Abstract
この論文では、多成分の信号を単成分の信号に分解する新しい信号分解方法を提案する。 主な手順は，3つのステップによって，与えられた二等分周波数より高い周波数を持つ成分を抽出することである。 (1)一般化復調により低周波成分を負の周波数領域に投影、(2)ヒルベルト変換により負の周波数成分を除去、(3)逆一般化復調により高周波成分のみを含む信号を得る、である。 この手順を再帰的に実行することで、すべての単成分の信号を効率的に抽出することができる。 分解法の包括的な導出が提供される。 提案手法の有効性は広範な数値解析によって実証されている。 また、提案手法を斜張橋の動的歪み信号やコウモリの反響信号の分解に適用した。 はじめに
振動や音の信号には動的なシステムの固有の情報が含まれている。 有名なフーリエ解析は、信号を周波数領域に投影し、線形時不変システムの固有振動数を特定するために使用することができる。 しかし、フーリエ解析は信号の非定常性のため、時変系や非線形系の研究には不向きである。 そこで、この問題を解決するために、多くの時間-周波数解析手法が提案されている。
エネルギー分布の代表的な方法として、ウェーブレット変換（WT）は、基本的に調整窓フーリエスペクトル解析法である。 WTを用いて、Ruzzeneらは橋梁の実データを用いて固有振動数と減衰を同定し、Wangらは時間変化する構造物の瞬時周波数（IF）を同定している。 WT法は多くの工学的応用に成功していますが、ハイゼンベルグ-ガボールの不確定性原理により、時間領域と周波数領域で同時に高解像度を達成することは困難です。 それにもかかわらず、WTは時間-周波数領域の非定常信号に対する強力なツールであり、transform、chirplet transform、synchrosqueezed wavelet transform などの多くの類似した時間-周波数エネルギー分布の動機付けとなってきた . Daubechiesらによって開発されたシンクロスキーズド・ウェーブレット変換は、特殊な再割り当て方法を用いた新しい時間周波数解析ツールです。 しかし、これらのエネルギー分布カテゴリー法は汎用性が高いが、主な問題は、これらの方法が信号を表現するために事前に選択された振動ベースのファミリーを利用するため、その非適応性である。 にもかかわらず、WTやその他のエネルギー分布カテゴリ法は、非定常信号処理において依然として重要である。
1998年にHuangらによって提案されたEmpirical Mode Decomposition (EMD)は代表的な信号分解法となっており、WTをはじめとするエネルギー分布法は非定常信号処理において重要である。 EMDは多成分の信号を固有モード関数に分解し、その振幅とIFをヒルベルト変換で復調することができる。 その適応性の高さから、EMDは信号処理の分野でますます注目され、振動信号解析、音響信号解析、地球物理学など、幅広い分野で応用されている。 Smithによって提案された局所平均分解（LMD）は、EMDと同様に、信号を振幅と純粋な周波数変調信号の積である関数の集合に分解するもので、この関数の集合は、振幅と純粋な周波数変調信号の積である。 LMD法は脳波の解析に利用されている． しかし、半経験的な手法であるEMDとLMDは発見的であり、確かな数学的基盤を持たない。 また、HuangとWuは、積関数のヒルベルト変換に関するBedrosianの定理が確立されていない場合、固有モード関数のヒルベルト変換に誤差を含む可能性を指摘している。
Feldmanは、初期信号を振幅と周波数がゆっくり変化する成分の和に分解するヒルベルト振動分解 (HVD) という非常にシンプルな信号分解手法を発表した。 Gianfeliciらは、フィルタリングによってゆっくりと変化する振幅とそれに対応する振動信号を得るための反復ヒルベルト変換（IHT）法を導入し、この方法を残差に反復して適用しています。 Qin らは、IHT 法を機械的な故障診断に利用することに成功した。 さらに最近、Chen と Wang は、Analytical Mode Decomposition (AMD) と名付けた新しい信号分解法を開発した。 AMD法は、信号を2等分する周波数の下と上に2つの部分を分離する効率的で正確な方法である。 Wangらは、モードパラメータ同定のために、AMD法を多くの構造振動信号分解ケースに適用し、成功しました。 しかし、AMD法を離散信号の処理に適用した場合、無視できない誤差が発生します。 この誤差の原因は、AMD法が信号の乗算を含むため、信号の一部の成分の周波数がナイキスト周波数を超えてしまうことである。 本研究では、AMDの能力を持ちながら計算誤差を回避できる一般化復調・ヒルベルト変換（GDHT）ベースの信号分解法を導入した。 一般化復調は、OlhedeとWaldenによって、多成分信号の各成分の時間依存の周波数内容を追跡することを目的として、最初に開発された。 一般化復調を用いると、湾曲したIFプロファイルを持つ単成分信号を、一定の周波数を持つ別の解析的信号に変換することができ、時間-周波数表現の強化に非常に有効である 。 このため、低周波成分は負の周波数領域に投影され、ヒルベルト変換により除去される。 そして、逆一般化復調を行い、高い周波数の成分を復元する。 この方法は、ハイパス信号フィルタのように動作し、多成分信号の中のすべての単成分信号を再帰的に抽出することが可能である。 次章では、一般化復調理論について紹介する。 第3節では、分解法の包括的な導出が行われる。 最後に、提案した方法を数値解析により検証し、振動信号のフィルタリングやエコーロケーション信号の分解などの実用的なケースに適用する。
2 一般化復調
ここで、andはそれぞれ 、の振幅とIFで表される単一成分信号について考えてみる。 の直交信号を定義する。この定義により、複素信号は次のように形成される。この信号の一般化復調は、信号に写像関数 、を乗じることにより達成される。適切な位相により信号が一定の周波数を持つ成分になれば、すなわち、元の信号のIFは次のようにして得られる。逆に、逆般化復調は、信号に写像関数の共役を乗じることにより元の信号を回復する。 すなわち、、、これは原信号を復元する上記の6つの式は、これまでのところ、まさに厳密な式である。 しかし、実際には、信号の位相が未知であるため、常にヒルベルト変換を行い、複素信号の代入を得ることになる。 ヒルベルト変換で定義された複素信号は次式で与えられる。ここで、信号のヒルベルト変換を表す。
注意すべきは、次式で代入するとベドロス恒等式が成立して解析的信号となり、信号は次式を満足する。この条件は振幅と瞬間周波数（IF）がゆっくり変化する信号でよく満足できる。
3 信号分解法
以下の内容では、多成分信号について検討する、ここで、andはそれぞれ、第I成分の振幅とIFである、である。 多くの実用的なアプリケーションでは、信号成分の振幅とIFは常にゆっくり変化する関数である。 多成分信号は、各振幅のフーリエ変換が無視でき、IFが以下を満たす場合、よく分離されていると言われる。 このth IFとth IFの関係を図1に示す。 したがって、マッピング関数の位相と二等分する周波数は次のように選ぶことができる。二等分する周波数が与えられると、信号は3つのステップで2つの部分に分解されることができる。
ステップ1（低い周波数の成分を負の周波数領域に投影する）。 一般化復調理論によれば、まず原信号をヒルベルト変換して解析的な信号を得る。 この複素信号に位相の写像関数を掛けると、次のようになる。ここで、 を考えると、 のワニスのフーリエ変換は ;、 を考えると、 のワニスのフーリエ変換は . ここで、(8)と同様の等式が暗示されていることに注意。つまり、
ステップ2（負の周波数成分を除去する）である。 ゆっくり変化する項を除去するために、さらにヒルベルト変換を行い、. による演算子を定義することは、信号.に対応する解析信号を直接生成するヒルベルト変換の変更バージョンである。 のような複素信号のHilbert変換は、信号の実部および虚部を同時に変換する2つのサブタスクを含むことに注意する必要があります。 この演算子は、正の周波数を持つスペクトル成分を2倍にし、負の周波数を持つ成分を除去する。つまり、
ステップ3（逆一般化復調）である。 このように、GDHT法は適応型ハイパスフィルタのように動作する。 図2に分解法のブロック図を示します。 以上により、提案するGDHT法の簡単な式をまとめると、以下のようになる。
さらに、分解する信号を更新信号とし、（11a）で与えられる位相の新しいマッピング関数を選択することにより、提案する方法で原信号の3番目の単成分を抽出することができる、つまり、.GDHTを用いた分解方法である。 同様に、and を用いて、3番目の単成分を抽出することができる。 このように，GDHT法を用いることで，多成分信号中の全ての単成分信号を再帰的に抽出することができます． 以下では、提案手法を数値例で検証する。
4. パフォーマンス解析
本節では、提案するGDHT法を用いて合成多成分信号の処理を行う。 提案手法の性能はChenとWangによって開発されたAMD手法と比較される。 4.1節では二等分周波数が一定の信号分解、4.2節では二等分周波数が時間的に変化する信号分解について説明する。 2等分周波数が一定の信号分解
GDHT法の周波数応答特性を調べるために、ゼロ平均の白色ノイズ信号を2等分周波数が一定の信号分解を行う。 白色雑音の分散は.とした。 サンプリング周波数=20Hz、全サンプリング点を用いたシミュレーションである。
まず、2分周周波数=1Hz()を選んでホワイトノイズ信号を分解する。 GDHT法とAMD法はともに元の信号を2つの部分に分解することに注意されたい。 ここでは、ゆっくり変化する部分のみを調べ、速く変化する部分については単純な引き算で結果を得ることができる。 この結果、ゆっくり変化する部分には1Hz以下の周波数の成分が含まれていることが予想される。 図3(a)に、元の白色ノイズ信号と2つの分解結果の片側フーリエ振幅スペクトルを示す。 AMD法の結果は周波数9～10Hzの高い周波数の誤差を含んでおり、提案するGDHT法の結果は期待通りの性能を発揮しています。 図3(b)にAMD法とGDHT法の周波数特性を示しますが、GDHT法は完全な信号分解法ですが、AMD法は高周波の誤差を残して負にしていることが分かります。
(a) Fourier amplitude spectrum
(b) Frequency response
次に、2等分する周波数を高くして（）、6Hz以下の周波数成分を抽出するシミュレーションを行った。 ここでも、ノイズの片側フーリエ振幅スペクトルと結果を図4（a）に、＝6HzのAMD法とGDHT法の周波数特性を図4（b）に示す。 AMD 法の結果は、周波数 6~10 Hz の高い周波数の誤差を含み、周波数 4~6 Hz の成分を除去している。 提案する GDHT 法の結果は予想通りであり，GDHT 法が有効であることがわかる．
(a) フーリエ振幅スペクトル
(b) 周波数応答
(a) フーリエ振幅スペクトラム(b) 周波数応答
(b) 周波数応答
4.2. 時間的に変化する二等分周波数を持つ信号の分解
GDHT法は時間的に変化する周波数を持つ非定常信号の分解に用いることができる。 GDHT法の性能を調べるために、2つの周波数変調成分を持つ信号を考える：ここで、 , 。 したがって、2つの成分の IF は、 と Hz です。 サンプリング周波数＝20Hz、サンプリング時間＝30秒のシミュレーションを行いました。 この信号は、実際のレーダーデータの解析に非常に有効であることが分かっている「ワーブレット」に非常によく似ている。 小さな氷片から戻ってくるレーダー信号は、周期的に周波数が上昇したり下降したりする。
ここでの目的は、周波数が重なったこの2つの成分を取り出すことである。 まず、信号のフーリエ振幅スペクトルを図5(a)に示すが、これでは二等分する周波数を選択する手がかりはない。 これは、フーリエ変換が非定常信号処理に適していないことの証拠となる。 そこで、信号の時間-周波数エネルギー分布を追跡するために、連続ウェーブレット変換を行い、その際、複素モレットウェーブレットを使用する。 図5(b)に信号のWTスカログラムを示すが、ここから信号の瞬時周波数の揺らぎを観察することができる。 スカログラムのエネルギー分布は、IFと.NETによく一致する。 WTスカログラムは分解法のための明確な二等分周波数を提供することはできないが、IFの変動傾向を考慮してマッピング関数を選択することは可能である。
(a) フーリエ振幅スペクトル
のWTスカログラム
（a） フーリエ振幅スペクトル
のWTスカログラム
信号をフーリエスペクトルで分離可能にするために、マッピング周波数Hzに相当する位相関数を持つマッピング関数を採用する。 (4)によれば、信号の一般化復調は、マッピング関数と原信号の解析形式（演算子は(16)で定義）を乗じることで達成される。 したがって、各成分のIFはそれぞれHzとHzに写像される。 マッピングされた信号のフーリエ振幅スペクトルとWTスカログラムをそれぞれ図6（a）と図6（b）に示す。 明らかに、マッピングされた信号の2つの成分は、フーリエスペクトルやウェーブレットスカログラムによって互いに区別することができる。 フーリエ振幅スペクトルの周波数1.55Hzに谷があり、適切な2分周の周波数をHzと選択できることがわかる。 この2分周波数を用いて、GDHT法により、信号を2つに分解することができる。
(a) フーリエ振幅スペクトル
のWTスカログラム
(a) フーリエ振幅スペクトル
のWTスカログラム
図7に示すように、GDHT法で分解された成分および,は、それぞれ正確な成分および,とよく一致している。 図8に示すように、分解された成分のIFをヒルベルト変換 、で計算し、その結果を正確なIFと比較する。 分解された成分のIFは、信号の両端の誤差を除いて、正確なIFに非常に近いものでした。 この誤差は、ヒルベルト変換の端効果によるもので、簡単な鏡像技術で減らすことができます。 いずれにせよ、GDHT法によって分解された成分を用いれば、ほとんどの場合、IFを正確に同定することができます。 このように、GDHTは、信号の周波数の変化には、常に動的なシステムに関する本質的な情報が含まれているため、実用的な価値を有しているのです。
(a) 低速変動成分
(b) 高速変動成分
(a) 低速変動成分
(a) Slow varying component(b) Fast varying component
(b) Fast varying component
図8
時間変化する二等分周波数に対してGDHTとAMD法をさらに比較するために、WTを適用して分解成分を分析する。 図9にGDHT法で分解した遅変動部分と速変動部分のWTスカログラムをプロットする。 WTの時間-周波数分解能はハイゼンベルグの不確定性原理により制限されますが、分解された低速変動信号のエネルギーは主に二等分周波数以下の領域に分布し、逆に分解された高速変動信号のエネルギーは主に二等分周波数以上の領域に分布することが明らかです。 図10に、GDHT法の特徴を示す2つの簡単な模式図を示します。 図10より、GDHT法で分解された低速変動部分には2分周以上の周波数の信号成分が含まれず、高速変動部分には2分周以下の周波数の信号成分が含まれないことがわかります。 このことは、GDHT法が離散信号に対する完全な適応型フィルタであることを示している。
(a) 低速変動部
(b) 高速変動部
(b) 高速変動部
(b) 高速変動部
比較として、AMD法による分解成分のWTも行い、図11にウェーブレットスカログラムをプロットする。 図11のスカログラムには、図9から明らかなずれが見られるが、これは信号の離散化に起因するものである。 図11(a)に示すように、AMD法で計算された徐変信号には、二等分された周波数よりも高い周波数の成分が含まれている。 また、高速変化する信号には、図11(b)に示すように、2等分する周波数よりも低い周波数の成分が含まれていることがわかる。
(a) 低速変動部
(b) 高速変動部
（a）低速変動部
（b）高速変動部
時変2分周のAMD法における離散化の効果は、4.1節であげた時不変のシーンと同様である。 この効果を説明するために、ウェーブレットスカログラムに観察される偏差を説明するために、図12に2つの簡単な模式図を示す。 図12(a)に示すように、 、分解された緩やかな変動信号は、周波数が;より高い信号成分を保持して負にし、分解された緩やかな変動信号は、周波数が;より高い信号成分を保持して負にし、周波数が;の信号成分を間違って除去している。 AMD法による高速変動信号の分解性能は、図12（b）に示すように、単純な減算で求めることができる。 この結果から、AMDアルゴリズムで信号を正しく分解するためには、帯域幅、つまり最大成分周波数の4倍のサンプリング周波数を採用する必要があり、AMDアルゴリズムの計算コストが2倍となることがわかった。
(b) 高速変動部
5. ケーススタディ
5.1. 動的歪み信号のフィルタリング
提案したGDHT信号分解は、太平湖橋の動的歪み信号の処理に使用されています。 この橋はプレストレストコンクリート斜張橋で、全長380mである。 ひずみゲージは箱桁の底板上面に設置され、サンプリング周波数は50Hzに設定されています。 図13(a)に示すように，環境温度の変化による遅い変動成分と車両荷重による速い変動成分を含む24時間分の典型的な動的ひずみ信号が選択される． この信号を GDHT 法により、二分周波数 0.001Hz で 2 つに分解した。 その結果を図13(b)、図13(c)に示す。 分解された低速変動成分には高域の誤差がなく、高速変動成分には低速変動のエクスカーションがない。 高速変動成分は、車両の荷重統計や構造物の疲労解析に非常に有効である。
(a) 動的ひずみ信号
(b) 遅変動成分
(a) 早変動成分
(a) 動ひずみ信号
(b) 遅い変動成分
動的歪み信号の総サンプリング数は4.32×106、GDHTの計算時間は3.75秒（3.1GHzプロセッサ、4.0GB RAMのコンピュータによる）であった。 このように膨大な数の離散サンプリング信号があるにもかかわらず，この分解は比較的高速であり，工学的な応用に適している
5.2. エコーロケーション信号の分解
このサブセクションではコウモリのエコーロケーション信号を分解しています。 コウモリはエコロケーション信号によって距離を判断し、物体を識別することはよく知られています。 図14は典型的なコウモリのエコーロケーション信号をプロットしたものである。 この信号はYuとZhouによって研究され、そのデータは.NETでダウンロードできる。 信号の継続時間は0.0028秒、サンプル間隔は7μsである。 信号のWTは図15に示されており、ここからGDHT法のための二等分周波数のセットを簡単に決定することができる。 時間-周波数領域は、図15に示す4つの2等分周波数によって5つの部分に分けられる。
分解した5成分は図16に示す通りである。 注目すべきは、第1成分と第5成分の振幅が非常に小さいことである。 これは、3つの成分C2、C3、C4によって、元の信号がうまく再構成できることを意味する。 この5つの分解された成分の瞬時周波数を計算するために、ヒルベルト変換が採用されている。 その結果を図17に示すが、WTよりも時間-周波数分解能が良くなっている。 図17では、振幅をグレーで表示しており、白が最小値、黒が最大値に対応している。 この時間周波数表現法はHuangらが提案したヒルベルトスペクトル法にヒントを得ている。 .
6． 結論
本論文では、信号を二分周波数の上下に分離する一般化復調とヒルベルト変換に基づく信号分解法を新規に提案した。 二等分する周波数は定数または時間的に変化する関数として選択することができる。 一般化復調は、まず二等分周波数以下の信号成分を負の周波数領域に投影し、次にヒルベルト変換を使用して負の周波数成分を除去する。 そして、逆一般化復調を行い、二分周波数より高い周波数を持つ成分を復元する。 本手法の特性を理論的な導出と数値例により解析した。 最後に，提案手法を24時間の典型的な動歪み信号とコウモリのエコーロケーション信号の処理に適用し，その有効性と効率性を検証する． 提案手法は、離散的な信号に対してAMD法よりも優れた結果をもたらし、WT法よりも優れた時間-周波数分解能を提供する。
利益相反
著者は利益相反がないことを宣言する。
謝辞
この論文に記載された研究は、中国国家自然科学基金（プロジェクト番号51408177）と中国ポストドクター科学財団（プロジェクト番号2014M551802）によって支援されています。 原稿を修正してくれたFei-Yu Wangに感謝したい
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