Gauge theorieën

Geschreven door op in Articles
Post-publicatie activiteit

Curator: Gerard ′t Hooft

Medewerkers:
0.11 –

Leo Trottier

0.11 –

Jonathan R. Williford

0.11 –

Nick Orbeck

0.11 –

Jonathan Gleason

0.11 –

Jonathan Gleason

0…11 –

Riccardo Guida

Met ijkingstheorieën wordt een vrij algemene klasse van kwantumveldentheorieën bedoeld die gebruikt worden voor de beschrijving van elementaire deeltjes en hun interacties. De theorieën worden gekenmerkt door de aanwezigheid van vectorvelden, en zijn als zodanig een veralgemening van de oudere theorie van de Quantum Elektrodynamica (QED) die wordt gebruikt om de elektromagnetische wisselwerkingen van geladen elementaire deeltjes met spin 1/2 te beschrijven. Lokale ijking invariantie is een zeer centrale kwestie. Een belangrijk kenmerk is dat deze theorieën vaak te normaliseren zijn wanneer ze worden gebruikt in 3 ruimte- en 1 tijdsdimensie.

Inhoud

  • 1 1. Maxwells vergelijkingen en ijkinginvariantie
  • 2 2. Yang-Mills theorie
  • 3 3. Het Brout-Englert-Higgs mechanisme
  • 4 4. Quantum Chromodynamica
  • 5 5. De Lagrangiaan
  • 6 6. Renormalisatie en anomalieën
  • 7 7. Standaard Model
  • 8 8. Grote Geünificeerde Theorieën
  • 9 9. Slotopmerkingen
  • 10 Referenties
  • 11 Verder lezen
  • 12 Zie ook
  • 13 Externe links

1. Maxwells vergelijkingen en ijkinvariantie

Het eenvoudigste voorbeeld van een ijkingstheorie is de elektrodynamica, zoals beschreven door de Maxwell-vergelijkingen. De elektrische veldsterkte(\vec E(\vec x,t)\) en de magnetische veldsterkte(\vec B(\vec x,t)\) gehoorzamen aan de homogene Maxwell vergelijkingen (in SI-eenheden):

Volgens het Lemma van Poincaré, impliceert Eq. (2) dat er een andervectorveld (vec A(vec x,t)\) bestaat zodat

Omdat Eq. (1) nu luidt

kunnen we ook concluderen dat er een potentiaalveld (\Phi(vecx,t)\) is zo dat

Het veld \(\Phi) is het elektrische potentiaalveld; het vectorveld \(\vec A,t) heet het vectorpotentiaalveld. De sterkte van deze potentiaalvelden wordt bepaald door de inhomogene Maxwell-vergelijkingen, die de sterkte van de elektromagnetische velden relateren aan de elektrische ladingen en stromen die deze velden opwekken. Het gebruik van potentiaalvelden vereenvoudigt vaak het probleem van de oplossing van de Maxwell-vergelijkingen.

Wat deze theorie tot een ijkertheorie maakt, is het feit dat de waarden van deze potentiaalvelden niet volledig bepaald worden door de vergelijkingen van Maxwell. Beschouw een elektromagnetische veldconfiguratie((\vec E(\vec x,t),\,\vec B(\vec x,t))\ ) en stel dat deze wordt beschreven door de potentiaalvelden ((\Phi(\vec x,t),\,\vecA(\vec x,t))\ .\) Met een willekeurige scalaire functie kan men dan een andere verzameling potentiaalvelden vinden die dezelfde elektrische en magnetische velden beschrijven, door

Interpretatie van vergelijkingen (3) en (5) leert ons dat \(\vec E=\vec E’\) en \(\vecB=\vec B’\ .\Dus, de verzameling (\Phi’,\,\vec A’\)) en (\Phi,\,\vec A’\)) beschrijven dezelfde fysische situatie. Daarom noemen we de transformatie (6) een spantransformatie. Omdat de ijkpunttransformatie een willekeurige functie van de punten x,t in de ruimte-tijd kan zijn, spreken we van een lokale ijkingstransformatie. Het feit dat de elektromagnetische velden invariant zijn onder deze lokale ijkingstransformaties maakt de theorie van Maxwell tot een ijkingstheorie.

In de relativistische kwantumveldentheorie zou het veld (\psi(\vecx,t)\) van een niet interagerend spinloos deeltje typisch de vergelijking

volgen, waarbij eenheden worden gebruikt zodanig dat de lichtsnelheid \(c=1,\) en de constante van Planck \(\hbar=1,\).\Dit geeft de dispersierelatie tussen energie en momentum zoals voorgeschreven door de Speciale Relativiteit:

Stel nu dat het deeltje in kwestie een elektrische lading heeft (q) Hoe wordt zijn vergelijking dan beïnvloed door de aanwezigheid van elektromagnetische velden? Het blijkt dat men niet direct de juiste vergelijkingen kan schrijven met de velden ²(²vec E²) en ²(²vecB²). Hier kan men er alleen voor kiezen om termen toe te voegen die afhankelijk zijn van de (vector) potentiaalvelden:

Nagegaan kan worden dat deze vergelijking op de juiste manier golven oplevert die worden afgebogen door de elektro-magnetische krachten op de manier die men verwacht.Zo is bijvoorbeeld gemakkelijk te zien dat de energie vergroot wordt met een hoeveelheid die de potentiële energie is van een geladen deeltje in een elektrisch potentiaalveld. Het lijkt alsof de vergelijking verandert, zodat de oplossing voor het veld \(\psi\) ook zou moeten veranderen.Inderdaad, \(\psi\) verandert op de volgende manier:

Dus, het veld \(\psi\) maakt een draaiing in het complexe vlak. Dit is nauw verwant met een “schaaltransformatie”, die het gevolg zou zijn als men de “i” uit Eq. (10) zou weglaten. Het was Hermann Weyl die opmerkte dat deze symmetrietransformatie eenvoudigweg de schaal van het veld(\psi,\) herdefinieert en het woord “gauge” introduceerde om deze eigenschap te beschrijven.

De combinaties

Figuur 1: Feynman-diagram voor elektron dat een foton uitzendt.

worden covariante afgeleiden genoemd, omdat ze zo gekozen zijn dat de afgeleiden van de functie (\Lambda(\vecx,t)\) bij een ijktransformatie opheffen:

en dit maakt het gemakkelijk om te zien dat vergelijking (10) correct beschrijft hoe \(\psi\) transformeert onder een plaatselijke ijkspanningstransformatie, waarbij dezelfde veldvergelijking (9) zowel voor als na de transformatie wordt gevolgd (alle termen in de vergelijking worden met dezelfde exponentiaal (e^{-iqLambda},\) vermenigvuldigd, zodat die factor niet van belang is).

De absolute waarde, ²(²vec x,t)^2°) verandert helemaal niet onder een ijkspanningstransformatie, en dit is ook de grootheid die overeenkomt met iets dat fysisch waarneembaar is: het is de kans dat een deeltje gevonden kan worden op ²(²vec x,t)^2°). Een vuistregel is dat voor lokale ijkinvariantie alle afgeleiden in onze vergelijkingen vervangen moeten worden door covariante afgeleiden.

2. Yang-Mills theorie

Figuur 2: Feynman diagrammen voor de emissie van Yang-Mills fotonen. Boven: elektron verandert in en elektron-neutrino; onder: neutron verandert in proton.

In de jaren vijftig was bekend dat de veldvergelijkingen voor het veld van een proton, P(\x,t)\) en het veld van een neutron, N(\x,t)\) zodanig zijn dat men deze velden in een complexe tweedimensionale ruimte kan roteren:

waarbij de matrix U(U=links) vier willekeurige complexe getallen mag bevatten, zolang hij maar unitair is (U(U,U^dagger=I)), en gewoonlijk is de determinant van U(U) beperkt tot 1. Omdat deze vergelijkingen lijken op de rotaties die men in de gewone ruimte kan uitvoeren om de spin van een deeltje te beschrijven, werd de symmetrie in kwestie hier isospin genoemd.

In 1954 publiceerden C.N. Yang en R.L. Mills een zeer belangrijk idee.Zou men de vergelijkingen zo kunnen wijzigen dat deze isospinrotaties beschouwd kunnen worden als lokale ijkpuntrotaties? Dit zou betekenen dat, in tegenstelling tot het bekende geval, de matrices van ruimte en tijd zouden mogen afhangen, net zoals de ijkgenerator Lambda(\vec x,t)\) in het elektromagnetisme. Yang en Mills werden ook geïnspireerd door de waarneming dat Einsteins algemene relativiteitstheorie ook transformaties toelaat die sterk lijken op lokale ijkingstransformaties: het vervangen van het coördinatenstelsel door andere coördinaten op een willekeurige, ruimte-tijd afhankelijke manier.

Om veldvergelijkingen voor protonen en neutronen op te schrijven, heeft men de afgeleiden van deze velden nodig. De manier waarop deze afgeleiden transformeren onder een lokale ijkingstransformatie impliceert dat er termen zullen zijn die de gradiënten bevatten van de matrices U\Om de theorie ijkpuntinvariant te maken moeten deze gradiënten opgeheven worden, en om dat te doen hebben Yang en Mills de afgeleiden \(\vec\nabla\) vervangen door covariante afgeleiden \(\vec D= \vec\nabla -ig\vec A(\vec x,t)\,\) zoals in het elektromagnetisme, zie Vergelijking (11). Hier moeten de velden echter matrixgewaardeerd zijn, net als de isospin matrices:

Aangezien de \(U\)-matrices vier coëfficiënten bevatten met één beperking (de determinant moet 1 zijn), krijgt men drie nieuwe vectorvelden (er zijn 3 onafhankelijke reele vectoren in de matrix (15)). Op het eerste gezicht lijken dit de velden van een vectordeeltje met isospin 1. In de praktijk zou dit moeten overeenkomen met deeltjes met één eenheid spin (d.w.z. het deeltje roteert om zijn as), en zijn elektrische lading zou neutraal kunnen zijn of één of min één eenheid. De Yang-Mills theorie voorspelt en beschrijft dus een nieuw type deeltjes met één spin die een kracht overbrengen die niet lijkt op de elektromagnetische kracht.

De velden die equivalent zijn aan de elektrische en magnetische velden van Maxwell worden verkregen door de commutator van twee covariante afgeleiden te beschouwen:

=D_µmu D_µnu-D_µnu D_µmu=-ig(¼_µmu A_µnu-¼nu A_µmu-ig) = -igF_{muµnu} ,

waarbij de indices de waarden 0,1,2,3,\nu=0,1,2,3,\) hebben en 0 verwijst naar de tijdcomponent.

Deze tensor heeft 6 onafhankelijke componenten, waarvan er drie een elektrisch vectorveld vormen en drie een magnetisch veld. Elk van deze componenten is ook een matrix. De commutator, \(\) is een nieuw, niet-lineair element, dat de Yang-Mills vergelijkingen een stuk ingewikkelder maakt dan het Maxwell stelsel.

In andere opzichten zijn de Yang-Mills deeltjes, zijnde de energiequanta van de Yang-Mills velden, vergelijkbaar met fotonen, de quanta van het licht. Yang-Mills deeltjes hebben ook geen intrinsieke massa, en reizen met de snelheid van het licht. Inderdaad, deze eigenschappen waren aanvankelijk reden om deze theorie te verwerpen, omdat massaloze deeltjes van dit soort allang ontdekt hadden moeten zijn, terwijl zij opvallend afwezig waren.

3. Het Brout-Englert-Higgs mechanisme

De theorie werd nieuw leven ingeblazen toen het werd gecombineerd met spontane analyse van lokale metersymmetrie, ook bekend als het Brout-Englert-Higgs mechanisme. Beschouw een scalair (spinloos) deeltje beschreven door een veld Dit veld wordt verondersteld een vectorveld te zijn, in die zin dat het een somerotatie ondergaat wanneer een ijkingstransformatie wordt uitgevoerd. In de praktijk betekent dit dat het deeltje een of meer ladingen draagt die het gevoelig maken voor de Yang-Mills kracht, en vaak heeft het meerdere componenten, wat betekent dat er verschillende soorten van dit deeltje zijn.Zulke deeltjes moeten gehoorzamen aan Bose-Einstein statistiek, wat impliceert dat het Bose-Einstein condensatie kan ondergaan. Met betrekking tot zijn veld betekent dit het volgende:

Figuur 3: Spontane symmetriebreking. Een voorwerp dat zich in een rotatiesymmetrische potentiaal bevindt, vindt een stabiele, asymmetrische positie. In het geval van BEH is het het Higgsveld, dat een asymmetrische waarde vindt.\.)

Dit wordt meestal geschreven als

Na een lokale ijkingstransformatie zou dit er zo uitzien

waarbij \( U(\vec x,t) \) een matrixveld is dat de lokale ijkingstransformatie voorstelt.

Vaak wordt gezegd dat het vacuüm dus niet ijkinvariant is, maar strikt genomen is dat niet juist. De situatie beschreven door vergelijking (18) is hetzelfde vacuüm als (17); het wordt alleen anders beschreven. Deze eigenschap van het vacuüm heeft echter wel belangrijke consequenties. Omdat het gedraaide veld nu dezelfde situatie beschrijft als de vorige waarde, is er geen ander fysisch deeltje geassocieerd met het gedraaide veld. Alleen de lengte van de vector heeft fysische betekenis. Deze lengte is ijkinginvariant. Daarom is alleen de lengte van de vector geassocieerd met één type deeltje, dat neutraal moet zijn voor de Yang-Mills krachten. Dit deeltje wordt nu het Higgsdeeltje genoemd.

Omdat het Higgsveld een constante bron is voor de Yang-Mills veldsterkte, worden de Yang-Mills veldvergelijkingen erdoor gewijzigd. Door het Higgsveld krijgen de Yang-Mills “fotonen” beschreven door het Yang-Millsveld een massa. Dit kan ook als volgt worden verklaard. Massaloze fotonen kunnen slechts twee heliciteitstoestanden hebben, dat wil zeggen dat ze slechts in twee richtingen kunnen tollen. Dit hangt samen met het feit dat licht in precies twee richtingen kan worden gepolariseerd. Massieve fotonen (deeltjes met niet-vanishing massa en met één eenheid van spin), kunnen altijd in drie richtingen spinnen. De derde rotatiemogelijkheid wordt nu geleverd door het Higgsveld, dat zelf verschillende van zijn fysische componenten verliest. Het totale aantal fysische veldcomponenten blijft gelijk voor en na het Brout-Englert-Higgs mechanisme. Een ander gevolg van dit effect op het Yang-Mills veld is dat de kracht die door de massieve fotonen wordt uitgezonden een korte-afstands-kracht is (het bereik van de kracht is omgekeerd evenredig met de massa van het foton).

Figuur 4: De zes smaken en drie kleuren van quarks en hun antideeltjes. Pijlen tonen de zwakke en de sterke overgangen

De zwakke interacties konden nu met succes worden beschreven door een Yang-Mills theorie. De verzameling van lokale ijkingstransformaties vormt de wiskundige groep (SU(2) maal U(1)). Deze groep genereert 4 soorten fotonen (3 voor SU(2)\ en 1 voor U(1)\). Het Brout-Englert-Higgs mechanisme breekt deze groep zodanig af dat een ondergroep van de vorm U(1) overblijft. Dit is de elektromagnetische theorie, met slechts één foton. De andere drie fotonen worden massief; zij zijn verantwoordelijk voor de zwakke wisselwerkingen, die in de praktijk zwak blijken te zijn, juist omdat deze krachten een zeer korte reikwijdte hebben. Met betrekking tot het elektromagnetisme zijn twee van deze tussenliggende vectorbosonen, W, elektrisch geladen, en een derde, Z, elektrisch neutraal. Toen het bestaan van deze laatste werd afgeleid uit groepstheoretische argumenten, leidde dit tot de voorspelling van een tot dan toe onopgemerkte vorm van de zwakke wisselwerking: de neutrale stroom wisselwerking. Deze theorie, die elektromagnetisme en de zwakke kracht in één combineert, wordt de elektrozwakke theorie genoemd, en het was de eerste volledig renormaliseerbare theorie voor de zwakke kracht (zie hoofdstuk 5).

4. Quantum Chromodynamica Toen men begreep dat de zwakke wisselwerkingen, samen met de elektromagnetische, kunnen worden toegeschreven aan een Yang-Mills ijktheorie, vroeg men zich af hoe men de sterke kracht moest aanpakken, een zeer sterke kracht met een relatief korte actieradius, die het gedrag van de hadronische deeltjes zoals de nucleonen en de ionen controleert. Sinds 1964 was men het erover eens dat deze deeltjes zich gedragen alsof zij zijn opgebouwd uit subeenheden, quarks genaamd. Er waren drie soorten quarks bekend (up, down en strange), en later zouden er nog drie worden ontdekt (charm, top en bottom). Deze quarks hebben de eigenaardige eigenschap dat zij permanent aan elkaar blijven kleven, hetzij in drietallen, hetzij één quark samen met één anti-quark. Wanneer zij elkaar echter zeer dicht naderen, beginnen zij zich vrijer als individuen te gedragen.

Figuur 5: Feynman-diagrammen voor de emissie van QCD-gluonen. Quarks veranderen van kleur, maar hun smaak blijft hetzelfde: u blijft u en d blijft d.

Deze kenmerken begrijpen we nu als, opnieuw, te wijten aan een Yang-Millsgauge theorie. Hier hebben we de wiskundige groep SU(3) als lokale ijkgroep, terwijl de symmetrie nu niet wordt beïnvloed door een Brout-Englert-Higgs mechanisme. Door het niet-lineaire karakter van het Yang-Mills veld treedt er een zelfinteractie op, waardoor de velden in patronen komen die heel anders zijn dan in het elektromagnetische geval: er worden vortex lijnen gevormd, die onbreekbare bindingen vormen tussen quarks. Op korte afstand wordt de Yang-Mills kracht zwak, en dit is een eigenschap die op een elementaire manier kan worden afgeleid met behulp van perturbatie-expansies, maar het is een eigenschap van het gekwantiseerde Yang-Mills systeem waarvan tot nu toe werd gedacht dat het onmogelijk was voor elke quantumveldentheorie, de zogenaamde asymptotische vrijheid. De ontdekking van deze eigenschap heeft een ingewikkelde geschiedenis.

Figuur 6: De kwantumchromodynamische velden vormen draaikolken die quarks en antiquarks (links) of drie-quarksystemen (rechts) permanent opgesloten houden.

(SU(3)\) impliceert dat elke soort quark in drie soorten komt, aangeduid als kleur: ze zijn “rood”, “groen” of “blauw”.Het veld van een quark is dus een 3-componenten vector in een interne’kleur’ruimte. Yang-Mills ijkingstransformaties roteren deze vector in de kleurruimte. De Yang-Mills velden zelf vormen 3 bij 3 matrices, met één beperking (want de determinant van de Yang-Mills ijkingsmatrices moet gelijk gehouden worden aan één). Daarom heeft het Yang-Mills veld 8 gekleurde foton-achtige deeltjes, die gluonen worden genoemd. Anti-quarks dragen de geconjugeerde kleuren (“cyaan”, “magenta” of “geel”). De theorie wordt nu Quantum chromodynamica (QCD) genoemd. Het is ook een renormaliseerbare theorie.

De gluonen houden de quarks effectief bij elkaar op zo’n manier dat hun kleuren bij elkaar opgeteld een totaal vormen dat kleurneutraal is (“wit” of een “grijstint”). Daarom kunnen ofwel drie quarks ofwel één quark en één anti-quark samen een fysisch waarneembaar deeltje vormen (een hadron). Deze eigenschap van de theorie wordt permanente quarkopsluiting genoemd. Vanwege de sterk niet-lineaire aard van de velden is quarkopsluiting in feite vrij moeilijk aan te tonen, terwijl de eigenschap van asymptotische vrijheid wel nauwkeurig kan worden aangetoond. Een wiskundig sluitende demonstratie van opsluiting, met het bijbehorende verschijnsel van een massakloof in de theorie (de afwezigheid van strikt massaloze hadronische objecten) is nog niet gegeven, en is het onderwerp van een publicatie van het Clay Mathematics Institute van Cambridge, Massachusetts.

5. De Lagrangiaan

Men kan niet alle veldvergelijkingen naar believen kiezen. Dit impliceert dat er een actieprincipe is (actie = reactie), en dit principe wordt het gemakkelijkst uitgedrukt door de Lagrangiaan voor de theorie te schrijven. De Lagrangiaan (meer precies, Lagrange-dichtheid) is een uitdrukking voor de velden van het systeem. Voor een reëel scalair veld is dat

en voor de Maxwell-velden is dat

waarbij de sommatie de Lorentz covariante sommatie is over de Lorentz-indices \(\mu,\nu,\ .\De veldvergelijkingen kunnen allemaal uit deze uitdrukking worden afgeleid door te eisen dat de actie-integraal,

waarbij (\mathcal{L}) de som is van de Lagrangianen van alle velden in het systeem, stationair is onder alle infinitesimale variaties van deze velden. Dit noemt men het Euler-Lagrangeprincipe, en de vergelijkingen zijn de Euler-Lagrangevergelijkingen.

Voor ijkingstheorieën generaliseert dit direct: men schrijft

gebruik makend van de uitdrukking (16) voor de ijkvelden (F_{mu},\) en voegt alle termen toe die horen bij de andere velden die worden ingevoerd. Alle symmetrieën van de theorie zijn de symmetrieën van de Lagrangiaan, en de dimensionaliteit van alle koppelingssterktes kan ook gemakkelijk uit de Lagrangiaan worden afgelezen, wat van belang is voor de renormaliseringsprocedure (zie volgend hoofdstuk).

6. Volgens de wetten van de kwantummechanica bestaat de energie in een veld uit energiepakketjes, en deze energiepakketjes zijn in feite de met het veld geassocieerde deeltjes. De kwantummechanica geeft uiterst precieze voorschriften over hoe deze deeltjes op elkaar inwerken, zodra de veldvergelijkingen bekend zijn en in de vorm van een Lagrangiaan kunnen worden gegeven. De theorie wordt dan quantumveldentheorie (QFT) genoemd, en zij verklaart niet alleen hoe krachten worden overgebracht door de uitwisseling van deeltjes, maar zij stelt ook dat meervoudige uitwisselingen moeten plaatsvinden. In veel oudere theorieën gaf deze meervoudige uitwisseling aanleiding tot moeilijkheden: de effecten ervan leken onbegrensd of oneindig te zijn. In een ijkingstheorie echter wordt de kleine-afstandsstructuur zeer nauwkeurig voorgeschreven door de eis van ijkinginvariantie. In zo’n theorie kan men de oneindige effecten van de meervoudige uitwisselingen combineren met herdefinities van massa’s en ladingen van de betrokken deeltjes. Deze procedure wordt renormalisatie genoemd. In 3 ruimte- en 1 tijdsdimensie zijn de meeste gaugetheorieën renormaliseerbaar. Dit stelt ons in staat om de effecten van meervoudige deeltjesuitwisselingen met grote nauwkeurigheid te berekenen, waardoor een gedetailleerde vergelijking met experimentele gegevens mogelijk wordt.

Figuur 7: Feynman diagrammen die lussen bevatten, als gevolg van meervoudige deeltjesuitwisselingen. De lussen genereren vaak oneindige uitdrukkingen.

Renormalisatie vereist dat massa’s en koppelingssterkten van deeltjes zeer zorgvuldig worden gedefinieerd. Als alle koppelingsparameters van een theorie een massadimensionaliteit krijgen die nul of positief is, blijft het aantal divergente uitdrukkingen onder controle. Gewoonlijk laat de eis dat de theorie ijkinginvariant blijft gedurende de gehele renormalisatieprocedure geen onduidelijkheid bestaan over de definities. Nochtans, is het niet duidelijk dat de ondubbelzinnige, gauge invariant definities bij allen bestaan, aangeziengauge invariantie voor alle interacties moet houden, terwijl slechts een paarinfinite uitdrukkingen door eindige kunnen worden vervangen.

Het bewijs dat aantoonde hoe en waarom de ondubbelzinnige hernormalizedexpressies kunnen worden verkregen, kon het elegantst worden verkregen door te realiseren dat de gauge theorieën in om het even welk aantal ruimte-tijddimensies kunnen worden geformuleerd. Het was zelfs mogelijk om alle Feynmandiagrammen ondubbelzinnig te definiëren voor theorieën in ruimten met dimensies van \(3-\epsilon,\) waarbij \(\epsilon,\) een oneindig kleine grootheid is. Voor het nemen van de limiet moeten polen van de vorm C_n/epsilon^n worden afgetrokken van de oorspronkelijke, “kale” massa en koppelingsparameters. Het resultaat is een verzameling unieke, eindige en ijkpuntinvariantexpressies. In de praktijk is gebleken dat deze procedure, die dimensionale regularisatie en renormalisatie wordt genoemd, ook handig is voor het uitvoeren van technisch gecompliceerde berekeningen van lusdiagrammen.

Figuur 8: Het diagram waarin een fermionisch deeltje een gesloten driehoek vormt, gekoppeld aan drie ijkdeeltjes, is de belangrijkste bron van anomalieën.

Echter, er is een speciaal geval waarin uitbreiding naar dimensies verschillend van de canonieke onmogelijk is. Dit is het geval wanneer fermionische deeltjes chirale symmetrie vertonen. Chirale symmetrie is asymmetrie die linksdraaiende van rechtsdraaiende deeltjes onderscheidt, en speelt inderdaad een cruciale rol in het Standaard Model. Chirale symmetrie is alleen mogelijk als de ruimte 3 dimensionaal is, en laat dus geen dimensionale renormalisatie toe. Soms kan chiralsymmetrie inderdaad niet worden behouden bij het renormaliseren van de theorie. Er treedt dan een anomalie op, die chiraal anomalie wordt genoemd. Deze werd voor het eerst ontdekt toen een berekening van de vervalamplitude van de chiraal-anomalie antwoorden gaf die niet overeenkwamen met het verwachte symmetriepatroon.

Aangezien de ijksymmetrieën van het Standaard Model onderscheid maken tussen linksdraaiende en rechtsdraaiende deeltjes (in het bijzonder worden alleen linksdraaiende neutrino’s geproduceerd in een zwakke wisselwerking), waren anomalieën een grote zorg. Het is echter zo dat alle afwijkende amplitudes die de ijkinginvariantie in gevaar zouden brengen en de zelfconsistentie van onze vergelijkingen zouden ondermijnen, allemaal opheffen. Dit heeft te maken met het feit dat bepaalde “grote verenigde” uitbreidingen van het Standaard Model gebaseerd zijn op anomalievrije ijkgroepen (zie Hoofdstuk 7).

De anomalie heeft een directe fysische implicatie. Een topologisch verdraaide veldconfiguratie die het instanton wordt genoemd (omdat het een gebeurtenis op een gegeven moment in de tijd vertegenwoordigt), vertegenwoordigt precies de ijkveldconfiguratie waar de anomalie maximaal is. Het veroorzaakt een afwijking van het behoud van sommige ladingen van het ijkpunt. Wanneer er een anomalie is, kan minstens één van de betrokken ladingen geen ijklading zijn, maar moet een lading zijn waaraan geen ijkveld gekoppeld is, zoals baryonlading.In de elektrozwakke theorie veroorzaken instantonen inderdaad de schending van de behoudswetten van baryonen. Men gelooft nu dat dit de onevenwichtigheid tussen materie en antimaterie zou kunnen verklaren, die ontstaan moet zijn tijdens de vroege fasen van het heelal.

7. Standaardmodel

Naast de zwakke kracht, de elektromagnetische kracht en de sterke kracht, is er de gravitatiekracht die op elementaire deeltjes werkt. Andere elementaire krachten zijn niet bekend. Op het niveau van de afzonderlijke deeltjes is de zwaartekracht zo zwak dat zij in de meeste gevallen kan worden genegeerd. Stel nu dat we het SU(2)-timesU(1)-systeem Yang-Mills systeem nemen, samen met het Higgs veld, om elektromagnetisme en de zwakke kracht te beschrijven, en daar de (SU(3)-) Yang-Mills theorie voor de sterke kracht, en we nemen alle bekende elementaire materievelden op, zijnde de quarks en de leptonen, met hun bijbehorende transformatieregels onder een spantransformatie; stel dat we hieraan alle mogelijke manieren toevoegen waarop deze velden kunnen mengen, een eigenschap die experimenteel is waargenomen, en die kan worden verantwoord als een basistype van zelfinteractie van de velden. Dan krijgen we wat het Standaard Model wordt genoemd. Het is één grote maattheorie die letterlijk al ons huidige begrip van de subatomaire deeltjes en hun interacties weergeeft.

Het Standaard Model dankt zijn kracht aan het feit dat het te normaliseren is. Het is onderwerp geweest van talrijke experimenten en waarnemingen. Het heeft al deze tests opmerkelijk goed doorstaan. Een belangrijke wijziging werd onvermijdelijk rond het begin van de jaren negentig: in de leptonische sector dragen ook de neutrino’s een kleine hoeveelheid massa, en hun velden vermengen zich. Dit was niet geheel onverwacht, maar zeer succesvolle neutrinoexperimenten (met name het Japanse Kamiokande-experiment) hadden nu duidelijk gemaakt dat deze effecten werkelijk bestaan. Zij impliceerden in feite een verdere versterking van het Standaardmodel.

Eén ingrediënt is nog niet bevestigd: het Higgsdeeltje.Waarneming van dit object wordt in de nabije toekomst verwacht, met name door de Large Hadron Collider bij CERN in Genève. De eenvoudigste versies van het Standaardmodel vereisen slechts één enkel elektrisch neutraal Higgsdeeltje, maar de “Higgs-sector” zou ingewikkelder kunnen zijn: de Higgs zou veel zwaarder kunnen zijn dan thans wordt verwacht, of er zou meer dan één soort kunnen bestaan, in welk geval ook elektrisch geladencalardeeltjes zouden worden gevonden.

Het Standaardmodel is wiskundig gezien niet volmaakt.Bij extreem hoge energieën (energieën veel hoger dan wat thans in de deeltjesversnellers kan worden bereikt), wordt de theorie onnatuurlijk. In de praktijk betekent dit dat wij niet meer geloven dat alles precies zo zal verlopen als de theorie voorschrijft; nieuwe verschijnselen zijn te verwachten. Het meest populaire scenario is het ontstaan van een nieuwe symmetrie, supersymmetrie genaamd, een symmetrie die bosonen relateert aan fermionen (deeltjes zoals elektronen en quarks, die Dirac-velden nodig hebben voor hun beschrijving).

8. Grand Unified Theories

Het ligt voor de hand te vermoeden dat de elektrozwakke krachten en de sterke krachten ook door ijkpuntrotaties met elkaar verbonden moeten zijn. Dit zou betekenen dat alle krachten tussen de subatomaire deeltjes in feite verbonden zijn door ijkingstransformaties. Er is geen direct bewijs hiervoor, maar er zijn verschillende omstandigheden die in deze richting lijken te wijzen. In de huidige versie van het Standaard Model zijn de (SU(3)-) Yang-Mills velden, die de sterke kracht beschrijven, inderdaad zeer grote koppelingssterktes, terwijl de U(1)-sector, die de elektrische (en een deel van de zwakke) sector beschrijft, een kleine koppelingssterkte heeft. Men kan nu de wiskunde van de renormalisatie gebruiken, in het bijzonder de zogenaamde renormalisatiegroep, om de effectieve sterktes van deze krachten bij veel hogere energieën te berekenen. Men vindt dat de SU(3)-krachten in sterkte afnemen, als gevolg van asymptotische vrijheid, maar dat de U(1)-krachten in sterkte toenemen. De SU(2)-kracht varieert langzamer. Bij extreem hoge energieën, die overeenkomen met ultrakorte afstandsschalen, rond 10-32 cm, lijken de drie koppelingssterktes elkaar te naderen, alsof dat de plaats is waar de krachten zich verenigen.

Het bleek dat SU(2)keer U(1)en en SU(3)mooi passen in een groep die SU(5)heet. Ze vormen inderdaad een subgroep van SU(5)\. Men kan dan aannemen dat een Brout-Englert-Higgs mechanisme deze groep afbreekt tot een SU(2)imes U(1)imes SU(3)ionsubgroep. Men verkrijgt dan een zogenaamde Grote Geünificeerde Veldtheorie. In deze theorie gaat men uit van drie generaties offermionen, die elk op dezelfde manier transformeren onder SU(5)-transformaties (wiskundig vormen ze een 10- en een 5-representatie). De SU(5)-theorie voorspelt echter dat het proton zeer langzaam in leptonen en pionen uiteenvalt. Er is naar dit verval gezocht, maar het is niet gevonden. Ook is het in dit model niet eenvoudig om de neutrino massa en zijn mengsels te verklaren. Er is een betere theorie gevonden waarin SU(5) is uitgebreid tot SO(10).\De SU(5)- en de SU(5)-representaties, samen met een enkel rechtshandig neutrino veld, worden samengevoegd tot een SO(10)-representatie van 16 neutrino’s (één voor elk van de drie generaties).Dit grote verenigde model plaatst de neutrino’s op hetzelfde niveau als de geladen leptonen. Vaak wordt het uitgebreid tot een supersymmetrische versie.

9. Slotopmerkingen

Elke ijktheorie wordt als volgt opgebouwd. Kies eerst de ijkgroep. Dit kan het directe product zijn van een willekeurig aantal onherleidbare compacte Lie-groepen, hetzij van de reeks SU(N)of SO(N)of Sp(2N)of van de uitzonderingsgroepen G_2,F_4,E_6, E_7,of E_8.\Kies dan fermionische (spin 1/2) en scalaire (spin 0) velden die representaties zijn van deze lokale ijkgroep. De linker heliciteits- en rechter heliciteitscomponenten van de fermionische velden mogen indifferente representaties zijn, mits de anomalieën opheffen.Naast de lokale ijkgroep mogen we ook exacte en/of benaderde globale symmetrieën opleggen. Tenslotte kiezen we massatermen en interactietermen in de Lagrangiaan, beschreven door vrij instelbare koppelingsparameters. Er zal slechts een eindig aantal van dergelijke parameters zijn, op voorwaarde dat alle interacties worden gekozen om van het renormalizabletype te zijn (dit kan nu gemakkelijk van de Lagrangiaan van de theorie worden afgelezen).

Er zijn oneindig veel manieren om ijkingstheorieën langs de lijnen te construeren. Nochtans, schijnt het dat de modellen die het nuttigst zijn om waargenomen elementaire deeltjes te beschrijven, de vrij eenvoudige zijn, gebaseerd op vrij elementaire wiskundige groepen en representaties. Men kan zich afvragen waarom de natuur zo eenvoudig schijnt te zijn en of dat zo zal blijven wanneer nieuwe deeltjes en interacties worden ontdekt. Het is denkbaar dat uitgebreidere ijkingstheorieën nodig zullen zijn om interacties te beschrijven bij energieën die vandaag de dag nog niet haalbaar zijn in deeltjesversnellers.

Verwante onderwerpen zijn Supersymmetrie en Superstringtheorie. Het zijn nieuwere ideeën over deeltjesstructuur en deeltjes symmetrieën, waarbij ijking invariantie ook een zeer basale rol speelt.

  • Yang, C N and Mills, R L (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96: 191-195.
  • Higgs, P W (1964). Gebroken symmetrieën, massaloze deeltjes en ijkvelden. Phys. Lett. 12: 132.
  • Higgs, P W (1964). Gebroken Symmetrieën en de Massa’s van Gauge Bosons. Phys. Rev. Lett. 13: 508.
  • Higgs, P W (1966). Spontane Symmetrie-Uitval zonder Massaloze Bosonen. Phys. Rev. 145: 1156.
  • Englert, F en Brout, R (1964). Gebroken Symmetrie en de Massa van Gauge Vector Mesonen. Phys. Rev. Lett. 13: 321.
  • Weinberg, S (1967). Een Model van Leptonen. Phys. Rev. Lett. 19: 1264.
  • Faddeev, L D and Popov, V N (1967). Feynman diagrammen voor het Yang-Mills veld. Phys. Lett. 25B: 29.
  • ’t Hooft, G (1971). Renormalisatie van massaloze Yang-Mills velden. Nucl. Phys. B33: 173.
  • ’t Hooft, G (1971). Hernormaliseerbare Lagrangianen voor massieve Yang-Mills velden. Nucl. Phys. B35: 167.
  • Taylor, J C (1971). Ward identiteiten en lading-renormalisatie van het Yang-Mills veld. Nucl. Phys. B33: 436.
  • Slavnov, A (1972). Ward identiteiten in gauge theorieën Theor. Math. Phys. 10: 153.
  • ’t Hooft, G en Veltman, M (1972). Regularisatie en renormalisatie van ijkvelden. Nucl. Phys. B44: 189.
  • Adler, S L (1969). Axial-Vector Vertex in Spinor Electrodynamics Phys. Rev. 177: 2426.
  • Bell, J S en Jackiw, R (1969). Een PCAC-puzzel: π0→γγ in het σ-model Nuovo Cim. 60A: 47.
  • Adler, S L and Bardeen, W A (1969). Absence of Higher-Order Corrections in the Anomalous Axial-Vector Divergence Equation. Phys. Rev. 182: 1517.
  • Bardeen, W A (1969). Anomalous Ward Identities in Spinor Field Theories. Phys. Rev. 184: 1848.
  • Fritzsch, H; Gell-Mann , M en Leutwyler, H (1973). Voordelen van het kleurenoctet gluonbeeld Phys. Lett. 47B: 365.
  • De Rujula, A; Georgi, H; Glashow, S L en Quinn, H (1974). Feit en fantasie in de neutrino-fysica. Rev. Mod. Phys. 46: 391.

Verdere lectuur

  • Crease, R P and Mann, C C (1986). De tweede schepping: makers van de revolutie in de twintigste-eeuwse natuurkunde, Macmillan, New York. ISBN 0-02-521440-3.
  • ’t Hooft, G (1997). Op zoek naar de ultieme bouwstenen (Engelse vertaling van: “Bouwstenen van de Schepping”) Cambridge Univ. Press, Cambridge. ISBN 0521550831.
  • ’t Hooft, G (1994). In de ban van het ijkbeginsel. Advanced Series in Mathematical Physics 19. World Scientific, Singapore. ISBN 9810213093.
  • ’t Hooft, G (2005). 50 jaar Yang-Mills theorie World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-256-007-0.
  • de Wit, B en Smith, J (1986). Veldentheorie in de deeltjesfysica Noord-Holland, Amsterdam. ISBN 0444869999.
  • Aitchison, I J R and Hey, A J G (1989). Gauge Theories in Particle Physics, a practical introduction Adam Hilger, Bristol and Philadelphia. ISBN 0-85274-329-7.
  • Itzykson, C and Zuber, J B (2006). Quantumveldentheorie Dover Publications, New York. ISBN 0486445682.
  • Ryder, L H (1997). Quantum Field Theory Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521478146.

Zie ook

Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetrie, Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanisme, Gauge invariantie, Slavnov-Taylor identiteiten, Zinn-Justin vergelijking

  • http://www.phys.uu.nl/~thooft/

Gesponsord door: Dr. Riccardo Guida, Institut de Physique Théorique, CEA & CNRS, Gif-sur-Yvette, Frankrijk

Beoordeeld door: Anoniem

Accepted on: 2008-12-19 11:47:18 GMT

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.