このテキストは、数学と物理学を学ぶ学生のための大学院レベルの微分幾何学の入門書を示します。 解説は、主束上の特性階級のChern-Weil理論を説明することを目標に、接続と曲率の概念の歴史的発展にしたがっています。 その過程で、GaussのTheorema EgregiumやGauss-Bonnetの定理など、微分幾何学の歴史におけるいくつかの高みに遭遇する。 本書の随所にある演習問題は、読者の理解度をテストし、時には理論の拡張を説明する。 最初は、読者が多様体について一通り知っていることが前提条件となる。 第1章以降では、微分形式を理解し、操作することが必要となる。

前提条件は著者のテキストAn Introduction to Manifoldsに含まれており、1学期で学ぶことができる。 読者のために、また共通の表記法を確立するために、付録Aで多様体理論の基本を想起させる。 また，テンソル積や外積のような代数的な構成に関する節を設け，より自己完結的な解説を目指した． その歴史は17世紀のニュートンやライプニッツにさかのぼるが、微分幾何学が花開き、近代的な基礎を築いたのは、ガウスによる曲面の研究、リーマンによる曲率テンソルの研究など19世紀に入ってからのことであった。 この100年間、微分幾何学は、アインシュタインの一般相対性理論、重力理論、ゲージ理論、そして現在の超ひも理論など、物理世界を理解する上で欠かすことができないものであることが証明されている。 また、微分幾何学は位相幾何学、複素変数、代数幾何学、複素多様体、力学系などの分野でも有用である。 この分野は、グロモフの研究に見られるように群論への応用、ディアコニスの研究に見られるように確率論への応用さえも見いだされている。 微分幾何学はすべての数学者の武器であるといっても過言ではない。