2 Grupa Galois
4 Rozwiązywalność przez liczby radialne
Dalsze zagłębianie się w teorię Galois byłoby, niestety, zbyt skomplikowane. Naszkicuję resztę dowodu na istnienie wielomianów, które nie są rozpuszczalne przez rodniki.
5 Trisecting Angles
Jak już wspomniałem, można użyć teorii Galois do wykazania, że nie da się potrącić wszystkich kątów za pomocą linijki i kompasu. Przedstawię dowód na to, że nie można skonstruować kąta o mierze $20^{crc}$ używając linijki i kompasu (a więc nie można potrącić kąta o mierze $60^{crc}$).
Nie jest oczywiste, że każda liczba konstruowalna musi leżeć w rozszerzeniu pola tej postaci, ale możemy jakby zobaczyć dlaczego, ponieważ biorąc pod uwagę odcinki liniowe o długościach $x$, $y$, można skonstruować inne odcinki liniowe o długościach $x+y$, $x y$ i $1/x$ za pomocą konstrukcji geometrycznych. Co więcej, można skonstruować odcinek liniowy o długości $sqrt{x}$ używając tylko konstrukcji geometrycznych. W rzeczywistości, możesz również pokazać, że są to jedyne rzeczy, które możesz zrobić za pomocą konstrukcji geometrycznych. (Jeśli chcesz spróbować, sposobem na udowodnienie tego jest wykorzystanie faktu, że wszystko, co możesz zrobić z nieoznaczonymi linijkami i kompasami, to znaleźć przecięcie dwóch prostych, co daje tylko operacje arytmetyczne, znaleźć przecięcie prostej i okręgu, co daje pierwiastki kwadratowe, oraz przecięcie okręgów i kół, co daje pierwiastki kwadratowe). Czy widzisz, dlaczego to oznacza, że liczba w konstruowalnym rozszerzeniu pola (jak zdefiniowano powyżej) może być skonstruowana przy użyciu tylko nieoznaczonej linijki i kompasu, i że tylko liczby w konstruowalnych rozszerzeniach pola mogą być wykonane w ten sposób?
Następnie pokazujesz, że jeśli masz wielomian sześcienny $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$, którego korzenie nie są liczbami racjonalnymi, to korzenie nie są konstruowalne? To nie jest bardzo trudne do udowodnienia, ale wymaga pewnej wiedzy wykraczającej poza to, co zakładam dla tego artykułu.
Tutaj jest sprytna część. Załóżmy, że można skonstruować kąt o mierze $20^{circ}$, wtedy liczba $cos(20^{circ})$ byłaby konstruowalna (można po prostu poprowadzić prostopadłą z punktu na prostej o mierze $20^{circ}$ do poziomu, odległość $1$ od początku). Można jednak pokazać, że $alfa=$cos(20^{}circ})$ jest pierwiastkiem z równania $8x^3-6x-1=0$$ (przez rozwinięcie $cos(60^{{}circ})$ pod względem $cos(20^{{}circ})$ za pomocą wzoru dodawania). Łatwo pokazać, że nie ma to racjonalnych korzeni, a więc korzenie nie są konstruowalne. Oznacza to, że nie mogliśmy skonstruować kąta o mierze $20^{circ}$, ponieważ wtedy bylibyśmy w stanie skonstruować $cos(20^{circ})$, co jest niemożliwe. Zatem kąt $60^{{circ}$ nie może być trójkątny.
Możesz użyć takich metod do udowodnienia innych wyników dotyczących tego, jakie kształty mogą lub nie mogą być skonstruowane i tak dalej.
6 Dalsza lektura
.