Dit is een deel van een serie over veel voorkomende misvattingen.

Waar of onwaar?

Oneindig is het getal aan het eind van de reële getallenlijn.

Waarom sommige mensen zeggen dat het waar is: omdat oneindig het getal is dat groter is dan alle andere getallen.

Waarom sommige mensen zeggen dat het niet waar is: omdat oneindig geen getal is en de getallenlijn geen einde heeft.

De verklaring is vals \color{#D61F06}{textbf{false}}.

Bewijs:

De misvatting die hier aan het werk is, is dat “als je doorgaat op de getallenlijn langs steeds grotere telgetallen, dat uiteindelijk de telgetallen gewoon ophouden (ergens na het punt waar je leraar moe wordt van het maken van tic-tekens), en dat er dan een oneindigheidsteken (∞infty∞) zal zijn om het einde van de getallenlijn aan te geven.” Als alternatief zeggen sommigen dat “oneindig is aan het einde van de getallenlijn, maar er zijn nog oneindig veel getallen kleiner dan oneindig en tussen oneindig en elk ander punt op de lijn”. Beide begrippen hebben hun wortels in calculus-gerelateerde concepten; ze zijn echter beide fundamenteel onjuist.

Wanneer uw leraar “de getallenlijn eindigt” met ∞infty∞, is dit eigenlijk een misleidende steno voor het voorstellen dat de getallenlijn eeuwig doorgaat. Een minder misleidende manier om dit begrip weer te geven zou kunnen zijn om de getallenlijn uit te breiden met een pijl. We kunnen ook aangeven dat de gehele getallen doorgaan nadat we besloten hebben ze niet meer op te nemen, door de gebruikelijke algemene reeksnotatie te gebruiken: “…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…” om, in dit geval, de verzameling van alle niet-negatieve, gehele getallen te beschrijven. Deze verzameling staat ook wel bekend als de “natuurlijke getallen (N\mathbb{N}N)” of als de “niet-negatieve gehele getallen”.

De misvatting zit in de keuze om ∞infty∞ te behandelen als een geheel getal of als een van de reele getallen. Dit is niet hetzelfde als geloven dat ∞infty∞ “echt” of “onecht” is in de Engelse betekenis van het woord. Oneindigheid is een “echt” en bruikbaar begrip. Maar oneindigheid behoort niet tot de wiskundig gedefinieerde verzameling van “reële getallen” en is dus geen getal op de reële getallenlijn.

De verzameling van reele getallen, R wordt op de meeste middelbare scholen uitgelegd in plaats van gedefinieerd. En zelfs dan wordt het meestal slechts kort uitgelegd, met een beschrijving in de trant van “alle punten op een getallenlijn”, en met het bijkomende vervolg dat “de negatieve reële getallen links van 0 liggen en de positieve getallen rechts van 0.”

De meeste studenten wordt geen rigoureuze definitie van de reële getallen geleerd, tenzij ze wiskunde majors worden aan een universiteit. Een van de meest voorkomende definities die men dan leert is dat de reële getallen de verzameling Dedekind sneden van de rationale getallen zijn. Gegeven een strikte definitie van de reële getallen, is het onmiddellijk duidelijk dat “oneindig” geen lid is van de verzameling van reële getallen.

Weerlegging: In de studie van limieten wordt oneindigheid (∞infty∞) net zo behandeld als elk ander getal. Waarom doen we dit in calculus als oneindig eigenlijk geen getal is?

Reponse: Velen krijgen les over limieten in precalculus of calculus precies zoals u beschrijft, en de manier waarop oneindig wordt behandeld suggereert, misleidend, dat oneindig gewoon een ander getal is. Bijvoorbeeld, gegeven een functie met een horizontale asymptoot op 5, zouden we kunnen zeggen dat de limiet van f(x)f(x)f(x) als xxx het oneindige nadert, vijf is: f(x)x→∞=5f(x)_{xrechtlijnig} = 5f(x)x→∞=5, en als f(x)f(x) een verticale asymptoot heeft bij 171717, leren we zeggen dat f(x)x→17=∞f(x)_{xrechtlijnig} 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Dit is voor veel leerlingen de eerste kennismaking met ∞-infty∞, en het is een zeer misleidende kennismaking omdat het impliceert dat ∞-infty∞ kan worden behandeld als een getal dat eenvoudigweg “groter is dan alle andere getallen.”

Hoewel, in deze context is oneindig slechts een verkorting voor een goed gedefinieerde notie van een functie die geen limiet heeft van enige reële waarde, maar in plaats daarvan eeuwig toeneemt zonder limiet. Zie de wiki over limieten van functies voor meer details!

Verweer: Ik heb oneindig zeker in wiskundeboeken gezien, en soms is het gedefinieerd als een getal dat groter is dan alle niet oneindige getallen. Waarom staat het daar als het geen echt wiskundig concept is?

Reponse: Er zijn wel degelijk wiskundige getallenreeksen, zoals de kardinale getallen en de rangtelwoorden, waarin vele verschillend gedefinieerde versies van ∞infty∞ getallen zijn. En nauwkeurig gedefinieerde getallenstelsels waarin ∞infty∞ voorkomt hebben vele waardevolle toepassingen. Bijvoorbeeld, in de kardinale getallenverzameling is oneindig eigenlijk een maat voor het aantal reële getallen dat er is. De verzameling van reële getallen R is echter zo gedefinieerd dat zij geen enkele versie van oneindigheid bevat.

Bovendien moeten we, als we de kardinale getallen beschouwen, onze intuïtie over oneindigheid veranderen: het is geen getal in de “getallenlijn”-zin, zoals de realen worden toegepast. In plaats daarvan is het een begrip voor het meten en vergelijken van de grootte van verzamelingen.

Zie ook

• Reële Getallen
• Voorstelling op de Reële Lijn
• Dedekindsneden
• Limieten van Functies
• Lijst van veel voorkomende misvattingen