Geïnspireerd door de gelijkenis met zwemmers met een laag Reynoldsgetal in vloeistoffen, creëerden we de eerste weerstandskrachttheorie voor korrelvormige media om krachten en beweging te voorspellen. Het sleutelidee is het superpositieprincipe: de krachten op lichamen en benen van complexe vorm die in korrelvormige media langs een willekeurig traject bewegen, kunnen goed worden benaderd door superpositie van krachten op elk van hun elementen (Fig. 1). Het integratieprincipe is geldig voor zwemmers met een lage Reynolds omdat, aangezien traagheidseffecten verwaarloosbaar zijn, de vloeistofstroming rond elementen voldoende lokaal is dat de granulaire kracht uitgeoefend op element onafhankelijk is van die op andere elementen. Dit in overweging nemend, veronderstelden wij dat de weerstandskrachttheorie ook voor korrelvormige media zou werken.
Figuur 1. Superpositieprincipe van de resistieve krachttheorie.
Resistieve krachtmetingen
Omdat dieren en robots een complexe morfologie en kinematica hebben, kan elk element van hun lichaam en benen zich niet alleen op verschillende diepten bevinden, maar ook verschillende oriëntaties en bewegingsrichtingen hebben (Fig. 1, links). Voor zwemmers met een laag Reynoldsgetal in vloeistoffen kan de krachtsafhankelijkheid van oriëntatie en richting worden afgeleid uit de Wet van Stokes. Maar voor korrelvormige media weten we niet hoe de kracht ervan afhangt omdat zulke vergelijkingen niet bestaan. Daarom gebruikten we een plaatelement om de eerste metingen te doen van granulaire krachten als functie van de oriëntatie en richting van de indringer (Fig. 1, rechts).
We ontdekten dat kracht (spanning) gevoelig afhangt van zowel oriëntatie als richting (Fig. 2, links). Verticale kracht is maximaal wanneer een plaatindringer horizontaal georiënteerd is en naar beneden doordringt. Zodra de oriëntatie afwijkt van horizontaal en de richting afwijkt van neerwaarts, neemt de verticale kracht snel af.
Figuur 2. Weerstandskrachtmetingen en theorievalidatie. Alleen verticale weerstandskrachtmetingen worden voor de eenvoud getoond.
Validatie van de weerstandskrachttheorie
Met behulp van onze granulaire weerstandskrachtmetingen integreerden we spanningen over beenelementen en ontdekten we dat de weerstandskrachttheorie de totale lift- en sleepkrachten op een robotbeen dat door granulaire media wordt bewogen, goed kan voorspellen (Fig. 2, rechts). Dankzij het superpositieprincipe is het model nauwkeurig voor benen van willekeurige vorm en traject:
Voorspellende kracht van de weerstandskrachttheorie
Nadat we de weerstandskrachttheorie hadden gevalideerd op een robotbeen dat door granulaire media werd gedraaid (voorgeschreven kinematica), testten we vervolgens de voorspellende kracht ervan op een robot die vrij over granulaire media bewoog. We hebben een aangepaste robot met benen laten lopen op korrelige media met een breed bereik van stapfrequentie en beenkromming. Zoals we al eerder zagen, beweegt de robot sneller met de benen met het bolle oppervlak naar achteren gericht dan naar voren:
We ontwikkelden vervolgens een multi-lichaam dynamische simulatie van de robot, en gebruikten de weerstandstheorie om de lift- en trekkrachten op het robotlichaam en de benen te berekenen door integratie van elementaire krachten. We ontdekten dat de bewegingsdynamica die werd voorspeld door simulatie met behulp van de weerstandskrachttheorie goed overeenkomt met experimentele waarnemingen:
Vergelijking van experiment en simulatie toonde aan dat de weerstandskrachttheorie nauwkeurig en snel de voortbeweging van benen op korrelige media kan voorspellen over een breed bereik van stapfrequentie en beenkromming (Fig. 3).
Figuur 3. Resistive force theory predicts legged robot movement on granular media.
Omdat onze resistive force theory kwantitatieve voorspelling van krachten en beweging in granulaire media mogelijk maakte analoog aan aero- en hydrodynamica voor vloeistoffen, hebben we de eerste terradynamica van strombare grond vastgesteld.
Generaliteit van de weerstandskrachttheorie
Wij hebben weerstandskrachtmetingen verricht voor een verscheidenheid van korrelvormige media met verschillende deeltjesgrootte, vorm, wrijving, dichtheid, verdichting, en polydispersiteit. We ontdekten dat de afhankelijkheid van de kracht van de richting en richting van de indringer opvallend gelijk is (Fig. 4, links).
Figuur 4. De generaliteit van de resistieve krachttheorie voor een diversiteit aan korrelvormige media en het praktische voordeel ervan.
Dit levert een belangrijk praktisch voordeel op. Omdat deze granulaire media hetzelfde algemene spanningsprofiel hebben, is slechts een enkele krachtmeting om de maximale verticale kracht te bepalen voldoende om krachten voor andere oriëntaties en richtingen af te leiden zonder ze allemaal te hoeven meten (Fig. 4, rechts). Dit kan eenvoudig worden gedaan met een kant-en-klare penetrometer. Dit betekent ook dat metingen met een horizontale plaat penetrerend naar beneden, verkregen in terramechanische studies, nog steeds kunnen worden gebruikt, maar krachtiger met behulp van de weerstandskrachttheorie.
Ten slotte kan onze weerstandskrachttheorie, dankzij het superpositieprincipe, in principe worden toegepast op dieren en apparaten van willekeurige morfologie en kinematica (gegeven dat zij opereren in de lage-snelheid, niet-inertiaal en continuüm regimes). Zo hebben wij bijvoorbeeld ook ontdekt dat de theorie met behulp van weerstandskrachtmetingen in het horizontale vlak de beweging van de zandhagedis in korrelige media kan voorspellen.
Waarom klassieke terramechanica faalt voor Mars Rovers
In de klassieke terramechanica, omdat grote wielen en rupsbanden gewoonlijk een grondvlak hebben dat relatief vlak en vlak is, worden verticale intrusiekrachten in granulaire media alleen gekarakteriseerd door een horizontale plaat naar beneden te bewegen (met een penetrometer) (Fig. 5), maar niet op een intruder in andere richtingen en oriëntaties. Dit wordt dan gebruikt om de opwaartse kracht te voorspellen, die vervolgens (statisch en dynamisch) in evenwicht wordt gebracht met het gewicht van het voertuig om het zinken te voorspellen.
Figuur 5. Horizontale plaat benadering gangbaar in de ontwikkeling van klassieke terramechanische modellen.
Echter, voor kleine wielen van zwervers bewegend op losse granulaire media (of zelfs grotere wielen diep genoeg gezonken), wordt het grond grensvlak sterk gekromd met oriëntaties ver van horizontaal. Zoals we hebben aangetoond met onze weerstandskracht metingen die rekening houden met alle oriëntaties en richtingen, ondervindt een horizontale plaat over het algemeen veel grotere verticale kracht dan een ver van horizontaal (Fig. 2, links). Als gevolg hiervan is de horizontale plaat benadering niet langer van toepassing, en klassieke terramechanische modellen voorspellen aanzienlijk te veel opwaartse kracht en te weinig verzakking.
Gerelateerde publicaties:
- Li C, Zhang T, Goldman DI (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media, Science, 339, 1408-1412 (Featured in Science Perspective) PDF
- Ding, Y, Li C, Goldman DI (2013). Swimming in the desert, Physics Today, 66, 68-69 (Invited Paper) PDF
- Maladen RD, Ding Y, Li C, Goldman DI (2009). Undulatory swimming in sand: subsurface locomotion of the sandfish lizard, Science, 325, 314-318 (Uitgelicht in Nature News & Views) PDF