KwantumelektrodynamicaEdit

Tot de komst van de kwantummechanica was het enige bekende voorbeeld van ijksymmetrie te vinden in de elektromagnetica, en de algemene betekenis van het concept werd niet volledig begrepen. Het was bijvoorbeeld niet duidelijk of het de velden E en B of de potentialen V en A waren die de fundamentele grootheden waren; als het eerste het geval was, dan konden de ijkingstransformaties worden beschouwd als niets meer dan een wiskundige truc.

Aharonov-Bohm experimentEdit

In de kwantummechanica wordt een deeltje zoals een elektron ook beschreven als een golf. Als bijvoorbeeld het dubbele-spleetexperiment wordt uitgevoerd met elektronen, dan wordt een golfachtig interferentiepatroon waargenomen. Het elektron heeft de grootste kans om te worden gedetecteerd op plaatsen waar de delen van de golf die door de twee spleten gaan, in fase met elkaar zijn, hetgeen resulteert in constructieve interferentie. De frequentie van de elektrongolf is gerelateerd aan de kinetische energie van een individueel elektrodeeltje via de kwantummechanische relatie E = hf. Als er in dit experiment geen elektrische of magnetische velden aanwezig zijn, dan is de energie van het elektron constant, en zal er bijvoorbeeld een grote kans zijn om het elektron te detecteren langs de centrale as van het experiment, waar door symmetrie de twee delen van de golf in fase zijn.

Maar stel nu dat de elektronen in het experiment onderhevig zijn aan elektrische of magnetische velden. Indien bijvoorbeeld aan één zijde van de as een elektrisch veld zou worden aangelegd, maar niet aan de andere zijde, zouden de resultaten van het experiment worden beïnvloed. Het deel van de elektrongolf dat door die zijde gaat, oscilleert met een andere snelheid, omdat aan zijn energie -eV is toegevoegd, waarbij -e de lading van het elektron is en V de elektrische potentiaal. De resultaten van het experiment zullen verschillend zijn, omdat de faseverhoudingen tussen de twee delen van de elektrongolf veranderd zijn, en daarom zullen de plaatsen van constructieve en destructieve interferentie naar de ene of de andere kant verschoven zijn. Het is de elektrische potentiaal die hier optreedt, niet het elektrische veld, en dit is een manifestatie van het feit dat het de potentiëlen zijn en niet de velden die van fundamentele betekenis zijn in de kwantummechanica.

Uitleg met potentialenEdit

Het is zelfs mogelijk gevallen te hebben waarin de resultaten van een experiment verschillen wanneer de potentialen worden veranderd, zelfs als geen geladen deeltje ooit aan een verschillend veld wordt blootgesteld. Één dergelijk voorbeeld is het Aharonov-Bohm effect, dat in het cijfer wordt getoond. In dit voorbeeld, veroorzaakt het aanzetten van de solenoïde slechts een magnetisch veld B om binnen de solenoïde te bestaan. Maar de solenoïde is zo geplaatst dat het elektron onmogelijk door zijn binnenste kan passeren. Als men geloofde dat de velden de fundamentele grootheden waren, dan zou men verwachten dat de resultaten van het experiment onveranderd zouden blijven. In werkelijkheid, zijn de resultaten verschillend, omdat het aanzetten van de solenoïde de vectorpotentiaal A in het gebied veranderde dat de elektronen wel overgaan. Nu is vastgesteld dat het de potentialen V en A zijn die fundamenteel zijn, en niet de velden E en B, kunnen wij zien dat de ijkingstransformaties, die V en A veranderen, echte fysische betekenis hebben, eerder dan louter wiskundige artefacten te zijn.

ijkinginvariantie: de resultaten van de experimenten zijn onafhankelijk van de keuze van de ijking voor de potentialenEdit

Merk op dat in deze experimenten, de enige grootheid die het resultaat beïnvloedt het verschil in fase is tussen de twee delen van de elektronengolf. Stel dat we ons de twee delen van de elektrongolf voorstellen als kleine klokjes, elk met een enkele wijzer die in een cirkel ronddraait en zijn eigen fase bijhoudt. Hoewel deze cartoon enkele technische details negeert, behoudt hij de fysische verschijnselen die hier van belang zijn. Als beide klokken evenveel worden versneld, blijft de onderlinge faseverhouding onveranderd, en zijn de resultaten van experimenten hetzelfde. Niet alleen dat, maar het is zelfs niet nodig om de snelheid van elke klok met een vast bedrag te veranderen. We zouden de hoek van de wijzer op elke klok kunnen veranderen met een variërende hoeveelheid θ, waarbij θ zowel van de positie in de ruimte als van de tijd zou kunnen afhangen. Dit zou geen effect hebben op het resultaat van het experiment, omdat de uiteindelijke waarneming van de plaats van het elektron op één plaats en één tijd plaatsvindt, zodat de faseverschuiving in de “klok” van elk elektron hetzelfde zou zijn, en de twee effecten zouden opheffen. Dit is een ander voorbeeld van een ijkingstransformatie: zij is lokaal, en zij verandert de resultaten van experimenten niet.

SamenvattingEdit

Samenvattend bereikt de ijksymmetrie haar volle belang in de context van de kwantummechanica. Bij de toepassing van de kwantummechanica op het elektromagnetisme, d.w.z. de kwantum-elektrodynamica, geldt de ijksymmetrie zowel voor elektromagnetische golven als voor elektronengolven. Deze twee ijksymmetrieën zijn in feite nauw met elkaar verbonden. Als een ijkingstransformatie θ wordt toegepast op de elektrongolven, bijvoorbeeld, dan moet men ook een overeenkomstige transformatie toepassen op de potentialen die de elektromagnetische golven beschrijven. De ijksymmetrie is nodig om van de kwantumelektrodynamica een renormaliseerbare theorie te maken, d.w.z, één waarin de berekende voorspellingen van alle fysisch meetbare grootheden eindig zijn.

Soorten ijksymmetrieënEdit

De beschrijving van de elektronen in de subsectie hierboven als kleine klokjes is in feite een verklaring van de wiskundige regels volgens welke de fasen van elektronen moeten worden opgeteld en afgetrokken: zij moeten worden behandeld als gewone getallen, behalve dat in het geval dat het resultaat van de berekening buiten het bereik van 0≤θ<360° valt, wij het dwingen “om te draaien” in het toegestane bereik, dat een cirkel beslaat. Een andere manier om dit te zeggen is dat een fasehoek van, zeg, 5° wordt beschouwd als volledig gelijkwaardig aan een hoek van 365°. Experimenten hebben deze testbare verklaring over de door elektronengolven gevormde interferentiepatronen geverifieerd. Afgezien van de “wrap-around” eigenschap zijn de algebraïsche eigenschappen van deze wiskundige structuur precies dezelfde als die van de gewone reële getallen.

In wiskundige terminologie vormen elektronenfasen een Abeliaanse groep onder optelling, die de cirkelgroep of U(1) wordt genoemd. “Abeliaans betekent dat optelling commuteert, dus dat θ + φ = φ + θ. Groep betekent dat additie associeert en een identiteitselement heeft, namelijk “0”. Ook bestaat er voor elke fase een inverse zodat de som van een fase en zijn inverse 0 is. Andere voorbeelden van abeliaanse groepen zijn de gehele getallen onder optelling, 0, en negatie, en de niet-nul-fracties onder product, 1, en reciproke.

Als een manier om de keuze van een gauge te visualiseren, bedenk of het mogelijk is om te zien of een cilinder verdraaid is. Als de cilinder geen oneffenheden, vlekken of krassen heeft, kunnen we dat niet zien. We zouden echter een willekeurige kromme langs de cilinder kunnen tekenen, gedefinieerd door een of andere functie θ(x), waarbij x de afstand langs de as van de cilinder meet. Als deze arbitraire keuze (de keuze van de ijkmaat) eenmaal is gemaakt, wordt het mogelijk deze te detecteren als iemand later de cilinder verdraait.

In 1954 stelden Chen Ning Yang en Robert Mills voor deze ideeën te veralgemenen naar niet-commutatieve groepen. Een niet-commutatieve ijkgroep kan een veld beschrijven dat, in tegenstelling tot het elektromagnetische veld, met zichzelf interageert. Zo stelt de algemene relativiteit dat gravitatievelden energie hebben, en de speciale relativiteit concludeert dat energie equivalent is aan massa. Vandaar dat een gravitatieveld nog een gravitatieveld induceert. De kernkrachten hebben ook deze zelf-interagerende eigenschap.

Gauge bosonenEdit

Verrassend genoeg kan de ijksymmetrie een diepere verklaring geven voor het bestaan van interacties, zoals de elektrische en de kerninteracties. Dit komt voort uit een type ijksymmetrie dat betrekking heeft op het feit dat alle deeltjes van een bepaald type experimenteel niet van elkaar te onderscheiden zijn. Stel je voor dat Alice en Betty een eeneiige tweeling zijn, bij de geboorte gemerkt met armbanden met de letters A en B. Omdat de meisjes identiek zijn, zou niemand kunnen zeggen of ze bij de geboorte verwisseld zijn; de labels A en B zijn willekeurig, en kunnen verwisseld worden. Zo’n permanente verwisseling van hun identiteiten is als een globale ijksymmetrie. Er is ook een overeenkomstige lokale ijksymmetrie, die beschrijft dat Alice en Betty van het ene op het andere moment van rol kunnen verwisselen terwijl niemand kijkt, en dat niemand dat kan zien. Als we zien dat mama’s lievelingsvaas stuk is, kunnen we alleen afleiden dat de schuld bij de ene of de andere tweelingbroer ligt, maar we kunnen niet zeggen of de schuld voor 100% bij Alice ligt en voor 0% bij Betty, of omgekeerd. Als Alice en Betty in feite kwantummechanische deeltjes zijn in plaats van mensen, dan hebben zij ook golfeigenschappen, waaronder de eigenschap van superpositie, waardoor golven willekeurig kunnen worden opgeteld, afgetrokken, en gemengd. Hieruit volgt dat we niet eens beperkt zijn tot volledige verwisselingen van identiteit. Bijvoorbeeld, als we waarnemen dat een bepaalde hoeveelheid energie op een bepaalde plaats in de ruimte bestaat, is er geen experiment dat ons kan vertellen of die energie 100% A’s en 0% B’s is, 0% A’s en 100% B’s, of 20% A’s en 80% B’s, of een ander mengsel. Het feit dat de symmetrie lokaal is, betekent dat we er zelfs niet op kunnen rekenen dat deze verhoudingen vast blijven als de deeltjes zich door de ruimte voortbewegen. De details van hoe dit wiskundig wordt voorgesteld hangen af van technische kwesties in verband met de spins van de deeltjes, maar voor onze huidige doeleinden beschouwen we een spinloos deeltje, waarvoor blijkt dat de menging kan worden gespecificeerd door een willekeurige keuze van de hoek θ(x), waarbij een hoek θ = 0° 100% A en 0% B voorstelt, θ = 90° 0% A en 100% B betekent, en tussenliggende hoeken stellen mengsels voor.

Volgens de principes van de kwantummechanica hebben deeltjes in feite geen trajecten door de ruimte. Beweging kan alleen worden beschreven in termen van golven, en het momentum p van een individueel deeltje is gerelateerd aan zijn golflengte λ door p = h/λ. In termen van empirische metingen kan de golflengte alleen worden bepaald door een verandering in de golf waar te nemen tussen een punt in de ruimte en een ander nabijgelegen punt (mathematisch, door differentiatie). Een golf met een kortere golflengte oscilleert sneller, en verandert dus ook sneller tussen nabije punten. Stel nu dat we willekeurig een meter op één punt in de ruimte vaststellen, door te zeggen dat de energie op die plaats voor 20% uit A’s en voor 80% uit B’s bestaat. Vervolgens meten wij de twee golven op een ander, nabijgelegen punt, om hun golflengten te bepalen. Maar er zijn twee totaal verschillende redenen waarom de golven kunnen zijn veranderd. Zij kunnen veranderd zijn omdat zij met een bepaalde golflengte oscilleren, of zij kunnen veranderd zijn omdat de gauge functie veranderd is van een 20-80 mengsel naar, zeg, 21-79. Als we de tweede mogelijkheid negeren, werkt de resulterende theorie niet; er komen vreemde afwijkingen in het momentum aan het licht, hetgeen in strijd is met het beginsel van behoud van momentum. Er moet iets in de theorie veranderd worden.

Opnieuw zijn er technische problemen met betrekking tot spin, maar in verschillende belangrijke gevallen, waaronder elektrisch geladen deeltjes en deeltjes die via kernkrachten op elkaar inwerken, is de oplossing van het probleem om de ijkfunctie θ(x) fysische realiteit toe te schrijven. We zeggen dat als de functie θ oscilleert, zij een nieuw type kwantummechanische golf vertegenwoordigt, en deze nieuwe golf heeft zijn eigen momentum p = h/λ, hetgeen de discrepanties blijkt op te lossen die anders het behoud van momentum zouden hebben doorbroken. In de context van het elektromagnetisme zouden de deeltjes A en B geladen deeltjes zijn, zoals elektronen, en de kwantummechanische golf voorgesteld door θ zou het elektromagnetische veld zijn. (Hier gaan we voorbij aan de technische problemen die ontstaan door het feit dat elektronen eigenlijk spin 1/2 hebben, en niet spin nul. Deze oversimplificatie is de reden dat het ijkveld θ een scalair veld blijkt te zijn, terwijl het elektromagnetische veld in feite wordt voorgesteld door een vector bestaande uit V en A). Het resultaat is dat we een verklaring hebben voor de aanwezigheid van elektromagnetische wisselwerkingen: als we proberen een ijksymmetrische theorie te construeren van identieke, niet op elkaar inwerkende deeltjes, is het resultaat niet zelfconsistent, en kan het alleen worden hersteld door elektrische en magnetische velden toe te voegen die de deeltjes tot wisselwerking brengen.

Hoewel de functie θ(x) een golf beschrijft, vereisen de wetten van de kwantummechanica dat zij ook deeltjeseigenschappen heeft. In het geval van het elektromagnetisme is het deeltje dat overeenkomt met elektromagnetische golven het foton. In het algemeen worden dergelijke deeltjes ijkbosonen genoemd, waarbij de term “boson” verwijst naar een deeltje met gehele spin. In de eenvoudigste versies van de theorie zijn ijkbosonen massaloos, maar het is ook mogelijk versies te construeren waarin zij wel massa hebben, zoals het geval is voor de ijkbosonen die de kernvervalkrachten overbrengen.