nLab Banach space

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Idea

A Banach spaceâ¬mathcal{B} is both a vector space (over a normed field such as ♪mathbb{R}) and complete metric spaces, in compatible way.

単純なバナッハ空間の源は、ノルムを持つデカルト空間â nmathbb{R}^n (またはK nK^n, KKはノルム場)を考えることから得られる：

â(x 1,♪x n)♪pâ i=1 n|x i| pp {}|(x_1,♪dots,x_n)♪pâ|__p}. \Όταμμα για για για για για για για για για για για για για για

where 1â¤pâ¤1 \leq p \infty (this doesn’t strictly make sense for p=âp = \infty, が、極限をpâp \to \inftyとして、â =limⶠnâ nmathbb{R}^infty = \underset{longrightarrow}{lim}_n \mathbb{R}^n を（逆極限ではなく）直接極限として読むと、â (x 1.X.) という式が導かれます。ââmax i|x i|{{(x_1,\dots,x_n)Γ|_infty}. \coloneqq \max_i {|x_i|}).

しかし、これらの空間の理論は、すべて同じ基礎トポロジーを持つので、有限次元ベクトル空間の理論よりそれほど複雑ではない。 しかし、無限次元の例を見てみると、事態はより複雑になる。 ルベーグ空間、ヒルベルト空間、系列空間などがよく知られています。

文献では、実数体のバナッハ空間がよく出てきますが、複素数体のバナッハ空間も同じように実数体のバナッハ空間なので、あまり変わりはありません。 しかし、p進数上のバナッハ空間も研究されています。 4315>

Definitions

VVを実数体上のベクトル空間とする。 (場の選択は多少一般化できる) VV上のpseudonorm (or seminorm) is a function

âââ:Vâ {\| – \|}colon V \to \mathbb{R}

such that:

  1. â0â¤0 {\|0 } } } ←これのことです。 \ \ 0 ;
  2. ârvâ=|r|âvâ {} {|r v} = {|r|}. {\|v\|} (rrはスカラー、vvはベクトル);
  3. âv+wâ¤âvâ+âwâ {|v + w} {|v + w} {|v + w} {|v + w} {|v + w} {|v + w}。 \♪♪～ + {|w} .

以上のことから、âvâ¥0{{v}}は以下のようになります。 \ノルムはこれの逆で、âvâ=0{ΘvΘ} = 0なら v=0v = 0 を満たす擬似ノルムです。

VV上のノルムは、任意の無限列(v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) が以下のように与えられたとき完全である

(1)lim m,nââ i=m m+nv i=0, \lim_{m,nâtoinfty} (1)は、VV上のノルムが完全であることを意味する。 {left}^{m+n} v_i \right|} = 0 ,

there exists a (necessarily unique sum SS such that

(2)lim nâââSâ i=1 nv i=0; \lim_{n}toinfty} . {left| S – \sum_{i=1}^n v_i \right} = 0 ;

we write

S=â i=1âv i S = \sum_{i=1}^infty v_i

(with right-hand side undefined if such sum exists).

The Banach space is simply a vector space equipped with a complete norm.This will also a banach space is simply a vector space with a complete norm.This may have a fine. 実線と同様に、Banach空間では

â i=1 âv iâââ i=1 âv iâ, {left| \sum_{i=1}^infty v_i \right|} が成り立ちます。 \황황황황

右辺が有限の実数として存在すれば左辺は存在することが保証されている（ただし右辺が発散しても左辺は存在しうる、絶対収束と条件収束の通常の区別）。

空間が完全であることにこだわらない場合、それをノルム化（ベクトル）空間と呼ぶことにする。

Banach spaces as metric spaces

pseudonorm の3つの公理は pseudometric の3つの公理に非常によく似ている。

実際、任意の擬似ノルムベクトル空間において、距離 d(v,w)d(v,w) を

d(v,w)=âwâvâ. d(v,w) = {\|w – v\|} とすると．

すると、ddは

d(v+x,w+x)=d(v,w) d(v+x,w+x) = d(v,w)

が常に成り立つ、翻訳不変の擬制となる。 逆に、ベクトル空間VV上の任意の並進不変な擬似量ddが与えられたとき、âvâ{|v|}を

âvâ=d(0,v) とすると、次のようになります。 {v|v} = d(0,v) .

すると、âââ{Θ|-Θ|}はr=0,}±1r = 0, \pm 1に対してのみ（2）を満たす以外は、擬似ノルムに関する公理（1~3）を満たしていることになります。 (言い換えれば、G-pseudonormに過ぎない) 実際には、pseudometricがhomogeneity rule:

d(rv,rw)=|r|d(v,w) を満足すればpseudonormとなる。 d(r v,r w) = {|r|} d(v,w) .

したがって、シュードノームは正確に均質な並進不変なシュードメトリックに対応する。

同様に、規範は均質な並進不変なメトリックに対応し、完全規範は完全に均質な並進不変なメトリックに対応している。 実際、(1)は部分和の列がコーシー数列であることを、(2)は部分和の列がSSに収束することを言う。

したがって、バナッハ空間は等価的に完全同質的な並進不可分な計量器を備えたベクトル空間として定義できるだろう。

Maps between Banach spaces

If VV and WW are pseudonormed vector spaces, then the norm of a linear function f:VâWfcolon V \to W may be defined in either the equivalent ways:

  • âfâ=sup{âfvâ|âvâ¤1} ≪Normal of A Normal in Vánch Space≫ (バナーハ空間とは完全測量のあるベクトル空間を言う。) {평평평평평 \;|\; {\|v\|} \ʕ-̫͡-ʔ̫͡-ʔ {} = \inf{ r };|| }; \forall{v},{}; { {}|f v}} \leq r {{v}}} \.

(他の形も時々見られるが、退化した場合に破綻することがある)

有限次元空間に対して、任意の線形写像はよく定義された有限ノルムを持つ。 一般に、以下のものは等価である。

  • ffは00で連続(VVとWWのpseudometricsで測定);
  • ffは連続(どこでも);
  • ffは一様に連続;
  • ffはLipschitz連続である。
  • âfâ{Θ|f} is finite (and, in constructive mathematics, located);
  • ff is bounded (as measured by the bornologies given by the pseudometrics on VV and WW)；
  • ff is Lipschitz continuous;
  • âfâ{Θ｜f｜} は有限。

この場合、ffはboundedであると言う。 f:VâWfcolon V \to Wが線形であると仮定しない場合、上記の条件はもはや等価ではない。

VVからWWへのbounded linear maps自身はpseudonormed vector space â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W) を形成している。 これは、WWがBanach空間であるとき（VVの縮退した場合を除き）、Banach空間となる。 このように、Banach空間のカテゴリBanBanは、âmathbb{R}を単位とする閉カテゴリです。

The clever reader will note that we have not yet defined Banmathbf{Ban} as a category! (意外とnLabで)そうする方法はたくさんあります。

関数解析では、Banach空間のâisomorphismの通常の概念は、逆関数f â1:WâVf^{-1}\colon W \to V (which is necessarily linear) もboundedであるようなbijective linear map f:VâWf}colon V \to Wであり、boundedです。 この場合、バナッハ空間間の有界線形写像はすべてモルヒズムとして受け入れることができる。 解析者はこれをâisomorphic categoryと呼ぶことがある。

同型のもう一つの自然な概念は、surjective linear isometryである。 この場合、形態素は短い線形写像、あるいは線形収縮とする： âfâ¤1{}f} のような線形写像ff \ʕ-ᴥ-ʔ このカテゴリは、カテゴリ理論家が一般にBanmathbf{Ban}と呼ぶもので、分析家はâometric categoryと呼ぶことがある。 このことは、Banach空間の基礎集合(Banmathbf{Ban}を任意の閉カテゴリと同様に具象カテゴリとする意味で)をその(閉)単位球

Hom Ban(♪,V)♪ {v|âvâ¤1} とすることに注意することである。 Hom_Ban(\mathbb{R},V) ゙v ゙;゙゙゙゙゙ \୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)

VVの全ベクトルの集合（ベクトル空間としてのVVの基礎集合）ではなく、

崔右衛門です。 これは本当にここで、クエリーボックスの作り方を思い出すためです。 でもついでに、unit ball functorのことをâtaking the underlying setと呼んでも本当にいいのでしょうか？ internal hom の議論では、âEvery closed category is a concrete category (represented by II), and the underlying set of the internal hom is the external homâ と主張されていますが、これは、âunderlying setâ をこの緩い意味で解釈する必要があるように思います。

Toby: 確かに、しかし「基礎となる集合」を引用符で囲んだのは、まさにカテゴリ理論的な基礎となる集合が通常期待されるものとは異なることを指摘するためです。 このセクションは、アナリストの用語と一致させるために部分的に拡張しました。 カテゴリー理論家の慣習について、正しくないかもしれない仮定をいくつかしました。 (時間があれば、アナリストが考えている Banach 空間の他のカテゴリについて書くかもしれません。)

Toby: いい感じですね！

カテゴリ理論家の観点からすると、同型カテゴリは実際には BanBan から TVSTVS （位相ベクトル空間のカテゴリ） への包含関数の全体像で、 Ban TVSBan_{TVS} として表すことができます。 もしあなたがBan TVSBan{TVS}で作業しているなら、空間の位相的な線形構造だけを気にします（ただし、それがあるメトリックから導かれることも気にします）。

Examples

Banach空間の多くの例は指数1â¤pâ¤1 \leq p (0â¤p<10 \leq p \lt 1 も試せることがありますが、これらは一般に Banach space を与えません。)

  • The Cartesian space â nmathbb{R}^n is a Banach space with

    â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {}|(x_1,\ldots,x_n)\|p} = \root p {sum_i {|x_i|^p}} 。 .

    (極限をとることでp=âp = \inftyを許す。その結果、âxâ â=max i|x i|{@x|_infty} = \max_i {|x_i|}).) すべての有限次元バナッハ空間は、あるnnとppについてこれと同型である。実際、nnを固定すれば、ppの値は同型まで無関係である。

  • 数列空間 l pl^p は無限数列 (x 1,x 2,♪♪)(x_1,x_2.) の集合である。\を満たすような実数(â (x 1,x 2,⦦)â p=â i|x i| pp {|(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {}sum_i {|x_i|^p}} となるようなもの。

    は有限の実数として存在する。 (問題は和が収束するかどうかだけである。 ここでもp=âp = \inftyが極限となり、âxâ â=sup i|x i|{{|x|_infty} = \sup_i {|x_i|} という結果になる)。 とすると、l pl^pはそのノルムを持つBanach空間となります。 これらはすべてââmathbb{R}^inftyのバージョンですが、ppの値が異なると同型でなくなります。 (See isomorphism classes of Banach spaces.)

  • より一般的には、AAを任意の集合とし、l p(A)l^p(A) is the set of functions ff from AA to ♪âmathbb{R} such that

    âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f|_p} = \root p { }sum_{x.を満たすような(âmy)関数ffの集合とする。 A} {|f(x)|^p}}である。

    は有限の実数として存在する。 (この場合も、âfâ â=sup x:A|f(x)|{{f|_infty} = \sup_{xcolon A}} となる)。 {|f(x)|} となる)。 すると、l p(A)l^p(A) はバナッハ空間である。 (この例は前の例を含み、AAは可算集合である。)

  • On any measure space XX, the Lebesgue space â p(X)\mathcal{L}^p(X) is the set of measurable almost-everywhere-defined real-valued functions on XX such that is

    âfâ p=â”|f| pp {|fц|p} = \root p {int {|f|^p}}} ¡¡¡âp(X) âp{L}^p(X) ¡âp(X) ¡âp{L}p(X) ¡âp(X) ¡âp(X) ¡âp(X) ¡âp(X) ¡âp{L}p(X)

    有限の実数として存在する。 (ここでも積分が収束するかどうかだけが問題である。 そして、ここでもp=âp = \inftyが極限となり、âfâ {{|f}} は |f|{|f} の essential supremum となる)。 このように、â p(X)♪mathcal{L}^p(X) は完全な擬似弓型ベクトル空間ですが、これをバナッハ空間にするために、ほぼどこでも等しい関数を特定します。 (この例には、前の例、XXが計数測度を持つ集合の場合も含まれます。)

  • あらゆるヒルベルト空間はBanach空間です。これは、p=2p=2に対する上記の例のすべてを含みます。

Banach空間上の演算

Banach空間のカテゴリBanBanは小さい完全、小さいココ完全、その標準内部Homに関して対称なモノアイダル閉鎖です（内部Homで説明します）。

  • Banach空間のカテゴリは小積を認める。 バナッハ空間の小族{X α}が与えられると αâA}{X_alpha}_{alpha \in A}, BanBanにおけるその積は、ベクトル空間積

    â αâAX αprod_{alpha \in A}の部分空間である。 X_alpha

    consisting of AA-tuples â¨x αâ©langle x_alpha \rangle that are uniformly bounded (i’eurs exist CC such that αâA:âx αââ¤Cforall \alpha in A: {}x_alpha Ꮚ‡Í {{Threshold/X}Ꮚ`) \のノルムとし、その最小の上界をâ¨x αâ©langle x_alpha ㎤のノルムとする。 このノルムをâinfty-normといい、特にâmathbb{R}やâmathbb{C}のコピーのAA添字の族の積は通常l â(A)l^{infty}(A) と表記される。

  • Banach空間のカテゴリは等化器(ecmit equalizer)を認めている。 実際、BanBanにおける一組の写像f,g:XâYf, g: X \rightarrows Yの等化器はXXから継承したノルムの下でのfâgf-gのカーネルです（fâgf-gは連続なのでカーネルは閉じており、完全であると言えます）。 実際、Hahn-Banachの定理により、すべての等化器は偶節となる。 すべての極値単相性はすでに等化器（そして節）である。 f:XâYf colon X \to Y をextremal monomorphism、ι:â(f)âYiota\colon \to Y the embedding of Im(f)Im(f) into the codomain of ff、fâ²:XâIm(f)fprime \colon X \to Im(f) ff with restricted codomainとすると、fは偶奇単相関です。 fâ²f はepimorphismであり、f=ιfâ²f=ι fprime, and ff extremalであるから、fâ²f はisomorphismであり、ffはembeddingである。

  • The category of Banach spaces admits small coproduct. バナッハ空間の小族{X α}が与えられると αâA}{X_alpha}_{alpha \ in A}, そのBanBanにおけるコプロダクトはベクトル空間コプロダクトの補完

    â αâ AX αbigoplus_{alpha \ in A}. X_alpha

    with respect to norm given by

    â¨Sx sâ=â sâSâx sâ, {left| \bigoplus_{s \in S} x_s \right} = \sum_{s \in S} … {{x|x_s} ここで、SâAS \subseteq A は有限であり、âx sâ{Thint|x_s|} は X sX_s における要素のノルムを表します。 このノルムは11-ノルムと呼ばれ、特にââmathbb{R}やâmathbb{C}のコピーからなるAA-インデックス族の共積は通常 l 1(A)l^1(A) と表記されるものである。

  • Banach空間のカテゴリはcoequalizersを認める。 実際、一対の写像f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Yのcoequalizerは、商ノルム（ここで、あるコセットy+Cy + Cのノルムはy+Cy + Cの要素が到達する最小ノルムであり、CCは閉じているimage (fâg)(X)(f-g)(X) ）下のfâgf -gのcokernelである。 YY上のノルムが完全であれば、Y/CY/C上の商ノルムは完全であることが標準である。

  • テンソル積Xâ BanYX \otimes_{Ban} を記述するには Y of two Banach spaces (making BanBan symmetric monoidal closed with its usual internal hom), F(XÃY)F(X \times Y) be free vector space generated by set XÃYX \times Y, with norm on a typical element defined by

    â 1â¤i¤na i(x iây i)â=â 1â¤iân｜a i｜âx iââ y iââ。 {left| \sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right|} = \sum_{1 \leq i \leq n}. {|a_i|} {x_i} \F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y)はこのノルムに関する補完を表すとする。 そして、F¯(XÃY) \overline{F}(X \times Y)のcokernelを、明らかな双線形関係によってスパンされる部分空間のclosureで取ります。 この商はXâ BanYX \otimes_{Ban} である。 Y.

    バナッハ空間の文献では、上記のテンソル積は通常バナッハ空間の射影テンソル積と呼ばれ、バナッハ空間の他のテンソル積を参照のこと。

    説明予定：

    • 双対 (p+q=pqp + q = p q);
    • 補集合 (BanBan は PsNVectPsNVect (pseudo-normed vector spaces) の reflective subcategory である).
    • BanBanを双対を持つ（やや大きな）カテゴリーとして

    Integration in Banach spaces

    このパラグラフでは、AQFTに関する文献を理解するために関連するBanach空間における積分論のいくつかの側面について説明する。 ここで、バナッハ空間â¬mathcal{B}の要素をベクトルと呼ぶことがあり、â¬mathcal{B}に値をとる関数や測度をベクトル関数やベクトル測度と呼びます。

    ここでは2種類の積分を考える：

    • ベクトル関数のスカラー測度に関する積分、特にBochner積分、

    • スカラー関数のスカラー測度に関する積分、特にヒルベルト空間上の正規オペレータのスペクトル積分を考える。

    Bochner integral

    Bochner integral はバナッハ空間に値をとる関数に対する Lesbegue integral の直接一般化である。 AQFTの文献でバナッハ空間に値をとる関数の積分を見かけたら、それはBochner積分を意味していると考えてもよいでしょう。

    1. 支配的収束定理のバージョンは Bochner 積分に対して正しい。
    2. Bochner積分に対して有効ではない定理があり、特にラドン-ニコディムの定理は一般には成立しない。
    • Wikipedia

    reference: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spaces (ZMATH entry), chapter IV.

    The spectral integral

    The integral with the spectral measure of a bounded normal operator on a Hilbert space is an Banach space integral respect to a vector measureの一例です。 この段落では、よく知られているが、あまり引用されない、AQFTへのいくつかのアプローチにおける証明で使用される結果を提示する。それは、与えられた設定に対する支配的収束定理のバージョンである。 AのスペクトルをÏ(A) \sigma(A) とすると、有界複素ボレル関数fに対して、

    f(A)â ” Ï(A)f(Δ)E(dΔ) f(A) \coloneqq \int_{sigma(A)} f(\lambda) E(dāmda)
    Theorem (dominated convergence)

    If if 複素ボレル関数の一様な有界列{f n}{f_n}はÏ(A) \sigma(A) の各点で関数ffに収束する。 とすると、f n(A)♪f(A)f_n(A) ♪強い作用素トポロジーでf(A)♪になります。

    Dunford, Schwartz II, chapter X, corollary 8.

    Properties

    Relation to bornological spaces

    Every inductive limit of Banach spaces is a bornological vector space.Banach空間のすべての帰納極は、Banach空間の帰納的極限である。 (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

    逆に言えば、すべてのbornological vector spaceはnormed spacesの帰納的極限である。 また、準完全であればバナッハ空間のものである (Schaefer-Wolff 99)

    • reflexive Banach space

    • projective Banach space

    • Banach analytic space

    Stefan Banachにちなみ命名した。

    • Walter Rudin, Functional analysis

    • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: ♪Linear operators. Part I: General theory.♪ (ZMATH entry), ♪Linear operators.♪ (ZMATH entry), ♪Linear operators.♪ (ZMATH entry). Part II: Spectral theory, Self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

    • Z. Semadeni, Banach spaces of continuous functions, vol. I, Polish scientific publishers. ワルシャワ 1971

    • Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebra which is inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

    • H. H. Schaefer with M. P. Wolff, Topological vector spaces, Springer 1999

    category: 解析

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