De dwang van wiskundigen om dingen steeds complexer te maken is zowel een zegen als een vloek. Hun drang om een idee zo ver mogelijk uit te rekken kan fascinerende nieuwe inzichten opleveren. Het nadeel is dat naarmate de wiskunde abstracter wordt en meer macht krijgt om grote delen van conceptuele kennis te beschrijven, het steeds moeilijker wordt om die in woorden te beschrijven.

Dus met een zwaar hoofd richt ik de aandacht van deze serie over de Millennium Prijs Problemen op het Hodge Conjectuur. Het is een verbazingwekkende kruising van verschillende gebieden van de wiskunde, maar een pijn in de torus om samen te vatten. Dus omdat het Wereldwiskundedag is, begin ik met een belofte: zodra het te ingewikkeld wordt, stop ik terwijl ik nog bezig ben.

Mensen bestuderen de wiskunde van vormen al lang voordat Pythagoras rond 500 v.Chr. voor het eerst een driehoek in het oog kreeg. In de loop der generaties werden steeds ingewikkeldere vormen bestudeerd, totdat het er zo’n tweeduizend jaar later op leek dat ze geen fut meer hadden. Wiskundigen hadden alles gedaan wat ze konden bedenken met vormen, en onderweg de basis gelegd voor alles van techniek tot perspectiefschilderen. Toen, in 1637, realiseerde een pientere jonge wiskundige-filosoof zich dat als je nog een stap verder abstraheerde, meetkunde eigenlijk hetzelfde was als algebra.

Gebruik makend van het Cartesiaanse coördinatenstelsel dat nu zijn naam draagt, heeft Descartes veel nagedacht over hoe een meetkundige lijn gewoon een verzameling getallen was. Vergelijkingen kunnen ook een verzameling getallen als hun oplossingen opleveren. Als beide verzamelingen getallen precies hetzelfde waren, dan kon een lijn op een stuk papier worden beschouwd als hetzelfde als de oplossing van een vergelijking.

Dit was een keerpunt in de wiskunde, waardoor alle hulpmiddelen die in de algebra waren ontwikkeld, konden worden toegepast in de meetkunde. Daarom was je wiskundeleraar op school zo enthousiast over het omzetten van lineaire grafieken in vergelijkingen: elke willekeurige lijn kan worden beschouwd als de verzameling oplossingen van een vergelijking als y = mx + c. Elke cirkel is de verzameling oplossingen van (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Als je nu wilt zien waar een bepaalde lijn een bepaalde cirkel snijdt, kun je de vormen meetkundig tekenen of gewoon de vergelijkingen algebraïsch vergelijken. Beide methoden geven hetzelfde antwoord.

Mathematici lieten het niet bij lijnen en ontdekten al snel dat ingewikkelder vergelijkingen, of zelfs reeksen vergelijkingen die allemaal samenwerkten, verbazingwekkende vormen konden opleveren in allerlei dimensies. Sommige konden nog steeds worden gevisualiseerd als vormen – zoals de vergelijkingen waarvan de verzameling oplossingen het oppervlak van een ring in kaart brengt, bekend als een torus – maar veel van hen gingen verder dan wat we ons kunnen voorstellen en waren alleen toegankelijk door algebra en een zeer uitgebreide verbeelding.

Omdat wiskundigen nu te maken hadden met objecten die verder gingen dan wat wij ons kunnen voorstellen, werden deze “vormen” in het algemeen bekend als “algebraïsche cycli”. Als een algebraïsche cyclus een mooie gladde en over het algemeen goed gedijende vorm was, verdiende hij ook de titel van “manifold”.

Twee dingen gebeurden toen tegelijk. Ten eerste: een groep wiskundigen, topologen geheten, begon te onderzoeken wat er gebeurt als je vormen tekent op een manifold. Je zou je kunnen voorstellen dat je een ringvormige donut hebt en je tekent een driehoek precies om de top heen (zie plaatje hierboven). Of misschien een vijfhoek.

Heb je eigenlijk beide nodig? Als de vorm kan schuiven en uitrekken, dan kan de driehoek worden vervormd tot de vijfhoek. Topologen hebben alle vormen die van de een naar de ander kunnen worden vervormd (zonder van het oppervlak van de manifold te worden getild) gegroepeerd in een “homologieklasse” – een soort veralgemeende vorm. Alle vormen die door het “gat” van de donut gaan, zouden een andere homologieklasse vormen.

Ten tweede begon een groep wiskundigen die zichzelf algebraïsten noemden, reeksen vergelijkingen te nemen die reeds mooie opgeruimde manifolds opleverden, en er meer vergelijkingen aan toe te voegen. Deze extra vergelijkingen produceerden nieuwe algebraïsche cycli binnen die manifolds.

Het duurde niet lang voordat men zich realiseerde dat topologen die homologieklassen op manifolds tekenden en algebraïsten die algebraïsche cycli in manifolds inbedden, eigenlijk hetzelfde waren. Het was een herhaling van toen geometrische vormen voor het eerst algebraïsche vergelijkingen ontmoetten. De moeilijkheid was dat niemand zeker wist wanneer een homologieklasse op een manifold ten minste één vorm bevatte die ook beschrijfbaar was als een algebraïsche cyclus.

Samengevat is een manifold een vreemde (mogelijk hoogdimensionale) vorm die kan worden beschreven door een stel vergelijkingen. Door extra vergelijkingen toe te voegen krijg je kleinere vormen, die algebraïsche cycli worden genoemd, binnen die manifold.

Het probleem is: als je een willekeurige – mogelijk vervelende – vorm op een manifold tekent, hoe weet je dan of die kan worden uitgerekt tot een andere vorm die als een mooie algebraïsche cyclus kan worden beschreven?

De Schotse wiskundige William Hodge had een geweldig idee over hoe je kon zien welke homologieklassen op een gegeven manifold equivalent waren aan een algebraïsche cyclus. Alleen kon hij het niet bewijzen. Als u kunt bewijzen dat zijn methode altijd werkt, dan is de prijs van 1 miljoen dollar voor u.

Mijn probleem is dat ik tot nu toe heb gesproken in termen van mooie gewone numerieke coördinaten en normale ruimtelijke dimensies. Het Hodge Conjectuur maakt eigenlijk gebruik van wat bekend staat als complexe getalcoördinaten en complexe ruimtelijke dimensies. Dus hoe graag ik het hele vermoeden ook voor u zou beschrijven, dit is precies het punt waar ik beloofd heb te stoppen.

Matt Parker is verbonden aan de wiskunde-afdeling van Queen Mary, University of London, en kan online gevonden worden op standupmaths.com
Om meer te leren over de Hodge conjectuur, is deze video van een lezing door Dan Freed van de University of Texas in Austin een aanrader

• Deel op Facebook
• Deel op Twitter
• Delen via e-mail
• Delen op LinkedIn
• Delen op Pinterest
• Delen op WhatsApp
• Delen op Messenger