ガロア理論入門

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これはガロア理論についての短い入門書です。 この記事のレベルはNRICHの記事と比べるとかなり高いのですが、それはガロア理論が非常に難しいテーマで、通常数学の学部の最終学年にしか導入されないからです。 この記事はガロア理論の表面をなぞったに過ぎず、おそらく数学に強い興味を持つ17歳か18歳の学生がアクセスできるはずです。 以下の序文で、ガロア理論の2つの重要な応用について短い、非常に曖昧な概観を述べています。 もしガロア理論についてもっと知りたいなら、この記事の残りの部分はより深いですが、より難しいです。

この記事の深い部分を理解するために知っておくべき最も重要なことは、複素数と群論の2つです。 もし複素数に出会ったことがなければ、15、16歳の学生でも読める「複素数入門」を読むとよいでしょう。 群論に触れたことがなくても心配はいらない。

1.1 動機

ガロアの理論は非常に大きなテーマで、数学の学位を取るために勉強しない限り、珍しい方法で数学の勉強に没頭するまでは、かなり無意味に思えるかもしれません。 例えば、定規とコンパスを使っても角の三等分はできないし、ある種の正多角形は定規とコンパスを使っても作れない、というようなことです。
定義 有理数の係数を持つ多項式の解を、有理数のみと加算、減算、除算、乗算、n番目の根を求める操作を用いて求めることができるとき、 $p(x)$ はラジカルによって解ける、と言う。

1.2 History

では、なぜガロア理論はガロア理論と呼ばれるのでしょうか。 答えは、この分野で非常に重要な仕事をしたフランスの数学者エヴァリスト・ガロワ(Evariste Galois, 1811-1832)の名前にちなんでいるためです。 彼は非常にドラマチックで困難な人生を歩んでおり、自分を明確に表現することが非常に困難であったために、自分の研究の多くを認めてもらうことができませんでした。 例えば、彼はパリの主要な大学であるエコール・ポリテクニークに入学できず、エコール・ノルマル（Ecole Normale）でやっていかなければならなかった。 また、彼は共和主義者であったため、政治的なシンパシーを持つことでも苦労した。 そのため、エコール・ノルマルでは、校長を批判する手紙を新聞に書いたことがきっかけで、退学を余儀なくされた。 その後、民兵の共和派支部に所属し、そのために二度投獄された。 2度目の獄中では獄医の娘ステファニー＝フェリーチェ・デュ・モテルと恋に落ち、釈放後にペルシュ・デルバンヴィルとの決闘で命を落とした。 決闘の理由ははっきりしないが、おそらくステファニーに関係があったのだろう。 3689>

ガロアは群論やガロア理論を発明したとされることが多いが、イタリアの数学者パオロ・ルッフィーニ（1765-1822）が先に多くのアイデアを思いついたようである。 残念ながら、彼のアイデアは、当時の数学界では相手にされなかった。

1.3 Overview

上のラジカルによる可溶性についての結果が（ガロア理論を使って）証明される方法は、根が上の特別な操作だけを用いて構築された場合の多項式の根間の対称性のコレクションについての結果を証明することである。 (対称性の集まりは可溶群と呼ばれるものを形成しなければならないことがわかります。 これについては、この記事の最後のほうで詳しく説明します)。 そして、根の対称性がこの特別な性質を持たない多項式を見つけると、その根は特別な操作では作り上げられなかったことがわかります。
この記事の残りのテーマは、根の対称性とは何を意味するのか、またこれらの対称性の集まりの構造について、正確に説明することです。 新しい考え方が大量に紹介され、何度も使われるし、知らない言葉もたくさん出てくる。 記事の最後には、各段階でサイクロトミック場の拡張だけを用いて構築できるので、$Q$は$Q$のラジカル場拡張である、といったフレーズを使うことになるでしょうね。 一見すると異質な言葉ですが、すべての単語が紹介されるたびに説明されているので、あまり気後れしないでください。 この本を読むのに一番良い方法は、ゆっくり読み、次のセクションに進む前に、すべての単語の意味を正確に理解することです。なぜなら、その単語は何度も出てくるので、もし理解できなければ、読み進むにつれてすべてがますます混乱してしまうからです。 しかし、もしあなたがオンラインでこれを読んでいるなら、下線部の単語をクリックすれば、元の定義が小さなウィンドウで表示されます。

2 グループとフィールド

この時点で、ここまでの内容を確認したいかもしれません。 S_n$ が群であること、そして $n!$ 個の要素を持つことを証明できるかどうか。 3616>

2.2 Fields

2.3 Field extensions

定義 (Field Extension):

Field extension of a field $F$ is a field $K$ containing $F$ (we write a field extension as $Fsubseteq K$ or $K/F$)． 例えば、実数は有理数の体外離散で、有理数は実数です。

2.4 分割体

ここからガロア理論が始まります。 3616>

3 オートモルフィズムとガロア群

上の関数$f$について、本当にすべての条件を満たしていることが確認できます。
場のオートモルフィズムの考え方は、構造を全く変えずに場の要素を再表現する方法に過ぎないということです。 つまり、記号$-sqrt{2}$を記号$-sqrt{2}$に置き換えて計算し、記号$-sqrt{2}$を$-sqrt{2}$に戻せば、正しい答えになるのです。 3616>

3.2ガロア群

4 ラジカルによる溶解度

これ以上、ガロア理論に踏み込むと、残念ながら複雑になりすぎてしまうので、この考えを表現する方法として、場のオートモーフィズムがあります。 ラジカルで解けない多項式の存在証明の続きをスケッチします。

5 角の三等分

上で述べたように、ガロア理論を使って、定規とコンパスの方法ですべての角を三等分することは不可能であると示すことができます。 定規とコンパスを用いて $20^{Circ}$ の角度を構成できない（つまり $60^{Circ}$ の角度を三等分できない）ことの証明の概要を説明します。

構成可能な数がこの形式の場の拡張に存在しなければならないことは自明ではありませんが、長さ $x$, $y$ の線分が与えられると、幾何学的構成を用いて長さ $x+y$, $x y$, $1/x$ の他の線分を構成できるので、理由はなんとなくわかると思います。 また、幾何学的な作図だけで、長さ $sqrt{x}$ の線分を作図することができます。 実は、幾何学的作図でできることは、これだけであることも示すことができます。 (試しに、無印の定規とコンパスでできることは、2直線の交点を求めることで、算術演算しかできないこと、直線と円の交点を求めることで、平方根が得られること、円と円の交点で、平方根が得られることを利用して、これを証明することができます)。 これがなぜ、（上で定義した）構成可能な場の拡張の数が、無印の定規とコンパスだけで構成できること、構成可能な場の拡張の数だけがこの方法で作れることを意味するかわかりますか？
次に、3次多項式 $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ で根が有理数ではない場合、根は構成可能ではないことを示しますよね。 この証明はそれほど難しくありませんが、この記事で想定している以上の知識が必要です。
ここからが賢いところです。 仮に、$20^{Circ}$の角度を作れたとすると、数$cos(20^{Circ})$は作れます（$20^{Circ}$の直線上の点から、原点からの距離$1$で水平に垂線を落とせばいいのです）。 しかし、$alpha=Θ(20^{Θcirc})$が方程式$8x^3-6x-1=0$の根であることは示せます（$Θ(60^{Θcirc})$を加算式を使って$Θcos(20^{Θcirc})$で展開すればいいのですから）。 これが有理根を持たないことは簡単に示せるので、根を構成することはできない。 つまり、$20^{Circ}$の角度は構成できなかったということです。そうすると、$Cos(20^{Circ})$が構成できることになるので、それは不可能です。 したがって、$60^{Circ}$の角は三等分できません。
このような方法は、どのような形が構成できるか、構成できないかなど、他の結果の証明にも使えます。

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