Deze tekst presenteert een inleiding in de differentiaalmeetkunde voor wis- en natuurkundestudenten op graduaatniveau. De uiteenzetting volgt de historische ontwikkeling van de begrippen verbinding en kromming met als doel de Chern-Weil theorie van karakteristieke klassen op een hoofdbundel te verklaren. Onderweg komen we enkele hoogtepunten uit de geschiedenis van de differentiaalmeetkunde tegen, bijvoorbeeld het Egregium-theorema van Gauss en de stelling van Gauss-Bonnet. Oefeningen doorheen het boek testen het begrip van de lezer van de stof en illustreren soms uitbreidingen van de theorie. Aanvankelijk moet de lezer onder meer een zekere vertrouwdheid met manifolds hebben. Na het eerste hoofdstuk wordt het noodzakelijk om differentiaalvormen te begrijpen en te manipuleren. Kennis van de Rham cohomologie is vereist voor het laatste derde deel van de tekst.

Voorbehouden stof is vervat in de tekst van de auteur An Introduction to Manifolds, en kan in één semester worden geleerd. Ten behoeve van de lezer en om gemeenschappelijke notaties vast te stellen, worden in Appendix A de grondbeginselen van de theorie van manifolds in herinnering gebracht. Bovendien, in een poging om de uiteenzetting meer self-contained, secties over algebraïsche constructies, zoals de tensor product en de uitwendige macht zijn opgenomen.

Differentiaalmeetkunde, zoals de naam al aangeeft, is de studie van de meetkunde met behulp van differentiaalrekening. Zij gaat terug tot Newton en Leibniz in de zeventiende eeuw, maar het was pas in de negentiende eeuw, met het werk van Gauss op oppervlakken en Riemann op de krommingstensor, dat de differentiaalmeetkunde tot bloei kwam en de moderne basis werd gelegd. In de afgelopen honderd jaar is differentiaalmeetkunde onmisbaar gebleken voor het begrip van de fysische wereld, in Einsteins algemene relativiteitstheorie, in de gravitatietheorie, in de ijklijntheorie, en nu in de snaartheorie. Differentiaalmeetkunde is ook nuttig in topologie, meerdere complexe variabelen, algebraïsche meetkunde, complexe manifolds, en dynamische systemen, onder andere gebieden. Het gebied heeft zelfs toepassingen gevonden in de groepentheorie zoals in het werk van Gromov en in de waarschijnlijkheidsrekening zoals in het werk van Diaconis. Het is niet te ver gezocht om te stellen dat differentiaalmeetkunde in het arsenaal van elke wiskundige zou moeten zitten.