De wet van Bernoulli

Tot nu toe is de aandacht uitgegaan naar vloeistoffen in rust. Dit gedeelte behandelt vloeistoffen die op een constante manier in beweging zijn, zodat de snelheid van de vloeistof op elk gegeven punt in de ruimte niet verandert met de tijd. Elk stromingspatroon dat in deze zin stabiel is, kan worden gezien in termen van een reeks stroomlijnen, de banen van denkbeeldige deeltjes die in de vloeistof zweven en met de vloeistof worden meegevoerd. Bij constante stroming is de vloeistof in beweging, maar de stroomlijnen zijn vast. Waar de stroomlijnen samenklitten, is de snelheid van de vloeistof relatief hoog; waar zij zich openen, wordt de vloeistof relatief stil.

Britannica Quiz

All About Physics Quiz

Wie was de eerste wetenschapper die een experiment met een gecontroleerde nucleaire kettingreactie uitvoerde? Wat is de meeteenheid voor cycli per seconde? Test je natuurkundig inzicht met deze quiz.

Toen Euler en Bernoulli de grondslagen van de hydrodynamica legden, behandelden zij de vloeistof als een geïdealiseerde inviscide stof waarin, net als in een vloeistof in rust in evenwicht, de schuifspanningen die samenhangen met de viscositeit nul zijn en de druk p isotroop. Zij kwamen tot een eenvoudige wet die de variatie van p langs een stroomlijn relateert aan de variatie van v (het principe wordt toegeschreven aan Bernoulli, maar Euler schijnt het eerst te hebben bedacht), die dient om veel van de verschijnselen te verklaren die echte vloeistoffen in gestage beweging vertonen. Op de onvermijdelijke vraag wanneer en waarom het gerechtvaardigd is de viscositeit te verwaarlozen, bestaat geen eenduidig antwoord. Sommige antwoorden zullen later in dit artikel worden gegeven, maar andere zaken zullen eerst aan de orde komen.

Beschouw een klein vloeistofelement met massa m, waarop – afgezien van de kracht die er door de zwaartekracht op wordt uitgeoefend – alleen een druk p. heerst. Het is een bekend gevolg van Newtons bewegingswetten dat, wanneer een deeltje met massa m onder invloed van zijn gewicht mg en een extra kracht F van een punt P waar zijn snelheid vP en zijn hoogte zP is, naar een punt Q waar zijn snelheid vQ en zijn hoogte zQ is, de door de extra kracht verrichte arbeid gelijk is aan de toename van de kinetische en potentiële energie van het deeltje – d.w.z, dat

In het geval van het beschouwde fluïdumelement kan F op eenvoudige wijze worden gerelateerd aan de drukgradiënt, en vindt men

Als de variaties van de vloeistofdichtheid langs de stroomlijn van P naar Q verwaarloosbaar klein zijn, kan de factor ρ-1 buiten de integraal aan de rechterkant van (131) worden genomen, die dan reduceert tot ρ-1(pQ – pP). Dan kunnen (130) en (131) gecombineerd worden tot

Omdat dit geldt voor elke twee punten die door een enkel vloeistofelement bezocht kunnen worden, kan men hieruit onmiddellijk het belangrijke resultaat van Bernoulli (of Euler) afleiden dat langs elke stroomlijn in de gestage stroming van een viskeuze vloeistof de grootheidis constant.

Onder welke omstandigheden zijn variaties in de dichtheid verwaarloosbaar klein? Wanneer zij zeer klein zijn in vergelijking met de dichtheid zelf, d.w.z. wanneerwaarbij het symbool Δ wordt gebruikt om de grootte van de verandering langs een stroomlijn van de daarop volgende grootheid aan te geven, en waarbij Vs de geluidssnelheid is (zie onder Samendrukbare stroming in gassen). Aan deze voorwaarde wordt voldaan voor alle stromingsproblemen met water die hieronder worden besproken. Als de vloeistof lucht is, is er voldoende aan voldaan, mits de grootste afwijking in z in de orde van grootte van meters is en niet kilometers, en mits de vloeistofsnelheid overal minder is dan ongeveer 100 meter per seconde.

De wet van Bernoulli geeft aan dat, als een inviscide vloeistof langs een pijp met variërende doorsnede stroomt, de druk relatief laag is bij vernauwingen waar de snelheid hoog is en relatief hoog waar de pijp open gaat en de vloeistof stagneert. Veel mensen vinden deze situatie paradoxaal als ze er voor het eerst mee te maken krijgen. Een vernauwing zou toch juist de lokale druk moeten verhogen in plaats van verlagen? De paradox verdwijnt als men leert de drukveranderingen langs de pijp te zien als oorzaak en de snelheidsveranderingen als gevolg, in plaats van andersom; het is alleen omdat de druk bij een vernauwing daalt, dat de drukgradiënt stroomopwaarts van de vernauwing het juiste teken heeft om de vloeistof te doen versnellen.

Paradoxaal of niet, voorspellingen gebaseerd op de wet van Bernoulli worden goed geverifieerd door experimenten. Probeer eens twee vellen papier zo vast te houden dat ze verticaal twee centimeter of zo uit elkaar hangen en blaas naar beneden, zodat er een luchtstroom tussen ontstaat. De bladen zullen naar elkaar toegetrokken worden door de drukverlaging die met deze stroming gepaard gaat. Schepen worden om ongeveer dezelfde reden naar elkaar toegetrokken als zij met dezelfde snelheid en een kleine afstand tussen elkaar in dezelfde richting door het water bewegen. In dit geval is de stroming het gevolg van de verplaatsing van water door de boeg van elk schip, die naar achteren moet stromen om de ruimte op te vullen die ontstaat als de achtersteven naar voren beweegt, en de stroming tussen de schepen, waaraan zij beiden bijdragen, is sterker dan de stroming die langs hun buitenzijden beweegt. Luister, als een ander eenvoudig experiment, naar het sissende geluid van een kraan die bijna, maar niet helemaal, is dichtgedraaid. Wat er in dit geval gebeurt is dat de stroom zo vernauwd is en de snelheid binnen de vernauwing zo hoog dat de druk in de vernauwing in feite negatief is. Geholpen door de opgeloste gassen die normaal aanwezig zijn, caviteert het water terwijl het passeert, en het geluid dat men hoort is het geluid van kleine belletjes die ineenstorten terwijl het water vertraagt en de druk aan de andere kant weer toeneemt.

Twee praktische apparaten die door waterbouwkundigen worden gebruikt om de stroming van vloeistoffen door pijpen te controleren, zijn gebaseerd op de wet van Bernoulli. Het ene is de venturibuis, een korte buis met een vernauwing erin van standaardvorm (zie figuur 5A), die in de eigenlijke pijp kan worden ingebracht. Indien de snelheid in het punt P, waar de buis een doorsnede AP heeft, vP is en de snelheid in de vernauwing, waar de doorsnede AQ is, vQ, dan volgt uit de continuïteitsvoorwaarde – de voorwaarde dat de massa die per tijdseenheid door de buis stroomt op alle punten in de lengte van de buis gelijk moet zijn – dat ρPAPvP = ρQAQvQ, of dat APvP = AQvQ indien het verschil tussen ρP en ρQ te verwaarlozen is. Dan geeft de wet van Bernoulli

Dus moet men in staat zijn vP, en dus de grootheid Q (= APvP) die ingenieurs de uitstroomsnelheid noemen, te vinden door het verschil te meten van het niveau h van de vloeistof in de twee zijbuizen die in het diagram worden getoond. Bij lage snelheden wordt het drukverschil (pP – pQ) sterk beïnvloed door de viscositeit (zie hieronder Viscositeit), en vergelijking (135) is bijgevolg onbetrouwbaar. De venturibuis wordt echter gewoonlijk gebruikt wanneer de stroomsnelheid groot genoeg is om turbulent te zijn (zie Turbulentie). In zo’n geval voorspelt vergelijking (135) waarden voor Q die tot op enkele procenten nauwkeurig overeenkomen met waarden die met meer directe middelen zijn gemeten, ook al is het stromingspatroon eigenlijk helemaal niet zo stabiel.

Het andere apparaat is de pitotbuis, die is afgebeeld in figuur 5B. De stromingslijnen van de vloeistof splitsen zich bij het naderen van het stompe uiteinde van deze buis, en op het punt Q in het diagram is er volledige stagnatie, omdat de vloeistof op dit punt noch naar boven, noch naar beneden, noch naar rechts beweegt. Uit de wet van Bernoulli volgt onmiddellijk dat

Zoals bij de venturibuis moet men dus vP kunnen vinden uit het niveauverschil h.

Een ander eenvoudig resultaat verdient hier vermelding. Het betreft een vloeistofstraal die door een gat in de wand van een met vloeistof onder druk gevuld vat naar buiten komt. Waarneming van de straal toont aan, dat deze zich na het uittreden enigszins vernauwt, voordat hij weer tot een min of meer uniforme doorsnede komt, bekend als de vena contracta. Dit komt doordat de stroomlijnen convergeren naar de opening in het vat en verplicht zijn nog een korte tijd buiten het vat door te gaan met convergeren. Het was Torricelli die als eerste voorstelde dat, indien het drukoverschot in het vat wordt gegenereerd door een vloeistofkop h, de snelheid v bij de vena contracta de snelheid is die een vrij deeltje zou bereiken bij een val door een hoogte h – d.w.z, dat

Dit resultaat is een onmiddellijk gevolg, voor een inviscide vloeistof, van het principe van behoud van energie dat in de wet van Bernoulli is vastgelegd.

In het volgende hoofdstuk wordt de wet van Bernoulli op indirecte wijze gebruikt om een formule op te stellen voor de snelheid waarmee verstoringen zich over het oppervlak van ondiep water verplaatsen. De verklaring van verscheidene interessante verschijnselen die met watergolven te maken hebben, ligt in deze formule begraven. Analoge verschijnselen met betrekking tot geluidsgolven in gassen worden hieronder besproken in Samendrukbare stroming in gassen, waar een alternatieve vorm van de wet van Bernoulli wordt geïntroduceerd. Deze vorm van de wet is beperkt tot gassen in constante stroming, maar is niet beperkt tot stroomsnelheden die veel lager zijn dan de geluidssnelheid. De complicatie die viscositeit vertegenwoordigt wordt in deze twee secties opnieuw genegeerd.