Het klassieke tijdperk was er een van bloeiende innovatie, en zag een explosie van manuja grantham : siddhantas, bhaashyaas, vartikaas (verklaringen van commentaren), karanas, tantraa, en nieuwigheden zoals vaakya-panchaangas, waarvan een verrassend aantal in de laatste paar eeuwen bewaard is gebleven, bewerkt, gepubliceerd en sommige zelfs in het Engels vertaald. Kritiek, correctie, observatie, verfijning, innovatie kenmerkten deze periode van verschillende eeuwen en over verschillende geografieën heen.

Een interessante terzijde voor een econoom, is de verscheidenheid aan munteenheden en munten (dinara, paNaa, kaarshapaaNa, puraaNa, svarNaa) en gewichten (pala, krosha) en maten (angula, hasta) die in de verschillende boeken worden besproken.

De primaire nadruk ligt op astronomie, maar elke siddhanta bespreekt ook hoofdsom, rente, samenstelling, groeipercentage, en dergelijke monetaire berekeningen.

Mahavira

Mahavira, de Jain wiskundige die Ganita Saara Sangraha samenstelde schreef het eerste wiskundeboek, ontdaan van astronomie.

De structuur van zijn boek is dat de eerste twee of drie strofen in elk hoofdstuk een algoritme of formule uitleggen, en de rest van de strofen zijn problemen van dat type die door de lezer opgelost moeten worden.

Het gebruik van Jaina symbolen, tempels, methoden van aanbidding, berekeningen enz. zijn bijzondere kenmerken van het boek.

Mahavira zwelgt in verschillende soorten breuken: bhaaga (eenvoudige breuk), prabhaaga( breuken van breuken), bhaagaabhaaga (complexe breuken), enzovoorts. Bijvoorbeeld, een gesteld probleem is hieronder:

दिवसैसत्रिभिस्सपादैरयोजनषट्कं चतुर्थभागोनम्

गच्छति यः पुरुशोसौ दिनयुतवर्षेण किं कथय ॥ ३ ॥

divasais-tribhis-sa-paadair-yojana-shaTkam caturta-bhaaga-unam

Gacchati yaH purusho-asau dina-yuta-varsheNa kim kathaya

Vertaling: De man (purusha) die (asau) een kwart (caturtha-bhaaga) minder (unam) loopt dan zes (shaTka) yojanaas in drie (tribhi) en een kwart (paadai) dagen (divasau), vertel (kataya) hoeveel (kim) hij loopt in een dag (dina) en (yuta) een jaar (varsha).

Bhaskaracharya

De Lilavati van Bhaskara, auteur ook van Siddhanta Siromani, is beroemd zelfs bij hen die niet bekend zijn met wiskunde, als een voorbeeld van prachtige poëzie, en heeft een populaire legende om zich heen.

Net als Mahavira, gooide Bhaskara er verschillende voorbeelden uit het dagelijks leven in om wiskundige problemen te stellen, en net als Varahamihira, zwelgt hij in zijn poëtische talenten.

Lilavati is het meestal enige wiskundeboek dat Sanskriet woordenboeken citeren. Het inspireerde ontelbare commentaren, door de eeuwen heen, vertaling in meerdere talen en werd het standaard leerboek van de Indiase wiskunde.

Bhaskara corrigeerde Aryabhata’s verkeerde formule voor het volume van een bol, die zelfs Brahmagupta ontging (die Aryabhata’s verkeerde formule voor het volume van een tetraëder corrigeerde).

Hij gaf ook correcte volumes voor de oppervlakte van een bol. Zijn metafoor van een net dat een bal bedekt (kandukasya jaalam), voor het volume van een bol, wijst erop dat hij op de kiem van het idee van infinetismals en calculus was gestuit. Maar deze gebieden zouden zich pas in latere eeuwen ontwikkelen, in Kerala.

Bhaskara introduceerde ook het begrip kha-hara (een getal gedeeld door nul) voor oneindigheid (niet alleen het filosofische ananta (eindeloos).

Bhaskara was ook een van de eersten die bewijzen leverde voor sommige van zijn afleidingen, en het niet overliet aan commentatoren, of alleen aan studenten onderwees. Na korte verkenningen door Pingala en Varahamihira, onderzocht Bhaskara ook permutaties en combinaties.

Tegen Bhaskara’s tijd had de algebra zich ontwikkeld tot een geavanceerde staat. Hij erkent dat hij voortbouwde op de werken van zijn voorgangers Sridhara en Padmanabha.

Historisch perspectief

Indiase wiskundigen gebruikten al duizend jaar irrationele vierkantswortels en al enkele eeuwen sinussen en cosinussen voordat ze negatieve getallen ontdekten. De inspiratie voor negatieve getallen komt uit de handel en het begrip schuld, niet uit enige religieuze filosofie.

Er waren zes eeuwen en een Bhaskara voor nodig om Aryabhata’s bolvolumefout te corrigeren. Bhaskara realiseerde zich dat deling door nul oneindigheid oplevert, maar begreep de consequenties ervan niet volledig.

Van de eindige reeks van Aryabhata naar de oneindige reeks van Virasena duurde slechts twee eeuwen. Zij ontdekten zes eeuwen lang oneindige reeksen die optellen tot een eindig getal, voordat ze er vraagtekens bij zetten.

Net zoals de stoommachine een eeuw voor de veel eenvoudigere fiets werd uitgevonden, zo staat de geschiedenis van de wiskunde bol van voorbeelden van complexe concepten die eerder werden ontdekt dan veel eenvoudigere concepten.

De astronomie inspireerde tot buitengewone wiskunde, maar hield ook vaak de grootste wiskundigen voor de gek en misleid.