Introduction

Preparing an object, making a measurement on it and registering the result is a simplified picture of a physical experiment on the object.これは、物体を用意し、その上で測定を行い、その結果を登録するというものです。 同じ手順を何回か繰り返すと、登録された結果の統計（相対頻度）を集めることができる。 統計的因果関係の考え方は、この統計が、測定と準備に依存した確率測度で近似的にモデル化できると考えたものである。

この単純な図式は、状態（準備の同値類）と観測値（測定の同値類）の概念の間の統計的二元論に基づいて、物体に関する確率論的物理理論を策定する際の直観的背景として与えられることが多く、この二元論は、それぞれの状態とそれぞれの観測値に、その状態におけるこの観測値に対する測定結果の確率を出す確率尺度を割り当てる、確率関数によって与えられている。

公理的アプローチでは、考えられるすべての状態（準備）と観測値（測定）の集合に対して、確率関数の形式を決定することができるような物理的にもっともらしい構造を導入することを目指す。 第2章では、一般的な枠組みと関連するヒルベルト空間の構造について簡単に説明する。 3では、Solérの定理を用いて、一般的な直交モジュラー構造をヒルベルト的なものと同定する。 この重要な定理に隠された対称性の役割が明らかにされる。 最後に、量子力学が複素ヒルベルト空間で定式化されることを示すいくつかの議論を概観する（§4）。

基本構造

(a) 出発点

SとOを二つの空でない集合、研究対象の物理システムのすべての状態とすべての観測値の集合とする。 観測量は空でない集合ΩとΩの部分集合のシグマ代数と一緒になる。 、または単にEを観測量と呼ぶことにする。 セットΩは観測可能な測定結果を記述するものとし、一方、σ-代数の要素は結果のグループがカウントされるテストセットとして理解される。 ほとんどの応用では、この集合は実線（または平面）の部分集合（開いているか閉じているか）であり、σ-代数は対応するボレル集合である。

ここで続くアプローチの基本的な前提は、各状態α∈Sと各観測量Eに対して、状態αにおける観測量Eの測定結果確率を与える確率尺度が存在するとすることである。

状態の集合Sは当然凸構造を持ち、実ベクトル空間の凸部分集合と見なすことができる。 この構造により、Sの極値要素である純粋状態とその非極値要素である混合状態を区別することができる。 ここでは、ex(S)を純粋状態の集合とするが、はじめは空でもよい。 α=λβ1+(1-λ)β2 が状態β1,β2の混合で、重み0≦λ≦1であれば、Sの凸構造の定義により、各観測量Eと値集合に対してp（α，E，X）=λp（β1，E，X）+（1-λ）p（β2，E，X）である。 したがって、各対(E,X)はアフィン関数Sα↦p(α,E,X)∈ を定義している。 ある対 (E,X) に対して f(α)=p(α,E,X) ならば、アフィン関数 f:S→ は実験関数、または効果であると言う。 ここで、E⊂Sをすべての実験関数の集合とする。 明らかに0,1∈Eであり、f∈Eであれば、f⊥=1-f∈Eでもある。 関数の自然順序S→はEに普遍境界0,1を持つ部分順序集合の構造を与え、写像f↦f⊥はインボリュート反同型となる。 明らかに、Eは（≦に関して）格子である必要はなく、写像f↦f⊥は直交補題である必要はない。 また、α(f)=f(α)と書いて、E上の関数として状態を考えることもある。

理論の公理を作る上で、状態と実験関数のペア(S,E)は、状態と観測値のペアより扱いやすいことがわかった。 また、各f⊥∈Eは、f⊥∈Eとともに、イエス・ノーの測定値（または2値の観測値）として理解でき、f（α）＝p（α，E，X）、f⊥（α）＝p（α，E，X）はそれぞれ、イエスとノーの結果に対する確率を与えることに注意されたい。

(b) Hilbert space case

一般的な構造に進む前に、Hilbert spaceにおける量子力学のよく知られた点をいくつか思い出してみましょう。 状態の集合Sは、複素分離可能なHilbert空間上の正トレース1作用素の集合と同定できると仮定する。 すると、各実験関数fは自己共役トレースクラスである上の正の線形関数に拡張される。 したがって、任意のfに対して、すべてのα∈Sに対してf(α)=trとなるような唯一の正単位有界演算子0≦E≦Iが存在することになる。 f(α)=p(α,E,X)=trとなる組を(E,X)とする。 任意のαについて、写像X↦p(α,E,X)は確率測度であるので、観測可能なEは正規化正演算子測度と結論付けられる。 ここで、全ての実験関数の集合Eは、上の正単位有界演算子である効果演算子の集合全体と一致すると考えるのは自然である。

次に実験関数の集合Eがの射影格子と一致すると想定している。 この場合、どの状態も上の確率測度と見なすことができる。 グリーソンの定理により、 上の任意の確率測度が一意の正のトレース1オペレータから生じると、再び確率のトレース公式が得られる：任意のに対して、P（α）=α（P）=tr、ここで状態αはグリーソン定理で与えられるの要素と同一視されている。 このアプローチでは、状態の集合Sは上のすべての確率測度の集合と一致し、したがってと一致するので、観測量は正規化射影値測度と識別できるとするのは自然なことである。

また、実験関数のセットEが効果演算子のセット全体と同定されるという仮定から始めることもできます。 そうすると、やはりその部分集合に限定した場合のどの状態もの要素と同定でき、その確率を与えるトレース式が得られることになります。

最後に、で、任意の状態α:E→が順序とインボリューションを保存するだけでなく、部分加法（すなわち、すべてのに対して、ならばα（A＋B）=α（A）＋α（B））、次の連続性の特性を持つことが想定されます。 (Ai)i∈Iがの漸化式であれば、の漸化式となる。 そうすると、やはりグリーソンの定理を使わずに、各状態αはの一意な要素と同定でき、α（E）=tr.

(c) Orthomodular case

(i) General structure

Statistical duality (S,E) に基づく公理系アプローチでは、準備と計測の可能性について物理的にもっともな仮定を提起する戦略である。 マッキー・アプローチ（量子論理）とデイヴィス・ルイス・アプローチ（凸性）の両方がこの共通の背景を共有している。

準備に関しては、典型的な仮定は、例えば、このセットが実験関数の順序を決定するのに十分大きいという意味で、純粋状態（最大情報の状態）の十分に大きなセットの存在に関係している。 もう一つの一般的な仮定は、純粋な状態は準備されるだけでなく、適切なイエス・ノー測定によって識別されることである。 この仮定は、すでに二元性を超えて、状態と実験関数、イエス-ノー測定の集合を絡めている。 また、集合Eの構造に関する更なる仮定は、典型的には、理想的な、第一種かつ再現可能な測定として適格なイエス-ノー測定の十分に大きな部分集合L⊂Eの存在に対する要求として表現される。

マッキーとデイビス&ルイスの先駆的な仕事以来、上記のタイプの議論は文献において広範囲に研究されてきた。

• (a) 命題またはシャープ効果と呼ばれる効果の部分集合L=(L,≤,⊥,0,1)が存在し、それは普遍境界0と1を持つ部分順序、直補、直母、完全格子の構造を持ち、アトミスティック、分離可能、被覆特性を持っており既約物質である。

• (b) 状態の集合Sは、L上の確率測度のσ凸集合と見ることができ、純粋状態の十分集合ex(S)：任意のa，b∈Lに対してα（a）≦α（b）ならばすべてのα∈ex（S）を持つ。

• (c) Sの純粋状態である集合ex(S)とLの原子であるAt(L)の間には、支持射影α↦s（α）、ただしs（α）はα（b）＝1，b∈Lの最小の要素によって与えられる両対称の対応が存在しています。

ここでは、分離可能性と既約性の2つの、おそらく最も技術的に見える性質についてだけコメントします。 Lの分離可能性は、Lの任意のブール部分σ-algebraが実数値空間を持つ観測値の範囲と見なすことができることを意味します。 Lの既約性は、(S,E)の双対性が適切な量子対象を記述していることを示します。 実際、この性質は、例えば、任意の2つの純粋状態α,β∈ex(S), α≠β に対して、それらの重ね合わせである第3の状態 α≠γ≠β が存在するという仮定から導かれる（e.g.

写像⊥は、Lに限定すると、確かに直補であり、Lを直交モジュラーに変える、すなわち、任意のa,b∈Lに対して、a≦bならば、b=a∧⊥b∨である。 aとbは、a≦b⊥のとき、a⊥bと相互に直交していると言うことを思い出す。 Prob(L)はL上のすべての確率測度の集合、すなわち、任意の対直交要素列ai∈Lに対してが成り立つすべての写像μ：L→を表すと定義することができる。 (b)により、状態の集合SはProb(L)のシグマ凸部分集合であり、(c)により、純粋状態はLの原子と1対1オン対応する。明らかではあるが、状態の集合はL上のすべての確率測度の固有部分集合であってもよいことを強調する。

上記(a)の性質を有する命題の集合Lはベクトル空間座標化を認めることが分かっている。

(ii)正則空間実現

(V,K,*,f)をエルミート空間、すなわちVを分割環K上の（左）ベクトル空間であるとする。 写像K∋λ↦λ*∈K はインボリュート反同型で、写像V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K は（非特異）エルミート形式です。

部分空間M⊂VはM=M⊥⊥のときf-closedといい、

Vのすべてのf-closed部分空間の集合Lf（V）は部分集合内包⊆と写像M↦M⊥に関して既約完全直補格子を形成しています。 また、原子論的であり、被覆の性質を持っている。 有限次元部分空間をすべて含み、1次元部分空間 ={λv | λ∈K},v≠0, が Lf(V) のアトムである。 格子Lf(V)は空間(V,K,*,f)が正則であるとき正確に正則であることが知られている；すなわち、任意のM∈Lf(V),

に対して、逆符号は射影幾何学の基礎的な結果を集めたものである。 詳しい証明はバラダラヤンや前田 & 前田 の本に載っている。 この結果は、格子Lの長さ、つまりLの最大鎖の長さが少なくとも4であること、つまりベクトル空間Vが少なくとも3次元であることを前提としている。

定理2.1

の長さが少なくとも4ならば、Vのf閉じた部分空間の格子が、つまりと正同型になる直交空間 (V,K,*,f) が存在することになる。

ここで、状態の集合Sは、Lf（V）上のすべての確率測度の部分集合、すなわちS⊂Prob（Lf（V））として識別することができ、各α∈Sはその支持s（α）∈Lf（V）を持ち、各M（Lf（V）はあるα∈Sの支持となる。 また、純粋状態α∈ex(S)は原子∈Lf(V)と一対一対応であり、原子上の値、すなわち数α()∈によって一意に決定される。 明らかに、(V,K,*,f)が古典的な正則空間であるならば は、 上のヒルベルト空間であり、fは内積で、グリーソンの定理

により、任意の v∈,v≠0,u′∈,u≠0 について、です。 この場合、Lf（V）上のすべての確率測度の集合Prob（Lf（V））は、今であるから、対象の状態の集合Sと一致する。

ペア（S，L）、L⊂Eに関する上記の一般構造は、正則ベクトル空間VがLf（V）上の確率測度の豊富なセットを認めなければならないということを示唆している。 有限次元の場合、これだけではヒルベルト空間にはならない。 実際、, , で、同一写像をインボリューションとして考えると は orthomodular space であることがわかる。 集合はのすべての部分空間の集合で、それぞれに対して上式は上の確率測度を定義している。 が上のこうしたすべての確率測度のσ-凸包を示すとすると、の組はがヒルベルト空間ではないのに上記項目（a）〜（c）で挙げたすべての特性を共有していることになる。 この場合、はの固有部分集合になる。 (詳しくは を参照) また、ヒルベルト空間ではないが、確率測度の豊富な集合を認める無限次元直交空間も存在する。

Solérの定理は、無限次元の直交モジュラ空間のうち、少なくとも部分的には運用上の正当化が可能な性質を持つヒルベルト空間を特徴づけている。

Theorem of Solér and symmetry

(a) Solér’s theorem

再び§2c(i)の性質(a)-(c)を持つ統計双対(S，E)を考えてみよう。 Lの分離可能性により、Lにおける任意の相互に直交する要素族は最大でも可算的に無限である。 このような可算無限列が存在すると仮定するのは自然なことで、例えば、考察する物理的対象がユークリッド空間に局在できる最も自然な場合、この条件が保証される。 この場合、Lに付随する直交空間 (V,K,*,f) は無限次元であり、直交するベクトル (ei) ⊂V の無限列が少なくとも一つ存在することになる。 このような直交空間のうちヒルベルト空間を特徴づけるのがソレールの定理である。

定理3.1

(V,K,*,f)を無限次元直交空間とする。 という性質を持つ無限直交列があれば、

3.1

とすると、Kは（実数）、（複素数）または（四元数）、 (V,K,*,f) はそれに対応するヒルベルト空間となる。ではインボリューション*は恒等写像、では複素共役、では四元数共役となる。

追加の「ノルム条件」(3.1)は一見何の変哲もないように見えますが、実はケラーの仕事から理解できるように、非常に強い条件なのです 。 この性質は形式fで表現され、双対性の性質とは直接関係しませんが、対称性の理論を通じて双対性と関係があります。

(b) Symmetry

量子力学における対称性の概念の自然な定式化がいくつかあり、それらはすべて同等であることが判明しました（例えば、）。 これは§2c(i)の(a)〜(c)の性質を持つ統計的双対性にも有効である。 定理3.1の文脈で対称性の理論を適用する観点から、対称性の概念について以下の定義を採用する：対称性とは、任意のp,q∈At(L)に対して、その像ℓ(p)とℓ(q)がそうである場合にのみ、原子pとqが相互に直交する、双対写像 ℓ:At(L)→At(L) である。 Lf(V)において、原子と原子が直交するのは、あるベクトルv′∈、u′∈に対してf(v′,u′)=0、つまりすべての非ゼロベクトルv′∈、u′∈のときです。 アトムと純粋状態は一対一の対応関係にあるので、純粋状態の相互直交性は純粋状態の支持体である対応するアトムの相互直交性を意味すると理解して、対称性をex(S)上の双射として同様に考えることができる。

ヒルベルト空間論と同様に、任意の対称ℓは基底ベクトル空間Vに作用するマップSによって実装することが可能である。 実際、対称性 ℓ:At(L)→At(L) を (V,K,*,f) の射影性、つまり V のすべての部分空間の格子上の順序保存双射に拡張すると（例えば）、射影幾何学の第一基本表現定理とバーコフ・ヴォン・ノイマンの定理の無限次元版と共に次の結果が得られます。

定理3.2

任意の対称に対して、任意のv∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈} となる直交保存的g線形写像S：V →Vが存在する。 Tが同じ対称性をもたらす別の双射的h線形写像V →Vである場合、任意のv∈Vに対してSv=λTvとなるようなλ∈Kが存在する。 さらに、すべてのu,v∈Vに対して、ρ∈Cent(K), ρ≠0, that

が存在する。

g-linear map S:V →Vという概念は、SがV上でadditiveであり、g:K→Kがisomorphismで、すべての∈V,λ∈K.

に対してS（λv）=g（λ）Svを意味することを想起してください。 このとき、

のような0でないベクトルx′∈とy′∈があれば、原子を入れ替える対称性ℓが存在し、, つまり、ℓ()=とℓ()=の重ね合わせを固定点とし、ℓ()=となるような原子≦∨が存在するのです。

で証明されたこのレンマは、§2c(i)の(a)〜(c)の性質を持つ統計的双対性(S,E)がヒルベルト空間実現を持つためには、対称性の集合が十分に豊かでなければならないことを示唆しています。 Lの既約性の背後にある純粋状態の重ね合わせの概念が、このレンマで役割を果たしていることは強調に値します。 さらに、任意の純粋状態α∈ex(S)に対して、集合{ℓg(α) | g∈G} が重ね合わせの意味で完全であるように、G上で定義され、At(L)のすべての対称性の集合Sym(L)に値をとる群同型性があれば、対称群Gに関して量子オブジェクトが素であるということは興味深いことであり、また、量子オブジェクトは、対称群Sに対して、量子オブジェクトが素であるということを思い出す。 すなわち、他の任意の純粋状態β∈ex(S)は、ある純粋状態ℓg(α), g∈Gの重ね合わせとして表現することが可能である。

ここで、互いに直交する2つの原子について、ある≦∨に対してℓ()=とℓ()=の対称性ℓが存在すると仮定する。 定理3.2によりℓを実装する三重をS,g,ρとする。 任意のy′∈に対して、Sx′=y′となるようなx′∈が存在する。 このとき、f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x´,x´))である。 形式fが、各v∈Vに対して数f(v,v)がKの通約要素、すなわちf(v,v)∈Cent(K)となるようなものだと仮定している。 とすると、任意のz′∈に対して、あるλ∈Kに対してSz′=λz*f（z′,z′）=f（λz′,λz′）=g（ρ）g（f（z′,z′））である。 この式は、g（f（z′，z′））＝f（z′，z′）であることを条件として、g（ρ）＝λλ＊を与えている。 そして、f(y′,y′)=f(λx′,λx′)も定理3で必要とされるものである。

以上の考察から、対称性の集合が、対的に直交する各原子に対して、原子を入れ替え、その重ね合わせを固定点として保持する対称性があるという意味で十分に豊富であり、形式fが、各v∈Vに対して、f（v，v）∈Cent（K）、g（f（v,v))=f(v,v)であれば、Kの任意の自動結晶gについて、ソレアの定理の条件を満たすので、§2c(i)の(a)〜(c)の性質を持つ、統計双対(S,E)をモデリングした無限次元直交空間(V,f,*,K)はあるいは上のヒルベルト空間であると言えるでしょう。

形式の規則性の問題までは、量子系の統計的双対性 (S,E) の無限次元ヒルベルト空間実現の必要性がよく理解されたと結論づけます。

の場合

数場の選択の問題が残されています。 この質問に対して明確な答えを出すことはできませんが、基本的によく知られているいくつかの結果を指摘しておきたいと思います。

量子力学の基本構造は、 または 上の無限次元ヒルベルト空間の三つの場合のそれぞれで同様に成り立つことはよく知られていることです。 グリーソンの定理、定理4.23により、システムの状態は単位トレースの正演算子、観測値は正規化した正演算子測度として同定でき、トレース式trは測定結果の確率を与える。 さらに、鋭い（射影値）観測値 は自己共役作用素 と一対一の上対応であり、四元的ヒルベルト空間における作用素論の体系的研究（例えば、）には、定理4． また、Solérの定理により、定理3.2はWignerの定理 , 定理4.29に還元されます。

3つのケースがいくつかの顕著な違いを示すことは同様によく知られています。 複素数の場合のみ、1パラメトリック・ユニタリー群が、ストーンの定理により、に作用する自己共役作用素Aに対応します。 実数と四元数の場合、これは特徴的な対称性の観点から定義された観測値の構造に重要な変更を意味する（例えば、22章、18章、）。 また、複素数の場合にのみ実現できる対称変換があることも想起される(e.g. )。 さらに、ハイゼンベルグ-ケナード-ロバートソン型の準備不確定性関係の導出や時間反転の操作は、複素数を必要とするようである（例えば、66頁、 , , 47-49頁）。 特に、実数のヒルベルト空間における量子力学の体系的解釈には、事実上、その複素数への埋め込みが必要なようである。 したがって、論理的必然性はないものの、オッカムの剃刀を適用して、量子力学を複素ヒルベルト空間で定式化することと比較すると、実数の場合は不必要な複雑化であるとして脇に置くことができるかもしれません

四元数についてはどうでしょうか？ アドラーの広範なモノグラフ『クォータニオン量子力学と量子場』から見れば、この可能性に疑問を持つのは場違いかもしれない。 しかし，数学的な観点から，また，アドラーとの一致から，四元数ヒルベルト空間における作用素論の重要な結果のほとんどは，例えば，.NETで適用されている「スライス」の手法を用いた複素数の場合への還元によって得られると指摘することができる． したがって、実数の場合と同様に、オッカムの剃刀で四元数を除外することができる。 しかし、4元系量子力学には、複合系の問題という根本的な問題がある。 この点については、次に簡単に説明します。

複合系の理論は、基礎的にも実用的にも、量子力学の最も本質的な部分の一つである。 そこで、(S,L,E), (S1,L1,E1), (S2,L2,E2) をそれぞれ三つの固有量子系, の統計記述としておくとする。 とし、, , i=1,2, はそれらのヒルベルト空間実現を与え、K,Kiはそれぞれの場合においてまたはのどちらか一つを示すものとします。

がとの合成であると仮定する。 つまり、 と は のサブシステムで、 はそれらでできていてそれ以外ではできない、ということです。 この考えは3つのシステムの統計的記述に関するいくつかの明白な要求を導く(e.g. , ch.24). 特に、射影的なユニタル・モルフィズム（認識写像）hiが存在しなければならない。Li→L は、各 a1∈L1,a2∈L2 に対して、命題 h(a1),h2(a2)∈L が両立し、任意の二つの原子（純粋状態） p1∈At(L1),p2∈At(L2) に対して、 h1(p1)∧h2(p2) が L の原子（純粋状態）である、というものである。

定理3.2と同様に、写像

は、現在の文脈では、

となる（g1，g2）-双線形写像により実装できることが分かる（ , 理念2参照。22、または、定理9と定理24.4.1参照)。 特に、形態素gi:Ki→Kは、各λi∈Kiについて、それぞれのインボリューションと、すなわち、互いに、すなわちすべてのλi∈Kiについてg1（λ1）g2（λ2）g1（λ1）、と交わることが導かれる。

ここでクォータニオンの場合を考えてみましょう。つまり、 (従っても)と仮定してください。 の任意の自己同型は内側なので、今、両方の gi はある に対して という形であることがわかります。 しかし、｜c1｜=｜c2｜=1となる は存在せず、これに対して

がすべてのに対して成り立つ可能性があるのである。 このことから、四元的ヒルベルト空間上の量子力学は、上記の認識写像で形式化されたような複合系を記述することはできないと結論づけられる。 明らかに、この結果は、 、によるもので、クォータニオンヒルベルト空間のテンソル積の問題（例えば）と関係がある。

一方、とすると、 、定理12、この場合の関数 g1,g2 は等式か複素共役のどちらかである。 4つの場合(g1,g2)は4つのテンソル積の解を導く。 , , , で、 は の双対空間 (or , chapter.24 参照) であるとすることができる。 基礎となるヒルベルト空間はとの組でのみ同型だが、論理（射影格子）はそれぞれのケースで同型である。 従って、これらは等価であると考え、を使うことにし、他の選択肢はむしろ不必要な複雑化として現れる。

結論

確率的物理理論の一般的な枠組みを用いて、物理システムの準備と測定の可能性に関する物理的にもっともらしい仮定を提起し、その結果、実数、複素数または四元数上の無限次元ヒルベルト空間上で量子力学の形式を取る理論を本質的に作ることができます。 いずれの場合も、状態は正のトレース1作用素、観測量は正規化された正の作用素測度、測定結果の確率を与えるボルン則（トレース公式）など、量子力学の基本的な特徴はそのまま有効である。 しかし、実数系や四元系の場合、自然な対称性の観点から具体的な観測量を定義するのは厄介なことになる。 実数の場合は実数のヒルベルト空間を複素数に埋め込むことで、四元数の場合は理論を複素数に還元することで、これらの複雑さはいずれにせよ処理することが可能である。 したがって、複素理論と比較すると、どちらの選択肢も不必要に複雑になるだけだと思われる。

データアクセス

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著者の貢献

この論文は著者間の長期の共同作業の副産物である。

競合利益

我々は競合する利益がないことを宣言する。

資金

我々はこの研究のために資金を受け取っていない。

脚注

テーマ号「Second quantum revolution: foundational questions」への15本の寄稿のうち1本

この論文をMaciej Ma̧czynski教授の80歳の誕生日に捧げる

英国王立協会発行。 All rights reserved.

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