Homotopie, in de wiskunde, een manier om meetkundige gebieden te classificeren door de verschillende soorten paden te bestuderen die in het gebied kunnen worden getrokken. Twee paden met gemeenschappelijke eindpunten worden homotoop genoemd indien het ene pad voortdurend kan worden vervormd in het andere, waarbij de eindpunten vast blijven en het pad binnen het gedefinieerde gebied blijft. In deel A van de figuur zit in het gearceerde gebied een gat; f en g zijn homotopische paden, maar g′ is niet homotoop aan f of g, omdat g′ niet kan worden vervormd tot f of g zonder door het gat te gaan en het gebied te verlaten.

Meer formeel houdt homotopie in dat een pad wordt gedefinieerd door punten in het interval van 0 tot 1 op een continue manier af te beelden naar punten in de regio – dat wil zeggen, zodat naburige punten op het interval overeenkomen met naburige punten op het pad. Een homotopie-kaart h(x, t) is een continue kaart die met twee geschikte paden, f(x) en g(x), een functie van twee variabelen x en t associeert die gelijk is aan f(x) als t = 0 en gelijk aan g(x) als t = 1. De kaart beantwoordt aan het intuïtieve idee van een geleidelijke vervorming zonder het gebied te verlaten als t verandert van 0 in 1. Bijvoorbeeld, h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) is een homotopische functie voor de paden f en g in deel A van de figuur; de punten f(x) en g(x) worden verbonden door een recht lijnstuk, en voor elke vaste waarde van t definieert h(x, t) een pad dat dezelfde twee eindpunten verbindt.

Bijzonder interessant zijn de homotopische paden die beginnen en eindigen in één punt (zie deel B van de figuur). De klasse van alle homotopische paden in een gegeven meetkundig gebied heet een homotopie-klasse. Aan de verzameling van al deze klassen kan een algebraïsche structuur worden gegeven die groep wordt genoemd, de fundamentaalgroep van het gebied, waarvan de structuur varieert naar gelang van het type gebied. In een gebied zonder gaten zijn alle gesloten paden homotoop en bestaat de fundamentaalgroep uit één enkel element. In een gebied met een enkel gat zijn alle paden homotoop die evenveel keer rond het gat draaien. In de figuur zijn de paden a en b homotoop, evenals de paden c en d, maar pad e is met geen van de andere paden homotoop.

Op dezelfde manier definieert men homotopische paden en de fundamentaalgroep van gebieden in drie of meer dimensies, en ook op algemene manifolds. In hogere dimensies kan men ook hoger-dimensionale homotopiegroepen definiëren.