ベルヌーイの法則

ここまでは静止状態の流体に焦点をあててきました。 ここでは、空間上の各点における流体速度が時間的に変化しないような定常的な運動をする流体を取り上げる。 このような定常的な流れは、流体中に浮遊する粒子の軌跡である流線によって見ることができる。 定常流では、流体は動いているが、流線は固定されている。

オイラーとベルヌーイが流体力学の基礎を築いたとき、彼らは流体を理想化した非粘性物質として扱い、平衡状態にある静止流体と同様に、粘度に伴うせん断応力はゼロで圧力pは等方性であるとした。 そして、流線に沿ったpの変化とvの変化を関連づける簡単な法則（この原理はベルヌーイによるとされているが、オイラーが最初に到達したと思われる）に到達し、定常運動する現実の流体が示す現象の多くを説明することができるようになったのである。 粘性を無視することは、いつ、なぜ正当化されるのかという必然的な疑問に対して、唯一の答えはない。

質量mの小さな流体を考えてみよう。重力による力は別として、圧力pだけが作用している状態である。 質量 m の粒子がその重量 mg と付加力 F の影響を受けて、速度 vP、高さ zP の点 P から速度 vQ、高さ zQ の点 Q に移動するとき、付加力によって生じる仕事は粒子の運動エネルギーと位置エネルギーの増加に等しい、すなわち、ニュートンの運動法則のよく知られた結果である。 すなわち、

考慮中の流体要素の場合、Fは圧力の勾配に簡単な方法で関連付けることができ、

PからQへの流線に沿って流体密度の変化が無視できるほど小さい場合、因子ρ-1は（131）の右辺の積分に含まれず、そこでρ-1（pQ – pP）に減じることができる。 (130)と(131)を組み合わせると

これは流体の1つの要素が訪れることができる任意の2点に対して当てはまるので、すぐにベルヌーイ（またはオイラー）の重要な結果を推測することができる。は一定です。

密度の変化が無視できるほど小さいのはどのような場合でしょうか。 密度そのものに比べて非常に小さい場合、すなわち、ここで記号Δはそれに続く量の流線に沿った変化の程度を表すのに用いられ、Vsは音速です（気体中の圧縮性流体の項を参照）。 この条件は、後述する水に関係する流れの問題ではすべて満たされる。

ベルヌーイの法則は、非粘性流体がさまざまな断面を持つパイプに沿って流れる場合、速度が高い狭窄部では圧力が比較的低く、パイプが開いて流体が滞留する場所では比較的高くなることを示す。 多くの人は、この状況を初めて目にしたとき、逆説的だと感じる。 確かに、狭窄部は圧力を下げるどころか、むしろ圧力を上げるはずだ、と言う。 狭窄部で圧力が下がるからこそ、狭窄部の上流の圧力勾配が正しい符号を持ち、流体を加速させることができるのだ。 2枚の紙を2センチほど離して垂直に垂らし、その間に空気の流れがあるように下向きに吹いてみてください。 すると、空気の流れによって圧力が下がり、紙が引き寄せられる。 船も同じように、同じ方向に同じ速度で進み、その間にわずかな距離があれば、引き寄せられる。 この場合、船尾が前進してできた空間を埋めるために、船首が水を変位させることによって流れが生じ、船と船の間の流れは、船の外側を通過する流れより強くなる。 また、簡単な実験として、水道の蛇口を閉めたときのヒューという音を聞いてみてください。 この場合、流れは非常に狭くなり、狭窄部での流速は非常に速くなるため、狭窄部の圧力は実際には負圧になる。 通常存在する溶存ガスに助けられ、水は通過するときにキャビテーションを起こし、聞こえる音は、水が減速し、反対側で圧力が再び上昇するときに小さな気泡が崩壊する音である

水力エンジニアが配管中の液体の流れを監視するために使用している2つの実用的な装置は、ベルヌーイの法則に基づくものです。 一つはベンチュリ管で、標準的な形状の狭窄部を持つ短い長さであり（図5A参照）、これをパイプの中に挿入することができる。 管の断面積APの点Pでの速度をvP、面積AQの狭窄部での速度をvQとすると、連続条件(単位時間当たりに管を流れる質量が管の長さ方向のどの点でも同じでなければならない)から、ρPAPvP = ρQAQvQ、またはρPとρQの差がごく小さい場合はAPvP = AQvQが成り立つとするものだ。 このときベルヌーイの法則は

したがって、図に示す2つの側管内の流体のレベル差hを測定することによって、vP、したがって技術者が排出率と呼ぶ量Q（= APvP）を求めることができるはずである。 低速では圧力差(pP – pQ)は粘性(粘性参照)の影響を大きく受け、結果として式(135)は信頼できないものになります。 しかし、ベンチュリー管は通常、流速が十分に大きく、流れが乱れる場合に使用されます（「乱流」の項参照）。 このような状況では、流れが定常でないにもかかわらず、式（135）はより直接的な手段で測定した値と数％以内で一致するQの値を予測する。 流体の流線はこの管の鈍端に近づくと分岐し、図中のQと書かれた点では、この点の流体は上下にも右にも動かないので、完全に淀んだ状態になる。 ベルヌーイの法則から直ちに、

ベンチュリ管と同様に、レベル差hからvPを求めることができるはずである

ここでもう1つの簡単な結果について触れておきたい。 それは圧力下の液体で満たされた容器の壁に開いた穴から噴出する流体に関するものである。 噴流を観察すると、噴流が出た後、わずかに狭まって、大静脈と呼ばれる多かれ少なかれ均一な断面に落ち着くことがわかる。 これは、流線が容器内の孔に収束し、しばらくは容器の外側で収束し続けなければならないからである。 容器内の過剰な圧力が液体の頭 h で発生する場合、収縮大静脈での速度 v は、自由粒子が高さ h から落下して到達する速度であることを最初に示唆したのは Torricelli であった。

この結果は、ベルヌーイの法則が内包するエネルギー保存の原則の、非粘性流体に対する直接的な帰結である。

以下では、ベルヌーイの法則を用いて、浅水面を伝わる擾乱の速度に関する公式を間接的に確立している。 この式には、水波に関するいくつかの興味深い現象の説明が埋もれている。 気体中の音波と同様の現象については、後述の気体の圧縮性流体で、ベルヌーイの法則の別形式が紹介されている。 この法則は定常流の気体に限定されるが、音速よりはるかに小さい流速の場合は限定されない。 この2つの節では、粘性による複雑さは再び無視されている

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