nLab Banachruimte

Geschreven door op in Articles

Idee

Een Banachruimte â¬\mathcal{B} is zowel een vectorruimte (over een genormeerd veld zoals â\mathbb{R}) als een volledige metrische ruimte, op een compatibele manier. Vandaar een volledige genormeerde vectorruimte.

Een bron van eenvoudige Banachruimten komt voort uit het beschouwen van een cartesische ruimte â n\mathbb{R}^n (of K nK^n waarbij KK het genormeerde veld is) met de norm:

â(x 1,â¦,x n)â pââ i=1 n|x i| pp {{(x_1,\ldots,x_n)\|_p} \coloneqq \root p {\sum_{i = 1}^n {|x_i|^p}}

waarbij 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty (dit heeft strikt genomen geen zin voor p=âp = \infty, maar als we de limiet nemen als pââp \tot \infty en â â=limⶠnâ nâmathbb{R}^infty = \underset{longrightarrow}{lim}_n \mathbb{R}^n lezen als de directe limiet (in tegenstelling tot de inverse limiet) komen we uit op de formule â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i|{(x_1,\lots,x_n)\\_infty} \koloneqq \max_i {|x_i|}).

De theorie van deze ruimten is echter niet veel gecompliceerder dan die van eindig-dimensionale vectorruimten, omdat zij alle dezelfde onderliggende topologie hebben. Wanneer we echter naar oneindig-dimensionale voorbeelden kijken, wordt het lastiger. Veel voorkomende voorbeelden zijn Lebesgue-ruimten, Hilbert-ruimten en rijruimten.

In de literatuur ziet men meestal Banach-ruimten over het veld â\mathbb{R} van reele getallen; Banach-ruimten over het veld â\mathbb{C} van complexe getallen zijn niet veel anders, want die zijn ook over â\mathbb{R}. Maar men bestudeert ze ook over p-adische getallen. Tenzij anders vermeld, gaan we hieronder uit van â\mathbb{R}.

Definities

Laat VV een vectorruimte zijn over het veld van de reele getallen. (Men kan de keuze van het veld enigszins veralgemenen.) Een pseudonorm (of seminorm) op VV is een functie

ââ:Vâ {\| – \|}colon V \tot \mathbb{R}

zodat:

  1. â0â¤0 {\|0|} \leq 0 ;
  2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\|} = {|r|} {\|v\|} (voor rr een scalair en vv een vector);
  3. âv+wâ¤âvâ+âwâ {|v + wâ|} \leq {\|v\|} + {\|w} .

Uit het bovenstaande volgt dat âvâ¥0{\|vâ|} \0 is; in het bijzonder geldt â0â=0{\|0} = 0. Een norm is een pseudonorm die hier omgekeerd aan voldoet: v=0v = 0 als âvâ=0{\|} = 0.

Een norm op VV is volledig als, gegeven een willekeurige oneindige rij (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) zo dat

(1)lim m,nâââ i=m m+nv iâ=0, \lim_{m,nto\infty} {left} \sum_{i=m}^{m+n} v_i \} = 0 ,

er bestaat een (noodzakelijkerwijs unieke) som SS zodanig dat

(2)lim nââââSââ i=1 nv iâ=0; \lim_{n\to\infty} {S – \sum_{i=1}^n v_i \right} = 0 ;

we schrijven

S=â i=1 âv i S = \sum_{i=1}^infty v_i

(met het rechterlid ongedefinieerd als zo’n som niet bestaat).

Een Banachruimte is dan eenvoudig een vectorruimte voorzien van een volledige norm. Net als in de reële lijn hebben we in een Banachruimte dat

â i=1 âv iâ¤â i=1 ââv iâ, {\left} sum_{i=1}^\infty v_i \right} \leq sum_{i=1}^infty {\|v_i\|}

waarbij het linkerlid gegarandeerd bestaat als het rechterlid bestaat als een eindig reëel getal (maar het linkerlid kan ook bestaan als het rechterlid divergeert, het gebruikelijke onderscheid tussen absolute en voorwaardelijke convergentie).

Als we er niet op staan dat de ruimte volledig is, noemen we haar een genormeerde (vector)ruimte. Als we een topologische vectorruimte hebben zodanig dat de topologie uit een norm komt, maar we maken geen feitelijke keuze van zo’n norm, dan spreken we van een normeerbare ruimte.

Banachruimten als metrische ruimten

De drie axioma’s voor een pseudonorm lijken sterk op de drie axioma’s voor een pseudometrische.

In een willekeurige pseudonorm-vectorruimte moet de afstand d(v,w)d(v,w) zijn

d(v,w)=âwâvâ. d(v,w) = {\|w – v\|} .

Dan is dd een pseudometrische, die translatie-invariant is in die zin dat

d(v+x,w+x)=d(v,w) d(v+x,w+x) = d(v,w)

altijd geldt. Omgekeerd, gegeven een willekeurige translatie-invariante pseudometrische dd op een vectorruimte VV, laat âvâ{\vâ|} zijn

âvâ=d(0,v). {\|v\|} = d(0,v) .

Dan voldoet ââ{\|-\|} aan de axioma’s (1â3) voor een pseudonorm, behalve dat hij alleen aan (2) mag voldoen voor r=0,±1r = 0, \pm 1. (Met andere woorden, het is slechts een G-pseudonorm.) Het zal in feite een pseudonorm zijn als de pseudometrische voldoet aan een homogeniteitsregel:

d(rv,rw)=|r|d(v,w). d(r v,r w) = {|r|} d(v,w) .

Dus pseudonormen komen precies overeen met homogene translatie-invariante pseudometrieën.

Zo ook komen normen overeen met homogene translatie-invariante metriek en complete normen met complete homogene translatie-invariante metriek. Inderdaad, (1) zegt dat de opeenvolging van partiële sommen een Cauchy-reeks is, terwijl (2) zegt dat de opeenvolging van partiële sommen convergeert naar SS.

Dus kan een Banach-ruimte equivalent gedefinieerd worden als een vectorruimte uitgerust met een volledige homogene translatie-invariante metriek. Eigenlijk ziet men meestal een soort hybride benadering: een Banachruimte is een genormeerde vectorruimte waarvan de overeenkomstige metriek volledig is.

Maps between Banach spaces

Als VV en WW pseudonormeerde vectorruimten zijn, dan kan de norm van een lineaire functie f:VâWf\colon V \naar W op een van deze equivalente manieren worden gedefinieerd:

  • âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} {= \\f v\} \;|\; {\|v\|}
  • âfâ=in{r|âv,âfvââ¤râvâ} {= \inf \{ r \;|; \voorall{v},\; {\|f v\} \. \} .

(Men ziet soms andere vormen, maar die kunnen in ontaarde gevallen onbruikbaar worden.)

Voor eindig-dimensionale ruimten heeft elke lineaire functie een welbepaalde eindige norm. In het algemeen zijn de volgende gelijkwaardig:

  • ff is continu (zoals gemeten door de pseudometrieën op VV en WW) op 00;
  • ff is continu (overal);
  • ff is uniform continu;
  • ff is Lipschitz continu;
  • âfâ{\|f} is eindig (en, in constructieve wiskunde, gelegen);
  • ff is begrensd (zoals gemeten door de bornologieën gegeven door de pseudometrieën op VV en WW).

In dit geval zeggen we dat ff begrensd is. Als f:VâWf:V \tot W niet lineair wordt verondersteld, dan zijn de bovenstaande voorwaarden niet meer equivalent.

De begrensde lineaire maps van VV naar WW vormen zelf een pseudonorme vectorruimte â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Dit is een Banachruimte als (en, behalve voor de ontaarde gevallen van VV, alleen als) WW een Banachruimte is. Op deze manier is de categorie BanBan van Banachruimten een gesloten categorie met âmathbf{R} als eenheid.

De slimme lezer zal opmerken dat we BanBan} nog niet als categorie hebben gedefinieerd! (Verrassend in het nLab) Er zijn vele (niet-gelijkwaardige) manieren om dat te doen.

In de functionele analyse is het gebruikelijke begrip âisomorfismeâ voor Banachruimten een begrensde bijectieve lineaire functie f:VâWf\colon V \naar W zodanig dat de inverse functie f â1:WâVf^{-1}\colon W \naar V (die noodzakelijkerwijs lineair is) ook begrensd is. In dit geval kan men alle begrensde lineaire functies tussen Banachruimten als morfismen accepteren. Analisten noemen dit soms de âisomorfe categorieâ.

Een ander natuurlijk begrip van isomorfisme is een surjectieve lineaire isometrie. In dit geval beschouwen we een morfisme als een korte lineaire kaart, of lineaire contractie: een lineaire kaart ff zo dat âfâ¤1{|f\|} \leq 1. Deze categorie, die door categorietheoretici over het algemeen Ban wordt genoemd, wordt door analisten soms de âisometrische categorieâ genoemd. Merk op dat dit de âonderliggende verzamelingâ (in de zin van Ban\mathbf{Ban} als een concrete categorie zoals elke gesloten categorie) van een Banachruimte tot zijn (gesloten) eenheidsbal

Hom Ban(â,V)â {v|âvâ¤1} maakt. Hom_Ban(\mathbb{R},V) \cong \{ v \; {\|v\} \1 \leq 1}

in plaats van de verzameling van alle vectoren in VV (de onderliggende verzameling van VV als een vectorruimte).

Yemon Choi: Dit is echt hier om mezelf eraan te herinneren hoe ik queryboxen moet maken. Maar nu ik toch bezig ben, is het eigenlijk wel OK om naar de âeenheidsbal functorâ te verwijzen als âhet nemen van de onderliggende verzamelingâ? Het valt me op dat bij de discussie over interne hom beweerd wordt dat âelke gesloten categorie een concrete categorie is (voorgesteld door II), en dat de onderliggende verzameling van de interne hom de externe hom isâ, wat lijkt te vereisen dat âonderliggende verzamelingâ in deze lossere zin moet worden opgevat.

Toby: Zeker, maar het punt van het zetten van âunderlying setâ tussen aanhalingstekens is juist om erop te wijzen dat de categorie-theoretische onderliggende set niet is wat men normaal zou verwachten.

Mark Meckes: Ik heb deze sectie gedeeltelijk uitgebreid om consistent te zijn met de terminologie van analisten. Ik heb enkele veronderstellingen gemaakt over de conventies van categorietheoretici die misschien niet correct zijn. (Als ik tijd vind, schrijf ik misschien over andere categorieà “n van Banachruimten waar analisten aan denken.)

Toby: Ziet er goed uit voor mij!

Vanuit het perspectief van een categorietheoreticus is de isomorfe categorie eigenlijk het volledige beeld van de inclusiefunctie van BanBan naar TVSTVS (de categorie van topologische vectorruimten), die kan worden aangeduid met Ban TVSBan_{TVS}. Als je werkt in Ban TVSBan_{TVS}, dan gaat het je alleen om de topologische lineaire structuur van je ruimte (hoewel het je ook kan schelen dat die uit een of andere metriek kan worden afgeleid); als je werkt in BanBan, dan gaat het je om de hele structuur op de ruimte.

Voorbeelden

Veel voorbeelden van Banachruimten worden geparametriseerd door een exponent 1â¤pâ¤â1 âleq p âleq âleq âinfty. (Soms kan men ook 0â¤p<10 \leq p \lt 1 proberen, maar deze geven over het algemeen geen Banachruimten.)

  • De cartesische ruimte â nmathbb{R}^n is een Banachruimte met

    â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {{(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}} .

    (We kunnen toestaan dat p=âp = \infty door een limiet te nemen; het resultaat is dat âxâ â=max i|x i|{x||_infty} = \max_i {|x_i|}). Elke eindig-dimensionale Banachruimte is hier isomorf mee voor sommige nn en pp; in feite, zodra je nn vastlegt, is de waarde van pp irrelevant tot aan het isomorfisme.

  • De rijruimte l pl^p is de verzameling van oneindige reeksen (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) van reele getallen zodat

    â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = wortel p {sum_i {|x_i|^p}}

    bestaat als een eindig reeel getal. (De enige vraag is of de som convergeert. Ook hier is p=âp = \infty een limiet, met als gevolg dat âxâ â=sup i|x i|{x_infty} = \sup_i {|x_i|}). Dan is l pl^p een Banachruimte met die norm. Dit zijn allemaal versies van â âmathbb{R}^infty, maar ze zijn niet meer isomorf voor verschillende waarden van pp. (Zie isomorfismeklassen van Banachruimten.)

  • Meer algemeen, laat AA een willekeurige verzameling zijn en laat l p(A)l^p(A) de verzameling functies ff zijn van AA naar â\mathbb{R} zodanig dat

    âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\f|_p} = \root p {sum_{x: A} {|f(x)|^p}}

    bestaat als een eindig reà “el getal. (Nogmaals, âfâ â=sup x:A|f(x)|{f}} = \sup_{xcolon A} {|f(x)|}.) Dan is l p(A)l^p(A) een Banachruimte. (Dit voorbeeld omvat de vorige voorbeelden, voor AA een telbare verzameling.)

  • Op een willekeurige maatruimte XX is de Lebesgue-ruimte â p(X)\mathcal{L}^p(X) de verzameling van meetbare bijna-overal-definieerbare reà “le functies op XX zo dat

    âfâ p=â”|f| pp {|f|_p} = \root p {|f|^p}}

    bestaat als een eindig reeel getal. (Ook hier is de enige vraag of de integraal convergeert. En weer is p=âp = \infty een limiet, met als gevolg dat âfâ â{|f|_\infty}} het essentiele supremum van |f|{|f|}} is). Als zodanig is â p(X)\mathcal{L}^p(X) een volledige pseudonorme vectorruimte; maar we identificeren functies die bijna overal gelijk zijn om er een Banachruimte van te maken. (Dit voorbeeld omvat de vorige voorbeelden, voor XX een verzameling met tellende maat.)

  • Elke Hilbert-ruimte is een Banach-ruimte; dit omvat alle bovenstaande voorbeelden voor p=2p = 2.

Operaties op Banach-ruimten

De categorie BanBan van Banach-ruimten is klein compleet, klein cocompleet, en symmetrisch monoïdaal gesloten ten opzichte van zijn standaard interne hom (beschreven bij interne hom). Enkele details volgen.

  • De categorie van Banachruimten laat kleine producten toe. Gegeven een kleine familie van Banachruimten {X α} in A}, is het product ervan in BanBan de deelruimte van het vectorruimteproduct

    â αâAX α\prod_{\alpha \in A} X_\alpha

    bestaande uit AA-tupels â¨x αâ©langle x_\alpha \rangle die uniform begrensd zijn (d.w.z. er bestaat CC zodat âαâA:âx αâ¤C\voor alle \alpha \in A: {|x_\alpha\|} \αââ±ââââ¤Câ voor alle αalpha αââââ¤in A: {|x_\alpha αâââ¤Câ¤), waarbij de kleinste bovengrens wordt genomen als norm van â¨x αâ©langle x_\alpha αââââââ¤rangle. Deze norm noemen we de âînfty-norm; in het bijzonder is het product van een AA-geïndexeerde familie van kopieën van âîmathbb{R} of âîmathbb{C} wat gewoonlijk wordt aangeduid als l â(A)l^{înfty}(A).

  • De categorie van Banachruimten laat gelijkmakers toe. De equalizer van een paar functies f,g:XâYf, g: X ¹rightrightarrows Y in BanBan is immers de kernel van fâgf-g onder de van XX geerfde norm (de kernel is gesloten omdat fâgf-g continu is, en is dus compleet). In feite is elke equalizer even een sectie door de Hahn-Banach stelling. Elk extremaal monomorfisme is zelfs al een equalizer (en een sectie): Zij f:XâYf\colon X \tot Y een extremaal monomorfisme, ι:â(f)âYiota\colon \Im(f) \tot Y de inbedding van Im(f)Im(f) in het codomein van ff en fâ²:XâIm(f)fprime \colon X \tot Im(f) ff met beperkt codomein. Daar fâ²f een epimorfisme is, f=ιfâ²f= fâ²prime, en ff extremaal, is fâ²f een isomorfisme, dus ff is een inbedding.

  • De categorie van Banachruimten laat kleine coproducten toe. Gegeven een kleine familie van Banachruimten {X α} αâA{X_\alpha}_{\alpha \in A}, is haar coproduct in BanBan de voltooiing van de vectorruimte coproduct

    ⨠αâAX α\bigoplus_{\alpha \in A} X_alpha

    met betrekking tot de norm gegeven door

    ⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\lefts \bigoplus_{s \in S} x_s \right|} = \sum_{s \in S} {x_s}

    waarbij SâAS \subseteq A eindig is en âx sâ{x_s\|} de norm van een element in X sX_s aanduidt. Deze norm wordt de 11-norm genoemd; in het bijzonder is het coproduct van een AA-geïndexeerde familie van kopieën van â\mathbb{R} of â\mathbb{C} wat gewoonlijk wordt aangeduid als l 1(A)l^1(A).

  • De categorie van Banachruimten laat coequalizers toe. De coequalizer van een stel functies f,g:XâYf, g: X ¹rightarrows Y is immers de cokernel van fâgf-g onder de quotiëntnorm (waarbij de norm van een coset y+Cy + C de minimumnorm is die door elementen van y+Cy + C wordt bereikt; CC is hier het beeld (fâg)(X)(f-g)(X), dat gesloten is). Het is standaard dat de quotiëntnorm op Y/CY/C volledig is gegeven dat de norm op YY volledig is.

  • Om het tensorproduct Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y van twee Banachruimten (waardoor BanBan symmetrisch monoïdaal gesloten is ten opzichte van zijn gebruikelijke interne hom), zij F(XÃY)F(X \times Y) de vrije vectorruimte gegenereerd door de verzameling XÃYX \times Y, met norm op een typisch element gedefinieerd door

    â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iââ ây iâ. {{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right|} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i} {\x_i}

    Zie F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) als de voltooiing ten opzichte van deze norm. Neem dan de cokernel van F¯(XÃY)overline{F}(X één keer Y) door de sluiting van de deelruimte die door de voor de hand liggende bilineaire relaties wordt opgespannen. Dit quotient is Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

In de literatuur over Banachruimten wordt bovenstaand tensorproduct gewoonlijk het projectieve tensorproduct van Banachruimten genoemd; zie overig tensorproduct van Banachruimten. Het product en de coproduct worden beschouwd als directe sommen; zie andere directe sommen van Banachruimten.

Te beschrijven:

  • duals (p+q=pqp + q = p q);
  • completie (BanBan is een reflectieve subcategorie van PsNVectPsNVect (pseudo-genormeerde vectorruimten)).
  • BanBan als een (wat grotere) categorie met duals.

Integratie in Banachruimten

Deze paragraaf beschrijft enkele aspecten van integratietheorie in Banachruimten die relevant zijn om de literatuur over AQFT te begrijpen. In de gegeven context worden elementen van een Banachruimte â¬mathcal{B} soms vectoren genoemd, een functie of maat die waarden in â¬mathcal{B} neemt worden daarom vectorfuncties en vectormaten genoemd. Functies en maatstaven die waarden nemen in het veld waarop de Banachruimte als vectorruimte gedefinieerd is, heten scalaire functies en scalaire maatstaven.

We zullen twee soorten integralen beschouwen:

  • integralen van vectorfuncties ten opzichte van een scalaire maatstaf, meer bepaald de Bochner-integraal,

  • integralen van scalaire functies ten opzichte van een vectormaatstaf, meer bepaald de spectrale integraal van een normale operator op een Hilbertruimte.

Bochner-integraal

De Bochner-integraal is een directe veralgemening van de Lesbegue-integraal tot functies die waarden aannemen in een Banach-ruimte. Wanneer men in de AQFT literatuur een integraal tegenkomt van een functie die waarden aanneemt in een Banach ruimte, kan men veilig aannemen dat het een Bochner integraal is. Twee punten die al door Wikipedia zijn uitgelegd, zijn van belang:

  1. Een versie van de gedomineerde convergentietheorema is waar voor de Bochner-integraal.
  2. Er zijn stellingen die niet geldig zijn voor de Bochner-integraal, met name het Radon-Nikodym theorema geldt niet in het algemeen.
  • Wikipedia

verwijzing: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (ZMATH entry), chapter IV.

De spectrale integraal

De integraal ten opzichte van de spectrale maat van een begrensde normale operator op een Hilbertruimte is een voorbeeld van een Banachruimte-integraal ten opzichte van een vectormaat. In deze paragraaf presenteren we een bekend, maar iets minder vaak geciteerd resultaat, dat van nut is in sommige bewijzen in sommige benaderingen van AQFT, het is de versie van de gedomineerde convergentietheorema voor de gegeven setting.

Laat A een begrensde normale operator zijn op een Hilbertruimte en E zijn spectrale maat (de âoplossen van identiteitâ in de termen van Dunford en Schwartz). Zij Ï(A)Ôsigma(A) het spectrum van A. Voor een begrensde complexe Borel functie f geldt dan

f(A)ââ” Ï(A)f(Δ)E(dΔ) f(A) \coloneqq \int_{sigma(A)} f(\lambda) E(d\lambda)
Theorema (gedomineerde convergentie)

Als de eenduidig begrensde rij {f n}\{f_n} van complexe Borel-functies in elk punt van Ï(A)\sigma(A) convergeert naar de functie ff, dan convergeert f n(A)âf(A)f_n(A) naar f(A) in de sterke operatortopologie.

Zie Dunford, Schwartz II, hoofdstuk X, corollarium 8.

Eigenschappen

Relatie tot bornologische ruimten

Elke inductieve limiet van Banachruimten is een bornologische vectorruimte. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

Omgekeerd is elke bornologische vectorruimte een inductieve limiet van genormeerde ruimten, en van Banachruimten als zij quasi-compleet is (Schaefer-Wolff 99)

  • reflexieve Banachruimte

  • projectieve Banachruimte

  • Banach analytische ruimte

Noemd naar Stefan Banach.

  • Walter Rudin, Functionele analyse

  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âLineaire operatoren. Part I: General theory.â (ZMATH entry), âLineaire operatoren. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

  • Z. Semadeni, Banachruimten van continue functies, vol. I, Poolse wetenschappelijke uitgevers. Warszawa 1971

  • Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

  • H. H. Schaefer met M. P. Wolff, Topological vector spaces, Springer 1999

categorie: analyse

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.