これはよくある誤解のシリーズの一部です。

真か偽か？

無限は実数線の端にある数です。

なぜそれを真実と言う人がいるかというと、無限は他のすべての数より大きい数だからです。

なぜそれが間違いだと言う人がいるかというと、無限は数ではなく、数列には終わりがないからです。

The statement is false \color{#D61F06}{textbf{false}}false.

Proof:

ここで働いている誤解は、「もしあなたが数直線に沿ってどんどん大きな数を超えて上がり続ければ、最終的に（先生がチックマークを作るのに飽きた時点のどこかで）数を数えることはあきらめ、そこには数直線終了を示す無限記号（∞infty∞）ができるだろう」というものです。 あるいは、”無限大は数列の端にあるが、無限大より小さい数、無限大と数列上の他の点との間には、まだ無限に多くの数がある “と言う人もいます。

先生が「数列の終わり」を∞inty∞と言ったとき、これは実際には数列が永遠に続くことを表す誤解を招く略記です。 より誤解を招かない表現としては、数列を矢印で伸ばすという方法がある。 さらに、一般的な級数表記を用いて、記録を止めることにした後も整数が続くことを示すこともできる。 「n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,……」と、負でないすべての整数の集合を表現することができるのです。 この集合は一般に「自然数（Nmathbb{N}）」または「非負整数」とも呼ばれる。

この誤解は、∞infty∞を整数または整数として扱うか、実数の1つとして扱うかを選択することにあります。 これは、∞Θinfty∞が英語の意味での「現実」または「非現実」であると信じていることとは違います。 無限は「本物」であり、有用な概念である。 しかし、無限大は数学的に定義された「実数」の集合のメンバーではないので、実数線上の数ではありません。

実数の集合であるRhexmathbb{R}Rは、ほとんどの大学入学前の学校では定義されるのではなく、説明されます。 それも、「数直線上のすべての点」という趣旨の説明と、「負の実数は0の左にあるもの、正の数は0の右にあるもの」という追加フォローで、簡単にしか説明されないのが普通です。

ほとんどの学生は、大学で数学を専攻するようにならない限り、実数の厳密な定義を教わることはない。 そのときに学ぶ最も一般的な定義の1つは、「実数は有理数のデデキントカットの集合である」というものです。 実数の厳密な定義があれば、「無限大」が実数の集合のメンバーでないことはすぐにわかる。

Rebuttal: 極限の研究では無限大(∞intfty∞)は他の数と同じように扱われます。 無限大が数でないなら、なぜ微積分でこのようなことをするのでしょうか。

回答 多くの人は、微積分の前段階や微積分において、まさにあなたが述べたように極限について教わりますが、無限大の扱い方は、誤解を招くかもしれませんが、無限大が単なる数字の一つであることを示唆しています。 例えば、5を水平漸近線とする関数があったとして、xxxが無限大に近づくときのf(x)f(x)の極限は5であると言うかもしれません。 また、f(x)f(x)が171717に垂直漸近線を持つ場合、f(x)x→17=∞f(x)_{xŏrightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞ と教えられる。 これは、多くの学生が ∞infty に初めて触れたとき、∞infty が単に「他のすべての数より大きい」数として扱われることを意味するので、非常に誤解を招く導入です。

しかしながら、この文脈では、無限大とは、関数には実数の限界値がなく、無限に増加するという、よく定義された概念の省略形にすぎません。 詳しくは関数の極限についてのwikiを参照してください！

反論です。 数学の教科書で無限大を確かに見たことがありますし、無限大でないすべての数より大きな数として定義されていることもあります。 実際の数学の概念ではないのになぜあるのでしょうか？

反論です。 実際に、基数や序数のような数学的な数集合があり、そこでは多くの異なるバージョンの∞intinfty∞が数として定義されています。 そして、厳密に定義された∞intinfty∞を含む数系は、多くの貴重な応用がある。 例えば、基数集合では、無限大は実数の個数を表す尺度である。 しかし、実数の集合Rmathbb{R}Rは、無限大を一切含まないように定義されている。

さらに、基数を考えるとき、無限大についての直観を変えなければなりません。それは、実数が適用されるような「数列」の意味での数ではありません。 その代わり、集合の大きさを測ったり比較したりするための概念です。

See Also

• 実数
• 実線上の表現
• Dedekind Cuts
• 関数の極限
• List of Common Misconsceptions