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関数方程式とは、大まかに言えば、解くべき未知数の一部が関数である方程式のことである。 たとえば、次のようなものが関数方程式である。

  • $f(x) + 2fleft(\frac1xcephalus) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8</sin{x}$

入門トピックス

関数の逆数

関数の逆数とは、ある関数を「元に戻す」関数のことである。 例として、次のような関数を考えてみましょう。 $f(x) = x^2 + 6$ とします。 関数 $g(x) = \sqrt{x-6}$ は $f(g(x)) = x$ という性質を持っています。 このとき、$g$は（右）逆関数と呼ばれる。 (同様に、$g(f(x))=x$となるような関数$g$を左逆関数と呼びます）。 一般に右逆関数と左逆関数は適当な領域で一致し、この場合は単に逆関数と呼ぶ)。 関数$f$の逆関数は$f^{-1}$と表記されることがよくある。

中級編

巡回関数

巡回関数とは、以下の性質を持つ関数$f（x）$のことである。

$f(f(\cdots f(x))) = x$

こうした関数の典型例は $f(x) = 1/x$ つまり $f(f(x)) = f(1/x) = x$ であるからだ。 循環関数は、関数恒等式を解くのに大きく役立ちます。 この問題を考えてみましょう：

$3f(x) - 4f(1/x) = x^2$ となるような $f(x)$ を求めよ。 この関数式において、$x=y$とし、$x=1/y$とすると、$x=1/y$となる。 これにより、新たに二つの方程式が得られる。

$3f(y) - 4fleft(\frac1y\) = y^2$

$3fleft(\frac1y\right)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

さて、1式目に3をかけ、2式目に4をかけて2式足せば、次となります。

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

そこで、明らかに。 $f(y)=-θfrac{3}{7}y^2・・・。 \frac{4}{7y^2}$

問題例

  • 2006 AMC 12A 問題 18
  • 2007 AIME II 問題 14

参照

  • 関数
  • 多項式
  • コーシー関数型方程式

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