La compulsione dei matematici a rendere le cose sempre più complesse è sia una benedizione che una maledizione. Il loro impulso a prendere un’idea e ad estenderla il più possibile può produrre nuove affascinanti intuizioni. Il rovescio della medaglia è che man mano che la matematica diventa più astratta e guadagna il potere di descrivere enormi fasce di conoscenza concettuale, diventa sempre più difficile da descrivere a parole.

Quindi è con la testa pesante che rivolgo l’attenzione di questa serie sui problemi del Millennium Prize alla Congettura di Hodge. È un’incredibile intersezione di vari campi della matematica, ma un dolore nel toro da riassumere. Quindi, dato che è la Giornata Mondiale della Matematica, inizierò con una promessa: non appena le cose diventeranno troppo complesse, smetterò finché sono in vantaggio.

Gli uomini hanno studiato la matematica delle forme da ben prima che un triangolo catturasse l’occhio di Pitagora intorno al 500 a.C. Nel corso delle generazioni, sono state studiate forme sempre più complicate fino a quando, circa duemila anni dopo, sembrava che si stessero esaurendo. I matematici avevano fatto tutto quello che potevano pensare con le forme, e lungo la strada hanno fornito la base per tutto, dall’ingegneria alla pittura prospettica. Poi, nel 1637, un giovane e brillante matematico-filosofo si rese conto che, se si astraeva di un ulteriore passo, la geometria era in realtà la stessa cosa dell’algebra.

Utilizzando il sistema di coordinate cartesiane che ora porta il suo nome, Cartesio pensò molto a come una linea geometrica fosse solo un insieme di numeri. Anche le equazioni possono produrre un insieme di numeri come loro soluzione. Se entrambi questi insiemi di numeri fossero esattamente gli stessi, allora una linea disegnata su un pezzo di carta potrebbe essere considerata la stessa cosa della soluzione di un’equazione.

Questo fu un momento di svolta nella matematica che permise di applicare alla geometria tutti gli strumenti sviluppati in algebra. È il motivo per cui il tuo insegnante di matematica a scuola era così entusiasta di convertire i grafici lineari in equazioni: qualsiasi linea casuale può essere pensata come l’insieme delle soluzioni di un’equazione come y = mx + c. Qualsiasi cerchio è l’insieme delle soluzioni di (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Ora, se vuoi vedere dove una certa linea attraversa un particolare cerchio, puoi disegnare le forme geometricamente o semplicemente confrontare le equazioni algebricamente. Entrambi i metodi daranno la stessa risposta.

I matematici non si sono accontentati di linee e hanno scoperto rapidamente che equazioni più complicate, o anche insiemi di equazioni che lavorano insieme, possono produrre forme sorprendenti in tutti i tipi di dimensioni. Alcune potevano ancora essere visualizzate come forme – come le equazioni il cui insieme di soluzioni traccia una mappa della superficie di un anello, noto come toro – ma molte di esse erano al di là di ciò che possiamo immaginare e accessibili solo con l’algebra e un’immaginazione molto estesa.

Poiché i matematici avevano ora a che fare con oggetti al di là di ciò che possiamo visualizzare, queste “forme” divennero note in generale come “cicli algebrici”. Se un ciclo algebrico era una bella forma liscia e generalmente ben educata, si guadagnava anche il titolo di “manifold”.

Due cose accaddero allora contemporaneamente. Primo: un gruppo di matematici conosciuti come topologi ha iniziato a guardare cosa succede se si disegnano forme su un manifold. Si potrebbe immaginare di avere una ciambella ad anello e di disegnare un triangolo proprio intorno alla parte superiore (vedi immagine sopra). O forse un pentagono.

In realtà, avete bisogno di entrambi? Se la forma potesse scorrere e allungarsi, allora il triangolo potrebbe essere distorto nel pentagono. I topologi hanno raggruppato tutte le forme che possono essere distorte da una all’altra (senza essere sollevate dalla superficie del manifold) in una “classe di omologia” – una specie di forma generalizzata. Tutte le forme che passano attraverso il “buco” della ciambella formerebbero una diversa classe di omologia.

In secondo luogo, un gruppo di matematici che si definivano algebristi iniziò a prendere insiemi di equazioni che già producevano manifold belli ordinati e ad aggiungere altre equazioni. Queste equazioni aggiuntive producevano nuovi cicli algebrici all’interno di quei collettori.

Non passò molto tempo prima che ci si rendesse conto che i topologi che disegnano classi di omologia sui collettori e gli algebristi che incorporano cicli algebrici nei collettori erano in realtà la stessa cosa. Era una ripetizione di quando le forme geometriche incontrarono per la prima volta le equazioni algebriche. La difficoltà era che nessuno sapeva con certezza quando una classe di omologia su un manifold conteneva almeno una forma che era anche descrivibile come un ciclo algebrico.

Per riassumere, un manifold è una strana forma (possibilmente ad alta densità) che può essere descritta da un insieme di equazioni. Aggiungendo ulteriori equazioni si ottengono forme più piccole, note come cicli algebrici, all’interno di quel manifold.

Il problema è: se si disegna una qualsiasi forma casuale – possibilmente brutta – su un manifold, come si può sapere se può essere allungata in una forma diversa che può essere descritta come un bel ciclo algebrico?

Il matematico scozzese William Hodge aveva una grande idea su come si potesse dire quali classi di omologia su qualsiasi dato manifold fossero equivalenti a un ciclo algebrico. Solo che non riusciva a dimostrarlo. Se riesci a dimostrare che il suo metodo funziona sempre, allora il premio di 1 milione di dollari è tuo.

Il mio problema è che finora ho parlato in termini di belle coordinate numeriche ordinarie e dimensioni spaziali normali. La Congettura di Hodge in realtà usa quelle che sono note come coordinate numeriche complesse e dimensioni spaziali complesse. Quindi, per quanto mi piacerebbe descrivere l’intera congettura per voi, questo è esattamente il punto in cui ho promesso che mi sarei fermato.

Matt Parker lavora nel dipartimento di matematica della Queen Mary, University of London, e può essere trovato online su standupmaths.com
Per saperne di più sulla congettura di Hodge, questo video di una conferenza di Dan Freed dell’Università del Texas a Austin è altamente raccomandato

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