量子力学では、電子のような粒子も波として表現される。 例えば、電子で二重スリット実験を行うと、波のような干渉模様が観測される。 電子は、2つのスリットを通過する波の部分の位相が一致する位置で最も高い確率で検出され、建設的干渉が生じる。 電子の波の周波数は、個々の電子粒子の運動エネルギーと量子力学的な関係 E = hf で結ばれている。 この実験に電場や磁場が存在しなければ、電子のエネルギーは一定であり、例えば、対称性によって波の2つの部分が同位相である実験の中心軸に沿って電子を検出する確率が高くなる

しかし今度は、実験中の電子が電場や磁場にさらされたとする。 例えば、軸の片側に電場がかかり、もう片側にはかからないとすると、実験の結果は影響を受ける。 電子の電荷を-e、電位をVとすると、そのエネルギーは-eVとなり、その側を通過する電子波の振動速度が変化するのです。 電子波の2つの部分の位相関係が変化したため、建設的干渉と破壊的干渉の位置がどちらかに移動し、実験結果が異なることになります。 ここで発生するのは電場ではなく電位であり、量子力学で基本的な意味を持つのは電場ではなく電位であることの現れである。

電位による説明編集

電位を変えると、荷電粒子が一度も違う電場にさらされなくても、実験結果が違ってくる場合があるくらいです。 図に示す「アハロノフ・ボーム効果」がその一つです。 この例では、ソレノイドをオンにすると、ソレノイド内に磁場Bが存在するようになるだけです。 しかし、ソレノイドは電子がその内部を通過することができないように配置されています。 もし、磁場が基本量であると考えるならば、実験結果は変わらないはずである。 しかし、実際には、ソレノイドをオンにすることで、電子が通過する領域のベクトルポテンシャルAが変化するため、結果は異なっているのです。

ゲージ不変性：実験結果はポテンシャルのゲージの選択に依存しない編集

これらの実験では、結果に影響を与える唯一の量は電子波の二つの部分の間の位相の差であることに注意してください。 電子波の2つの部分は小さな時計で、それぞれ1本の針が円を描くように動き、自分の位相を記録していると想像してみましょう。 この漫画は、技術的な詳細を無視していますが、ここで重要な物理現象はそのままです。 2つの時計を同じだけ速くしても、2つの時計の位相関係は変わらず、実験結果も同じになります。 そればかりか、それぞれの時計の速度を一定量ずつ変える必要すらありません。 それぞれの時計の針の角度を、空間的な位置と時間の両方に依存するθだけ変化させればよいのである。 なぜなら、電子の位置の最終的な観測は1つの場所と時間で行われるため、各電子の「時計」の位相変化は同じになり、2つの効果は打ち消されるからである。 これはゲージ変換のもう一つの例で、局所的であり、実験結果を変えることはありません。

SummaryEdit

まとめとして、ゲージ対称性は量子力学の文脈でその重要性を最大限に発揮する。 電磁気学への量子力学の応用、すなわち量子電気力学では、ゲージ対称性が電磁波と電子波の両方に適用されます。 この2つのゲージ対称性は、実は密接に関係している。 例えば、電子波にゲージ変換θを適用した場合、電磁波を記述するポテンシャルにも対応する変換を適用しなければならない。 ゲージ対称性は、量子電気力学を繰り込み可能な理論にするために必要です。 物理的に測定可能なすべての量の予測計算値が有限であるような理論です。

ゲージ対称性の種類Edit

上のサブセクションで電子を小さな時計として説明しましたが、これは実質的に、電子の位相が加算・減算される際の数学的ルールを述べたものです：それらは普通の数字として扱われ、計算結果が 0≦θ＜1111＞360° の範囲外になる場合は、円を覆う許容範囲に「回りこむ」ことを強います。 別の言い方をすれば、例えば5°の位相角は365°の角度と完全に等価であると考えられる。 電子波が形成する干渉縞について、このような検証可能な記述があることは、実験によって確かめられている。 この数学的構造の代数的性質は、「回り込み」の性質を除けば、通常の実数のそれと全く同じである。

数学用語では、電子の位相は、円群またはU(1)と呼ばれる加算下のアーベル群を形成している。 “Abelian “とは、加算が commutes であることを意味し、θ + φ = φ + θ となる。 群とは、足し算が付き合うことで、「0」という恒等式を持つ。 また、すべての相に対して、相とその逆数の和が0になるような逆数が存在する。他のアーベル群の例としては、加算、0、否定のもとでの整数、積、1、逆数のもとでの0でない分数である。

ゲージの選択を視覚化する方法として、円柱がねじれたかどうかを見分けることが可能かどうかを考えてみましょう。 円柱に凸凹や印や傷がなければ、わからない。 しかし、円筒の軸に沿った距離を表す関数θ(x)で定義される任意の曲線を、円筒に沿って描くことはできる。 この任意の選択（ゲージの選択）がなされると、後で誰かが円柱をひねれば、それを検出することができるようになる。 非可換ゲージ群は、電磁場とは異なり、自分自身と相互作用する場を記述することができる。 例えば、一般相対性理論では重力場はエネルギーを持つとされ、特殊相対性理論ではエネルギーは質量と等価であると結論づけられる。 したがって、重力場はさらなる重力場を誘発する。

ゲージボゾン編集部

驚いたことに、ゲージ対称性は、電気や核の相互作用の存在をより深く説明することができるのである。 これは、ある種の粒子はすべて実験的に互いに区別がつかないという事実に関連するゲージ対称性の一種から生じています。 アリスとベティは一卵性双生児で、生まれたときにAとBというラベルのついた腕輪をつけられたとしよう。 このような恒久的な入れ替わりは、グローバルなゲージ対称性のようなものである。 これは、ある瞬間から次の瞬間まで、誰も見ていないところでアリスとベティが入れ替わっても、誰にもわからないという事実を説明するものです。 もし私たちが、お母さんのお気に入りの花瓶が壊れているのを観察したら、その責任は双子のどちらかにあると推論できるだけで、その責任が100％アリスにあり0％ベティにあるのか、あるいはその逆なのかは分からないのである。 もしアリスとベティが人間ではなく量子力学的な粒子であるならば、彼らにも波の性質があり、重ね合わせの性質もあって、波を任意に足したり引いたり、混ぜたりすることができる。 このことは、同一性の完全な交換にさえも制限されないことを意味する。 例えば、空間のある場所にあるエネルギーが存在することを観測しても、そのエネルギーがAの100％とBの0％なのか、Aの0％とBの100％なのか、Aの20％とBの80％なのか、あるいは他の混合物なのかを知る実験は存在しないのである。 対称性が局所的であるということは、粒子が空間を伝播するときに、この比率が一定であることを期待することもできない。 このことが数学的にどのように表現されるかの詳細は、粒子のスピンに関する技術的な問題に依存するが、我々の現在の目的のために、スピンのない粒子を考える。この場合、混合はゲージθ（x）の任意の選択によって指定できることがわかり、角度θ＝0°はA100%とB0%、θ＝90°はA0%とB100%、中間角度は混合を表している

量子力学の原理では、実際に粒子が空間を通る軌道は存在しない。 運動は波の形でしか記述できず、個々の粒子の運動量pはその波長λとp=h/λで関係づけられる。 経験的な測定では、波長は空間のある点と近くの別の点との間の波の変化を観察することによってのみ決定できます（数学的には微分することによって）。 波長が短い波ほど速く振動するため、近傍の点間の変化も速くなります。 ここで、空間のある一点にゲージを任意に固定し、その位置のエネルギーはAのものが20％、Bのものが80％と言ったとする。 そして、その2つの波を近くの別の地点で測定し、その波長を決定する。 しかし、波が変化した理由は全く別のところにある。 ある波長で振動しているから変化したのか、それともゲージ関数が20-80の混合から21-79に変化したから変化したのか、その理由は全く異なる。 2番目の可能性を無視すると、結果として理論が成り立たなくなる。運動量の奇妙な不一致が現れ、運動量保存の原則に反するからである。

ここでもスピンに関する技術的な問題がありますが、荷電粒子や核力で相互作用する粒子など、いくつかの重要なケースでは、ゲージ関数θ(x)に物理的実在性を与えることで問題が解決されます。 もし関数θが振動すれば、それは新しいタイプの量子力学的な波であり、この新しい波はそれ自身の運動量p = h/λを持ち、そうでなければ運動量保存が壊れてしまう矛盾を補うことができると言うのです。 電磁気学の文脈では、粒子Aと粒子Bは電子のような荷電粒子であり、θで表される量子力学的波は電磁場となる。 (ここでは、電子のスピンがゼロではなく、1/2であるという技術的な問題は無視する。 この単純化のために、ゲージ場θがスカラーであるのに対し、電磁場はVとAからなるベクトルで表されることになります)。 その結果、電磁相互作用の存在を説明することができる。もし、同一の、相互作用しない粒子のゲージ対称理論を構築しようとすると、結果は自己無撞着であり、粒子を相互作用させる電場と磁場を加えることによってしか修復できない。

関数θ（x）は波を記述するが、量子力学の法則はそれが粒子の性質も持つことを要求している。 電磁気学の場合、電磁波に対応する粒子は光子である。 一般に、このような粒子はゲージボソンと呼ばれ、ボソンとは整数のスピンを持つ粒子を指す言葉である。 最も単純な理論ではゲージボソンは無質量であるが、核崩壊力を伝達するゲージボソンのように質量を持つものを作ることも可能である

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