Homotopy, in mathematics, a way of classifying geometric regions by studying different types of paths that can be drawn in the region. 共通の端点を持つ2つの経路は、一方が端点を固定したまま他方に連続的に変形でき、その定義された領域内にとどまる場合、ホモトピーと呼ばれる。 図のA部分では、斜線の領域に穴が開いている。fとgはホモトピックパスであるが、gは穴を通過して領域を出ないとfやgに変形できないので、gはfやgに対してホモトピックでない。

より正式には、ホモトピーは0から1までの区間内の点を連続的に領域内の点に写すことによってパスを定義すること、つまり区間上の隣接点がパス上の隣接点に対応するようにすることである。 ホモトピー写像 h(x, t) は、2つの適当なパス f(x) と g(x) に、t = 0 のとき f(x) と等しく、t = 1 のとき g(x) と等しい2変数 x と t の関数を関連付ける連続写像である。 この写像は、tが0から1に変化するとき、その領域を離れずに徐々に変形するという直感的な考え方に対応する。 例えば、h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) は図の部分Aにおける経路fとgに対するホモトピック関数であり、点f(x)とg(x)は直線セグメントによって結合し、それぞれの固定値tに対して、h(x, t) は同じ二つの端点を結ぶ経路を定める。

特に興味深いのは単一点から始まって終わるホモトピック経路（図Bを参照のこと）である。 このような幾何学的領域で互いにホモトピックなパスのクラスはホモトピークラスと呼ばれる。 このようなクラスの集合は、その領域の基本群と呼ばれる代数的な構造を与えることができ、その構造は領域の種類によって異なる。 穴のない領域では、すべての閉じたパスはホモトピーであり、基本群は単一の要素からなる。 穴が1つある領域では、すべてのパスは穴の周りを同じ回数だけ回るホモトピックである。 図では、a、b、c、dはホモトピックであるが、eは他のどのパスともホモトピックではない。

一般多様体上と同様に、3次元以上の領域でもホモトピックパスと基本群を定義することができる。 高次元では、高次元ホモトピー群も定義できる。