Dit is een korte inleiding tot de Galoistheorie. Het niveau van dit artikel is noodzakelijkerwijs vrij hoog in vergelijking met sommige NRICH-artikelen, omdat Galois-theorie een zeer moeilijk onderwerp is dat gewoonlijk pas in het laatste jaar van een universitaire graad in de wiskunde wordt geïntroduceerd. Dit artikel schetst slechts de oppervlakte van de Galoistheorie en zou waarschijnlijk toegankelijk moeten zijn voor een 17- of 18-jarige scholier met een sterke belangstelling voor wiskunde. Er is een kort en zeer vaag overzicht van een tweetal belangrijke toepassingen van de Galoistheorie in de inleiding hieronder. Als je meer wilt weten over Galois theorie is de rest van het artikel meer diepgaand, maar ook moeilijker.
De twee belangrijkste dingen om te weten om het diepgaande deel van het artikel te begrijpen zijn complexe getallen en groepentheorie. Als je nog niet eerder met complexe getallen in aanraking bent gekomen, kun je An Introduction to Complex Numbers lezen, dat toegankelijk zou moeten zijn voor leerlingen van 15 of 16 jaar oud. Als je nog niet eerder met groepentheorie in aanraking bent gekomen, maak je dan geen zorgen. Ik introduceer het idee van een groep hieronder, hoewel het misschien beter is om te proberen een boek of website te vinden die meer in detail gaat.
1.1 Motivatie
Galois theorie is een zeer groot onderwerp, en totdat je behoorlijk ondergedompeld bent in wiskundige studie op een manier die ongebruikelijk is tenzij je studeert voor een graad in de wiskunde, kan het nogal zinloos lijken. Er zijn echter twee problemen die een motivatie vormen voor het bestuderen van de Galoistheorie – het bestaan van veeltermen die niet oplosbaar zijn door radikalen, en enkele resultaten van de klassieke Euclidische meetkunde, bijvoorbeeld dat je een hoek niet kunt trisecteren met passer en liniaal, en dat bepaalde regelmatige veelhoeken niet kunnen worden geconstrueerd met passer en liniaal.
Definitie Wanneer we de oplossingen van een veelterm met rationale coëfficiënten kunnen vinden met alleen rationale getallen en de bewerkingen optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen en n-de wortels vinden, zeggen we dat $p(x)$ oplosbaar is met radikalen.
1.2 Geschiedenis
Waarom heet de Galoistheorie dan Galoistheorie? Het antwoord is dat ze genoemd is naar een Franse wiskundige Evariste Galois (1811-1832) die zeer belangrijk werk op dit gebied verrichtte. Hij had een zeer dramatisch en moeilijk leven en slaagde er niet in veel van zijn werk erkend te krijgen omdat hij grote moeite had zich duidelijk uit te drukken. Zo werd hij niet toegelaten tot de belangrijkste universiteit van Parijs, de Ecole Polytechnique, en moest hij zich tevreden stellen met de Ecole Normale. Hij ondervond ook moeilijkheden omwille van zijn politieke sympathieën, hij was republikein. Dit leidde ertoe dat hij uit de Ecole Normale werd gezet toen hij in een brief aan een krant kritiek schreef op de directeur van de school. Hij sloot zich aan bij een republikeinse afdeling van de militie en werd later (twee keer) gevangen gezet vanwege zijn lidmaatschap. De tweede keer in de gevangenis werd hij verliefd op de dochter van de gevangenisarts, Stephanie-Felice du Motel en na zijn vrijlating stierf hij in een duel met Perscheux d’Herbinville. De redenen voor het duel zijn niet helemaal duidelijk, maar het lijkt waarschijnlijk dat het iets te maken had met Stephanie. Zijn dood bracht republikeinse rellen en rally’s op gang die verscheidene dagen duurden.
Hoewel Galois vaak wordt gecrediteerd voor het uitvinden van de groepentheorie en de Galois theorie, lijkt het erop dat een Italiaanse wiskundige Paolo Ruffini (1765-1822) met veel van de ideeën op de proppen is gekomen. Helaas werden zijn ideeën niet serieus genomen door de rest van de wiskundige gemeenschap in die tijd. Aan het eind van dit document staan enkele links voor wie meer wil weten over de geschiedenis van de groepentheorie en de Galois-theorie.
1.3 Overzicht
De manier waarop het bovenstaande resultaat over oplosbaarheid door radicalen wordt bewezen (met behulp van de Galois-theorie) is een resultaat te bewijzen over de verzameling symmetrieën onder de wortels van een polynoom, gegeven dat de wortels zijn opgebouwd met alleen de speciale operaties hierboven. (Het blijkt dat de verzameling symmetrieën een zogenaamde oplosbare groep moet vormen. Meer hierover aan het eind van dit artikel). Dan vind je een veelterm waarvoor de symmetrieën van de wortels deze speciale eigenschap niet hebben, zodat je weet dat de wortels niet kunnen worden opgebouwd uit de speciale bewerkingen.
Het onderwerp van de rest van dit artikel is het nauwkeurig maken van wat we bedoelen met een symmetrie van de wortels en over de structuur van de verzameling van deze symmetrieën.
1.4 Notatie
1.5 Adviezen voor het lezen van dit artikel
De rest van dit artikel is vrij moeilijk. Een groot aantal nieuwe ideeën wordt geïntroduceerd en steeds weer opnieuw gebruikt, en er zijn veel onbekende woorden. Tegen het einde van het artikel gebruik ik zinnen als $Q$ is een radicale veldextensie van $Q$ omdat het kan worden opgebouwd met alleen cyclotomische veldextensies in elke fase. Laat u niet afschrikken door deze schijnbaar vreemde taal, elk woord wordt uitgelegd terwijl het wordt geïntroduceerd. De beste strategie om het te lezen is langzaam te gaan en ervoor te zorgen dat u precies begrijpt wat elk woord betekent voordat u naar de volgende sectie gaat, want dat woord zal steeds opnieuw worden gebruikt, en als u het niet helemaal begrijpt dan zal alles alleen maar meer verwarrend worden naarmate u verder leest. Als je dit echter online leest, kan je gewoon klikken op een van de onderstreepte woorden en de oorspronkelijke definitie verschijnt in een klein venster.
2 Groepen en Velden
Op dit punt wil je misschien controleren of je het tot nu toe gevolgd hebt. Kijk of je kunt bewijzen dat $S_n$ een groep is en dat die $n!$ elementen heeft. Als je tevreden bent met het idee van verzamelingen en functies, dan kun je bewijzen dat $S_X$ een groep is, zelfs als $X$ een oneindige verzameling is.
2.2 Velden
2.3 Veldextensies
Definitie (Veldextensie):
Een veldextensie van een veld $F$ is een veld $K$ dat $F$ bevat (we schrijven een veldextensie als $F\subseteq K$ of $K/F$). Zo zijn de reële getallen een veldextensie van de rationale getallen, want de realen zijn een veld en elk rationaal getal is ook een reëel getal.
2.4 Splitsen van velden
Hier begint de Galois-theorie.
Een ander voorbeeld is dat het splitveld van $p(x)=x^4-5x^2+6$ $Q$ is.
3 Automorfismen en Galoisgroepen
U kunt nagaan dat voor de functie $f$ hierboven echt aan alle voorwaarden wordt voldaan.
Het idee van een veld-automorfisme is dat het gewoon een manier is om de elementen van het veld een andere naam te geven zonder de structuur te veranderen. Met andere woorden, we kunnen het symbool $\sqrt{2}$ vervangen door het symbool $-\sqrt{2}$, al onze berekeningen doen en dan het symbool $-\sqrt{2}$ terug veranderen in $-\sqrt{2}$ en we krijgen het juiste antwoord. Veldautomorfismen zijn de juiste manier om dit idee uit te drukken, want de voorwaarden dat $f(x+y)=f(x)+f(y)$ behouden de vermenigvuldiging, optelling enzovoort.
3.2 De Galoisgroep
4 Oplosbaarheid door Radikalen
Verder ingaan op de Galoisleer zou helaas te ingewikkeld zijn. Ik schets de rest van het bewijs voor het bestaan van veeltermen die niet oplosbaar zijn door radicalen.
5 Trisecteren van hoeken
Zoals ik hierboven al zei, kun je de Galois-theorie gebruiken om aan te tonen dat het onmogelijk is om alle hoeken te trisecteren met passer en liniaal methoden. Ik zal een bewijs geven dat je een hoek van $20^{\circ}$ niet met passer en liniaal kunt construeren (en dus ook geen hoek van $60^{\circ}$ kunt trisecteren).
Het ligt niet voor de hand dat elk construeerbaar getal in een velduitbreiding van deze vorm moet liggen, maar we kunnen wel enigszins zien waarom, want gegeven lijnstukken met lengte $x$, $y$, is het mogelijk om met meetkundige constructies andere lijnstukken met lengte $x+y$, $x y$ en $1/x$ te construeren. Bovendien kan men met meetkundige constructies een lijnstuk construeren met de lengte $1/x$. In feite kun je ook aantonen dat dit de enige dingen zijn die je met meetkundige constructies kunt doen. (Als je het wilt proberen, kun je dit bewijzen door gebruik te maken van het feit dat je met ongemarkeerde linialen en passers alleen maar het snijpunt tussen twee lijnen kunt vinden, wat alleen maar rekenkundige bewerkingen oplevert, het snijpunt tussen een lijn en een cirkel kunt vinden, wat vierkantswortels oplevert, en snijpunten tussen cirkels en cirkels, wat vierkantswortels oplevert). Zie je waarom dit betekent dat een getal in een construeerbare veldextensie (zoals hierboven gedefinieerd) alleen geconstrueerd kan worden met een ongemarkeerde liniaal en passer, en dat alleen getallen in construeerbare veldextensies op deze manier gemaakt kunnen worden?
Verder laat je zien dat als je een kubische veelterm $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ hebt waarvan de wortels geen rationale getallen zijn, de wortels dan niet construeerbaar zijn. Dit is niet erg moeilijk te bewijzen, maar vereist enige kennis die verder gaat dan wat ik voor dit artikel aanneem.
Hier volgt het slimme gedeelte. Stel dat je een hoek van $20^{\circ}$ zou kunnen construeren, dan zou het getal $20^{\circ})$ construeerbaar zijn (je kunt gewoon een loodlijn laten vallen vanuit een punt op een lijn op $20^{\circ}$ naar de horizontaal, afstand $1$ van de oorsprong). Je kunt echter laten zien dat $\alpha=$cos(20^{\circ})$ een wortel is van de vergelijking $8x^3-6x-1=0$ (door $\cos(60^{\circ})$ uit te breiden in termen van $\cos(20^{\circ})$ met behulp van de optelformule). Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit geen rationale wortels heeft, en dat de wortels dus niet construeerbaar zijn. Dit betekent dat we geen hoek van $20^{\circ}$ hadden kunnen construeren, want dan zouden we $20^{\circ}})$ kunnen construeren, wat onmogelijk is. Dus een hoek van $60^{\circ}$ kan niet in drieën gedeeld worden.
Zulke methoden kun je ook gebruiken om andere resultaten te bewijzen over welke vormen wel of niet geconstrueerd kunnen worden enzovoort.
6 Verder lezen