微分方程式の境界値問題の解の積分表現に関する関数。
線形微分方程式の境界値問題のグリーン関数は、同次境界条件を満たすこの方程式の基本解です。 グリーン関数は与えられた微分方程式と同次境界条件によって生成される微分演算子の逆積分演算子のカーネルである（cf. Kernel of an integral operator）。 グリーン関数は、同次境界条件を満たす非一様方程式の解を導きます。
Green function for ordinary differential equations.
L $ を微分多項式
$ l = \sum _ {k = 0 } が生成する微分演算子であるとすると、グリーン関数を求めることは微分演算子の性質を研究することから、対応する積分演算子の同様の性質を研究することにつながる。 ^ { n } p _ {k} ( x) \frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k}. } また、境界条件 $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $, where
$$ U _ {j} = \sum _ {k = 0 } とする。 ^ { n } \alpha _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +thebeta _ {jk} y ^ {(} k) ( b)である。$$
L $のグリーン関数とは、以下の条件を満たす関数$ G ( x, \xi ) $である：
1) $ G ( x, \xi ) $は区間$ $における$ x $と$ \xi $の全ての値に対して連続であり$ n – 2 $次まで$ xに関して連続微分を持っていること。
2) $ ( a, b) $内の任意の$ \xi $に対して、関数$ G ( x, \xi ) $は各半区間において$ x $に対して一様連続な$ n $次の微分を持ち、$ n – 1 $次の微分は条件
$$ \frac{Θpartial ^ {n – 1 }を満足する。 }{partial x ^ {n -1} }G ( \xi + , \xi ) -frac{partial ^ {n -1 } }. }{partial x ^ {n – 1 }. }G ( \xi – , \xi ) = \frac{1}{p _ {n}. ( ˶ˆ꒳ˆ˵ ) }$$
if $ x = \xi $.
3) 各半区間 $ $において、関数 $ G ( x, \xi ) $ を $ x $ の関数とみなして方程式 $ l = 0 $ と境界条件 $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $ を満足させる。
境界値問題 $ Ly = 0 $ が自明な解のみを持つ場合、 $ L $ は1つのグリーン関数を持つ 。 任意の連続関数 $ f $ on $ に対して境界値問題 $ Ly = f $ の解が存在し、それは次式で表される
$$ y ( x) = \intlimits _ { a }. ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$
演算子 $ L $ がグリーン関数 $ G ( x, \xi ) $ を持つ場合、その随伴演算子 $ L ^ {*} は、グリーン関数 $ L ^ {*} を持つことになる。 特に、$ L $が自己共役（$ L = L ^ {*} $）であれば、$ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}; $、すなわち、この場合のグリーン関数はエルミートカーネルとなります。 したがって、実係数の微分演算子
$ l が生成する自己共役2次演算子$ L $のグリーン関数= \frac{d}{dx}left ( pỉfrac{dy }{dx }}right ) +q ( x) y,\ ⑭a < x < b,$$
そして境界条件 $ y ( a) = 0 $, $ y ( b) = 0 $ の形を持っている。
$ G ( x, \xi ) = \{begin{array}{ll}Cy _ {1}… ( x) y _ {2} ( \xi ) &textrm{ if }. x \leq \xi , \Cy _ {1}. ( ˶ˆ꒳ˆ˵ ) y _ {2} ( x) &textrm{ if }. x > \xi . \end{array} \right .$$
ここで、$ y _ {1}. ( x) $ と $ y _ {2} がある。 ( x) $ は方程式 $ l = 0 $ の任意の独立解であり、それぞれ条件 $ y _ {1} を満たす。 ( a) = 0 $, $ y _ {2}. ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} である。 ここで $ W $ は $ y _ {1} $ と $ y _ {2} $ の Wronski 行列式（Wronskian）であり、$ C $ は $ \xi $ から独立していることが示される。
演算子 $ L $ がグリーン関数を持っていれば、境界固有値問題 $ Ly = \lambda y $ は積分方程式 $ y ( x) = \lambda ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, これにはフレドホルムの理論が適用できる（フレドホルムの定理も参照されたい）。 このため、境界値問題 $ Ly = \lambda y $ はせいぜい数え切れない数の固有値 $ \lambda _ {1} を持つことができる。 , \lambda _ {2} \有限極限点を持たない。 共役問題は、同じ多重度の複素共役固有値を持つ。 L $の固有値でない各$ \lambda $に対して、$ L – \lambda I $という演算子のグリーン関数$ G ( x, \xi , \lambda ) $（$ Iは恒等演算子）を構成することができる。 関数 $ G ( x, \xi , \lambda ) $ はパラメータ $ \lambda $ の子同型関数であり、その極は $ L $ の固有値のみであることができる。 固有値 $ \lambda _ {0} $ の多重度が1であれば、
$ G ( x, \xi , \lambda ) = \frac{u _ {0} ( x) \overline{ { v _ {0} ( \xi ) }}; }{lambda – \lambda _ {0} } }となり、Gの多重度が1であれば、Gの多重度が1であれば、Gの多重度が1であればGの多重度が1である。 } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$
ここで、$ G _ {1} は。 ( x, \xi , \lambda ) $は点$ \lambda _ {0} $の近傍で正則であり、$ u _ {0} ( x) $と$ v _ {0} ( x) $は$ Lと$ L ^ {*}の固有関数です。 の固有値 $ \lambda _ {0} $ と $ \overline{ {lambda _ {0} } に対応する。 となるように正規化され、
$$ \intlimits _ { a }. ^ { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( x) }}; dx = 1.$$
If $ G ( x, \xi , \lambda ) $ has infinitely-many poles and if these are only of first order, there exists a complete biorthogonal system
$ u _ {1} … … ( x),\ u _ {2}. ( x) ,\dots ; v _ _ {1} ╱╱╱╱。 ( x),\ v _ {2}. ( x) \dots$$
$ L $および$ L ^ {*}の固有関数の。 固有値を絶対値の大きい順に並べると、積分
$ I _ {R} ( x, f ) = \frac{1}{2 \pi i }intlimits _ {| \lambda | = R }となります。 \ d \lambdaintlimits _ { a }. ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$
は部分和
$ S _ {k} に等しい。 ( x, f ) = \sum _ {| \lambda _ {n}. | < R }u _ {n}. ( x)\intlimits _ { a }. ^ { b } f ( ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˵ˆ꒳ˆ˵ ) (関数 $ G ( x, \xi , \lambda ) $ が円 $ | \lambda | = R $ 上の $ \lambda $ において正則となるように、正数 $ R $ が選択されています。 正則境界値問題で、区間$ a < x < b $における任意の区分的平滑関数$ fに対して、式
$$ \limlimits _ {R \rightarrow \infty }が成り立ちます。 \ ♪ I _ {R} ( x, f ) = ♪ I _ {R} ( x, f ) = ♪ I _ {frac{1}{2} ) }
演算子$ L – \lambda I $のグリーン関数$ G ( x, \xi , \lambda ) $が多重極を持つ場合、その主部は演算子$ L $と$ L ^ {*}の固有関数と随伴関数の正準系で表現される。
上記の場合、境界値問題$ Ly = 0 $は非自明な解を持たない。 一方、そのような非自明な解が存在する場合には、いわゆる一般化グリーン関数が導入される。 例えば、問題 $ Ly = 0 $ の線形独立解が正確に $ m 個存在するとする。 すると、一般化グリーン関数 $ \ʕ-̫͡-ʔ は ( x, \xi ) $は普通のグリーン関数の性質1)と2)を持ち、$ a < \xi < b $ならば$ x $の関数として境界条件を満たし、さらに方程式
$ l _ {x} = -sum _ {k = 1 }の解であり、かつ$ xの関数として境界条件を満たすものが存在します。 ^ { m } \Όταμμα ( x)↵{ {v _ {k} }. ( \xi ) }}; .$$
ここで、$ \{ v _ {k}. ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $は随伴問題$ L ^ {*} y = 0 $の線形独立解の系であり、$ \{ \phi _ {k} $は随伴問題の線形独立解の系です。 ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $はこれに直交する連続関数の任意の系である。 すると
$ y ( x) = \intlimits _ { a }. ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$
は境界値問題$ Ly = f $の解であり、関数$ f $が連続であり、解法基準、すなわちすべての$ v _ {k}に直交する基準を満たす場合である。 142>
If $ \widetilde{G}. 0} $ が $ L $ の一般化グリーン関数の一つであれば、他の一般化グリーン関数は
$$ \widetilde{G} の形で表現できる。 ( x, \xi ) = \widetilde{G}. _ {0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1 }. ^ { m } u _ {k} ( x) 〚psi _ {k}〛になります。 ( ˶ˆ꒳ˆ˵ ),$$
ここで、$ \{ u _ {k} 。 ( x) \} は問題 $ Ly = 0 $ の線形独立解の完全系であり、$ \psi _ {k} は、問題 $ Ly = 0 $ の線形独立解の完全系である。 ( \xi ) $は任意の連続関数。
偏微分方程式に対するグリーン関数。
1) 楕円型方程式。 微分多項式
$ a ( x.) によって生成される次数$ m $の楕円型微分演算子を$ A $とする。 D) = \sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x) D ^ \alpha $$
in a bounded domain $ \Omega \subset \mathbf R ^ {N} $and homogeneous boundary conditions $ B _ {j} u = 0 $, ここで、$ B _ {j} $は十分滑らかであると仮定した$ \Omega $の境界上で定義された係数を持つ境界演算子である。 関数 $ G ( x, y) $ は、任意の固定 $ y ∕ω $ に対して、同次境界条件 $ B _ {j} を満たすとき、$ A $ に対するグリーン関数であるという。 G ( x, y) = 0 $かつ、一般化された関数として、方程式
$$ a ( x, D)G ( x, y) = \delta ( x – y) を満たす場合である。$$
同次境界値問題の解が一意であることを保証する滑らかな係数を持つ作用素と正規境界条件の場合、グリーン関数が存在し、境界値問題$ Au = f $の解は次のような形で表すことができる(cf. )
$$ u ( x) = \ \intlimits _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$
In such a case the uniform estimates for $ x , y \in \Omega; $,
$ | G ( x, y) | \leq C | x – y | ^ {m – n } }, $$$ $x, y , $d; $$ $x, y , $d; $d; $x, y , $d; $d; $x, y , $d; $x, y , $d | x – y | | \textrm{ if } m = n,$$
はグリーン関数に対して有効であり、後者は $ m > n $ならば一様に有界であることがわかります。
境界固有値問題$ Au = \lambda u $は積分方程式
$$ u ( x) = \lambda \intlimits _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$
に等しく、フレドホルム理論 (cf.) が適用できる (cf. Fredholm theorems)。 ここで、随伴境界値問題のグリーン関数は$ \overline{ {G ( y, x) }}; $である。特に、固有値の数はせいぜい数えられる程度で、有限限界点は存在せず、随伴境界値問題は同じ多重度の複素共役固有値を持つことが分かる。 したがって、ラプラス演算子に対するグリーン関数は
$$ G ( x, y) = \ – \frac{Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n }という形式をとります。 +gamma ( x, y ) \textrm{ if } n > 2,$$
$$ G ( x, y ) = + \frac{1}{2 \pi }. \mathop{rm ln} | x – y | + \gamma ( x, y) \textrm{ if } n = 2,$$
ここで $ \gamma ( x, y) $ はグリーン関数が境界条件を満たすように選んだ $ \Omega $ における調和関数です。
リアプノフ型境界$ \Omega $における係数が滑らかな2階楕円型演算子$ a ( x, D) $の第1境界値問題のグリーン関数$ G ( x, y) $は、問題
$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \textrm{ if } の解を表現できるようにするものである。 u \right | _ {partial \Omega } = \phi ,$$
in the form
$ u ( x) = \intlimits _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy + \intlimits _ {partial \Omega }frac \nu _ {y} } }. }G ( x, y ) \phi ( y ) d \sigma _ {y}.
ここで、$ \partial / \nu _ {y} $は演算子$ a ( x, D) $の外向き共法線に沿った微分で、$ d \sigma _ {y} $は$ \partial \Omega $上の面要素です。
均質境界条件$ Au = 0 $が非自明解であれば、常微分方程式と同じで一般化グリーン関数を導入することにします。 このようにラプラス演算子には一般化されたグリーン関数、いわゆるノイマン関数が利用できる。
2) 放物型方程式。 微分多項式
$ p ♪left ( x, t, D _ {x} ,♪frac ♪partial {partial t } ♪right ) = ♪frac ♪partial {partial t } ♪で生成される階$ m $の放物型微分演算子を$ Pとすると、$ Pは$ p ♪left $となる。 -sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x, t) D _ {x}. ^ \alpha ,$$
$ x \in > 0,$$
and the homogeneous initial and boundary conditions
$ u ( x, 0) = 0.0.0.0.0。\ ここで、$B _ {j} $は係数付きの境界演算子で、$ x ╱及び$ t ╱0 $に対して定義される。 演算子 $ P $ のグリーン関数は関数 $ G ( x, t, y, \tau ) $ であり、これは任意の固定 $ ( y , \tau ) $with $ t > \tau \geq 0 $and $ y \in Omega $satisfies homogeneous boundary conditions $ B _ {j} = 0 $and satisfy equation
$ p ♪Left ( x, t, D _ {x} ,\frac }{partial t }{right}G ( x, t, y, \tau ) = \delta ( x – y , t – \tau ) .$$
問題の解の一意性を保証する滑らかな係数と正規の境界条件を持つ作用素に対して、グリーン関数が存在し、方程式
$ p \left (x, t.) の解が得られる。 D _ {x} ,\frac {partial t }right )u ( x, t) = \ f ( x, t)$$
同次境界条件と初期条件$ u ( x, 0) = \phi ( x) $を満たすと、
$u ( x, t) = \int limits _ { 0 }の形になる。 ^ { t } \ d \tau \intlimits _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$
$ + \intlimits _ \Omega G ( x, t, y, 0) \phi ( y) dy.楕円系や放物線系の研究では、グリーン関数をグリーン行列の概念に置き換え、これらの系の同次境界条件の境界値問題の解をグリーン行列の右辺のベクトルと初期条件との積の積分で表現する .
グリーン関数の名前は、ポテンシャル理論の研究でこのような関数の特殊なケースを最初に研究した G. Green (1828)にちなんで付けられた。
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| V.V. Sobolev, “Course in theoretical astrophysics” , NASA , Washington, D.C. (1969) (Translated from Russian) | |
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| L. Gårding, “Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations” Math. Scand. , 1 : 1 (1953) pp.55-72 MR64979 | |
| A. Friedman, “Partial differential equations of parabolic type” , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903 | |
| S.D.. Eidel’man, “Parabolic systems” , North-Holland (1969) (Translated from Russian) Zbl 0181.37403 |
| J.K.Hale, “Ordinary differential equations” , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.37403 | |
| P.R. Garabedian, “Partial differential equations” , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501 |
Function theoryのグリーンファンクション。
複素変数関数の理論において、（実）グリーン関数とはラプラス演算子の第一境界値問題に対するグリーン関数、すなわち
$$ 型の関数を意味すると理解されている。 \frac{1}{| z – z _ {0}.. | } +gamma ( z, z _ {0} ),\ z ⑷ ,$$
where $ z = x + iy $ is complex variable, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $ is green function of pols, z _ {0} ∕in∕Omega $, $ \gamma ( z, z _ {0} ) $は$ z $の調和関数で、$ – \mathop{rm ln} 1/ | z – z _ {0}の値をとります。 | 境界 $ ╱╱╱╱╱╱にある。 領域$ \Omega $を単純連結とし、$ w = f ( z, z _ {0} ) $を$ \Omega $を単位円盤の中心に$ z _ {0} $写す共形写像を実現し、$ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \prime } となる解析関数とする。 ( z _ {0} , z _ {0} ) > 0 $.
Then
$$ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \mathop{rm ln}. \frac{1}{| f ( z, z _ {0} ) | }. .$$
$ H ( z, z _ {0} ) $ を $ G ( z, z _ {0} ) $ と共役な調和関数とすると、 $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $ で、解析関数 $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $は極$ z _ {0} $ の $ \グリーン関数と言われる。 式(2)を反転すると
$$ \tag{3 }f ( z, z _ {0} ) = \ e ^ {- F ( z, z _ {0} ) }が得られる。 .$$
式（2）と式（3）から、$ \Omega $の円板への共形写像を作る問題とグリーン関数を求める問題は等価であることがわかる。 グリーン関数 $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $ は共形写像に対して不変なので、同定が容易になることがあります（写像法参照）
リーマン面の理論では、関数 (1) に対して成り立つ最小値を用いてグリーン関数を定義するとより便利になります。 Riemann曲面上の関数$ U ( z, z _ {0} ) $that are positive and harmonic for $ z \neq z _ {0} $and have in a neighborhood of $ z _ {0} $the form
$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} )= \mathop{rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\ここで、$ \gamma ( z, z _ {0} ) $は曲面全体$ \Omega $上で正則な調和関数で、グリーン関数は存在すれば最小、すなわち$ G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $です。 ここで、グリーン関数は双曲型のRiemann曲面では典型的に存在するものです。 このようにグリーン関数が定義されると、一般にリーマン面の(理想)境界上のどこでも消失するわけではなくなります。 ポテンシャル論でも似たようなことが言えます（ポテンシャル論、抽象論も参照）。 任意の開集合 $ \Omega $、例えばユークリッド空間 $ \mathbf R ^ {n} $, $ n \geq 2 $ に対して、グリーン関数 $ G ( x, x _ {0} ) $ も、上で述べた最小値の性質を利用して定義できますが、$ n \geq 3 $ に対して式 $ | x – x _ {0} は、このように定義されるのです。 | ^ {2 – n } は、$ \mathop{rm ln} に置き換える必要があります。 {1/ | x – x _ {0}. | } を式(4)に代入する。 一般に、このようなグリーン関数は、境界 $ \partial ゙ω $ に近づくと、必ずしもゼロになるとは限らない。 放物線型のリーマン面や、$ \mathbf R ^ {2} $のある領域（例えば$ \Omega = \mathbf R ^ {2} $の場合）にはグリーン関数が存在しない
| R. Stoilov, “Theory of Functions of a Complex Variables” , 1-2 , モスクワ (1962) （ロシア語。 Nevanlinna, “Uniformisierung” , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003 | |
| M. Brélot, “Eléments de la théorie classique du potentiel” , Sorbonne Univ.センタードック. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903 |
E.D. Solomentsev
古典ポテンシャル理論のグリーン関数、公理ポテンシャル理論のグリーン関数も参照
複数の複素変数の関数理論、より詳細にはプリ・ポテンシャル理論（参照：ポテンシャル理論）で は、複素モンジュ-アンペール方程式に対するグリーン関数が紹介されています。 このようなグリーン関数は、複素モンジュ・アンペール演算子 $ M A = \mathop{rm det} の基本解となるのが理想的です。 ( \partial ^ {2} / \partial z _ {i} \partial ⑅️; _ {j} ) $, with boundary values $ 0 $ and in addition to plurisubharmonic (cf. Plurisubharmonic functionも参照のこと). 擬凸領域に対する古典的な1次元の理論との公正なアナロジーを達成することができるだけです（cf. 擬凸と擬凹）。 グリーン関数の定義については、いくつかの不等価な定義が提案されている。 そのうちのひとつは次のようなものである。 を$ \mathbf C ^ {n} $の領域とし、$ wを$ \in Omega $とする。 また、$ \mathop{rm PSH} とします。 ( \Omega ) $は$ \Omega $上の複数サブハーモニック関数（cf. Plurisubharmonic function）を表す。 $ w $に極を持つ$ \Omega $のグリーン関数は
$ G ( z , w ) =$
$ = \sup \{ u ( z) : u \ in \mathop{rm PSH} . ( ˶ˆ꒳ˆ˵ ) , u \leq 0 ,\ u ( \zeta ) – \mathop{rm log}. | C _ {u} Ⅾ｝ ,$$
ここで、$ C _ {u} $は$ u $に依存する定数である。 したがって、すべての固定された $ w $ に対して、$ G ( \cdot , w ) $ はplurisubharmonicである。 n = 1 $のとき、$ – G $は通常のグリーン関数に等しい。 もちろん、$ G ( \cdot , w ) \mid _ {partial \Omega } = 0 $かつ$ G ( \cdot , w ) $に連続関数が欲しいが、これは$ \Omega $が超凸領域（つまり、連続かつ有界のplurisubharmonic exhaustion functionを認める擬凸領域）であることと等価である。 この場合、次の式も成り立つ：
1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n}. \delta _ {w} $, where $ \delta _ {w} $is Dirac measure at $ w,
2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{rm log}. | z – w | $as $ z \rightarrow w $and $ G $is continuous on $ \overline \Omega; \times \Omega $.
If $ \Omega $ is strictly convex, $ G $is symmetric: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $and $ C ^ \infty $ on $ \Omega \setminus \{ w \} $.もし、[ ]内にあるならば、$G $は[ ]内にある。 もし、$ \Omega $が厳密に擬凸であるだけなら、$ G $は対称である必要はなく、$ C ^ {2} $であってもよい。 対称性を取り入れたグリーン関数を導入することもできますが、1)と2)が緩くなる可能性があります。 厳密に擬凸である$ \Omega $に対して次の不等式が成り立つ (L. Lempert):
$$ \mathop{therm log} \mathop{rm tanh} C ( z , w ) \leq G ( z , w ) < \mathop{rm log}. \mathop{rm tanh} K ( z , w ) ,$$
凸領域に対して等式である。 ここで $ C $ と $ K $ はそれぞれ Carathéodory と Kobayashi distance を表す。
$ E $ を $ \mathbf C ^ {n} $ の有界集合とすると、 $ E $ に対して $ \infty $ に極を持つグリーン関数は
$ L _ {E} となる。 ( z ) =$$
$ = \sup \{ u ( z ) : u \in \mathop{rm PSH}. ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{rm on}. E , u ( \zeta ) – \mathop{rm log}. ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} Ⅻ}。 ,$$
そして1変数の場合と同様にロビン関数
$ R _ {E} が存在する。 ( z) = \limlimits \sup _{begin{array}{c} {lambda} {in} {mathbf C} {end{array}{d} {lambda} {rightarrow} {infty} {end{array }( L _ {E} ) ( \lambda z ) – \mathop{rm log}. | \lambda z | )$$
and a logarithmic capacity
$$ \mathop{rm Cap}。 ( E) = \mathop{rm exp} \Ίταμμα \を、$$
For general sets $ E $, $ \mathop{rm Cap}. ( E) = \limlimits _ {n \rightarrow \Ȃ｝. \mathop{rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $. この容量は、容量0の集合がまさにpluri-polar集合であるという性質を持っている。
| K. Janssen, “On the existence of a Green function for harmonic spaces” Math. Annalen , 208 (1974) pp.295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018 | |
| N.S. Landkof, “Foundations of modern potential theory” , Springer (1972) (Translated from Russian) MR0350027 Zbl 0253.31001 | |
| E. Bedford, “Survey of pluri-potential theory” (forthcoming) MR1207855 Zbl 0786.31001 | |
| U. このような場合、「複素解析における容量」、Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001 | |
| J.P.Demailly, “Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques” Math. Z. , 194 (1987) pp.519-564 MR881709 Zbl 0595.32006 |
統計力学におけるグリーン関数の研究です。
相関関数の時間順序線形結合（cf. 統計力学の相関関数）で、相互作用粒子の計算で便利な中間量です。
統計量子力学におけるグリーン関数。
2時間コミュテータ温度グリーン関数として、retarded $ ( \mathop{trm ret} , + ) $, advanced $ ( \mathop{trm adv} , – ) $, causal (c) がよく利用されます。 これらは関係式で定義されます。 ^ {( \mathop{rm ret} ) }( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t ) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{rm ret} ) } }. ^ {( \mathop{rm adv} ) } }. ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t ) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{rm adv} ) } }. ^ {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t ) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langle T _ \eta A ( t ) B ( t ^ \prime ) \rangle ,ここで
$ _ \eta = \ A ( t) B ( t ^ \prime ) – \eta B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t),$$
$$ \theta ( x ) = \left \{ {begin{array}{ll}1, & x > 0 \0, & x < 0 \end{array} ,\eta = ﹡1 . \right .$$
ここで、$ A ( t) $,$ B ( t ^ \prime ) $は時間依存の力学変数（ハイゼンベルグ表現における系の状態空間上の演算子）、$ \langle $はギブス統計集合体の平均、$ \eta = \pm 1 $は便宜上選んだ値であります。 グリーン関数の利用は、そのフーリエ変換のスペクトル表現に大きく依存する $ G _ { AB} 。 ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{rm ret}. , \mathop{rm adv} , \textrm{ c }. したがって、温度が0でない場合、アドバンスドグリーン関数とリタードグリーン関数に対して次の表現が成り立つ：
$$ G _ {AB} ． ^ {(} n) ( E) = \ll A \mid B \gg _ {E}. ^ {(} n) =$$
$ = \frac{i}{2 \pi }. \Ί-Ί ^ { {+ } \infty } \Όταμμα για για για για για για για για για για για (\omega ) }{E – \omega + i \epsilon \_alpha _ {n}. } d \omega ,$$
$$ \epsilon \rightarrow + 0,\alpha _ {n} = \left \{ \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{rm ret} , \- 1, & n = \mathop{rm adv} . \end{array} \⑭ $$
ここで $ J _ {AB} とする。 ( \omega ) $はスペクトル密度、$ \theta = kT $、ここで$ T \neq 0 $は絶対温度、$ k $はボルツマン定数です。 単位系では、$ \hbar = h/2 \pi = 1 $ここで$ h $はプランク定数である。 特に、次の式が成り立つ：
$ G _ {AB} 。 ^ {( \mathop{rm ret} ) } }. ( ˶ˆ꒳ˆ˵ ) -G _ {AB}. ^ {( \mathop{rm adv} ) } }. ( \omega ) = \left ( e ^ {mega / \theta } – \eta }right ) J _ {AB}. ( \omega ) .$$
この式により、グリーン関数によってスペクトル密度（ひいては系の多くの物理的特性）を計算することができるようになります。 同様のスペクトル式はゼロ温度の場合にも存在する。 グリーン関数のフーリエ変換の特異点（複素平面上の極）は、系のスペクトルと初等摂動の減衰を特徴づける。 グリーン関数の計算には、a) 無限連立方程式の近似解、これはグリーン関数の定義から物理的な考えに基づいて「分割」することによって直接導かれる。b) 摂動論の系列の物理的な「基本」項の和（ダイアグラムの和）、この方法は主に因果グリーン関数の計算に用いられ、多くの点で場の量子論におけるグリーン関数の計算方法と類似している。
古典統計力学におけるグリーン関数
は、量子の場合（$ \eta = \pm 1 $ の場合）に確立した適切な量子公式における演算子 $ A ( t) $ と $ B ( t ^ \prime ) $ を、研究対象の古典系の動的状態関数に置き換えることによって得られる二時間遅れのグリーン関数と進歩したグリーン関数である。 また、A ( t) B ( t ^ \prime ) – B ( t ^ \prime ) A ( t ) $（量子ポアソン括弧）を古典（通常）ポアソン括弧に置き換える。 Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 動的変数の積は可換なので、因果的なグリーン関数の導入はここでは意味がない。 量子力学の場合と同様に、グリーン関数のフーリエ変換のスペクトル表現が存在し、効果的に利用することができる。 古典的なグリーン関数の計算の主要なソースは、相関関数に関する方程式系（Bogolyubov方程式系、流体力学方程式系など）のハミルトニアンを無限小に変化させて得られる方程式系である。
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V.N. Plechko
V.N. Plechko
Zbl 0956.00509 Zbl 0956.00509 Zbl 0956.81504