Questa è una breve introduzione alla teoria di Galois. Il livello di questo articolo è necessariamente abbastanza alto rispetto ad alcuni articoli di NRICH, perché la teoria di Galois è un argomento molto difficile, di solito introdotto solo nell’ultimo anno di una laurea in matematica. Questo articolo sfiora solo la superficie della teoria di Galois e dovrebbe probabilmente essere accessibile a uno studente di 17 o 18 anni con un forte interesse per la matematica. C’è una breve e molto vaga panoramica di due importanti applicazioni della teoria di Galois nell’introduzione qui sotto. Se vuoi saperne di più sulla teoria di Galois il resto dell’articolo è più approfondito, ma anche più difficile.
Le due cose più importanti da conoscere per capire la parte approfondita dell’articolo sono i numeri complessi e la teoria dei gruppi. Se non ti sei mai imbattuto nei numeri complessi prima, puoi leggere An Introduction to Complex Numbers, che dovrebbe essere accessibile agli studenti di 15 o 16 anni. Se non ti sei mai imbattuto nella teoria dei gruppi, non preoccuparti. Introduco l’idea di gruppo qui sotto, anche se potrebbe essere meglio provare a trovare un libro o un sito web che vada più in dettaglio.
1.1 Motivazione
La teoria dei gruppi è un argomento molto grande, e fino a quando non si è abbastanza immersi nello studio della matematica in un modo che è insolito a meno che non si studi per una laurea in matematica, può sembrare abbastanza inutile. Tuttavia, ci sono due problemi che forniscono qualche motivazione per studiare la teoria di Galois – l’esistenza di polinomi che non sono solubili per radicali, e alcuni risultati sulla geometria euclidea classica, per esempio che non si può trisecare un angolo usando riga e compasso, e che certi poligoni regolari non possono essere costruiti usando riga e compasso.
Definizione Quando possiamo trovare le soluzioni di un polinomio a coefficienti razionali usando solo numeri razionali e le operazioni di addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione e trovando radici ennesime, diciamo che $p(x)$ è solubile per radicali.
1.2 Storia
Perché la teoria di Galois si chiama teoria di Galois? La risposta è che prende il nome dal matematico francese Evariste Galois (1811-1832) che fece un lavoro molto importante in questo campo. Ebbe una vita molto drammatica e difficile, non riuscendo a far riconoscere gran parte del suo lavoro a causa della sua grande difficoltà ad esprimersi chiaramente. Per esempio, non fu ammesso alla principale università di Parigi, l’Ecole Polytechnique, e dovette accontentarsi dell’Ecole Normale. Incontrò difficoltà anche a causa delle sue simpatie politiche, era un repubblicano. Questo lo portò ad essere espulso dall’Ecole Normale quando scrisse una lettera ad un giornale per criticare il direttore della scuola. Si unì ad un ramo repubblicano della milizia e fu poi imprigionato (due volte) a causa della sua appartenenza. La seconda volta, mentre era in prigione, si innamorò della figlia del medico della prigione, Stephanie-Felice du Motel e dopo essere stato rilasciato morì in un duello con Perscheux d’Herbinville. Le ragioni del duello non sono del tutto chiare, ma sembra probabile che avesse qualcosa a che fare con Stephanie. La sua morte diede il via a rivolte e raduni repubblicani che durarono per diversi giorni.
Anche se a Galois viene spesso attribuita l’invenzione della teoria dei gruppi e della teoria di Galois, sembra che un matematico italiano Paolo Ruffini (1765-1822) possa aver elaborato molte delle idee per primo. Sfortunatamente le sue idee non furono prese seriamente dal resto della comunità matematica dell’epoca. Ci sono alcuni link alla fine di questo documento per chiunque sia interessato a scoprire di più sulla storia della teoria dei gruppi e della teoria di Galois.
1.3 Panoramica
Il modo in cui il risultato sulla solubilità per radicali è dimostrato (usando la teoria di Galois) è quello di provare un risultato sulla collezione di simmetrie tra le radici di un polinomio dato che le radici sono costruite usando solo le operazioni speciali sopra. (Si scopre che l’insieme delle simmetrie deve formare quello che viene chiamato un gruppo solubile. Più su questo verso la fine di questo articolo). Poi si trova un polinomio per il quale le simmetrie delle radici non hanno questa proprietà speciale, quindi si sa che le radici non possono essere costruite dalle operazioni speciali.
Il tema del resto di questo articolo è precisare cosa intendiamo per una simmetria delle radici e la struttura della collezione di queste simmetrie.
1.4 Notazione
1.5 Consigli per la lettura di questo articolo
Il resto di questo articolo è abbastanza difficile. Un gran numero di nuove idee sono introdotte e usate più e più volte, e ci sono molte parole non familiari. Entro la fine dell’articolo userò frasi come $Q$ è un’estensione di campo radicale di $Q$ perché può essere costruita usando solo estensioni di campo ciclotomiche ad ogni stadio. Non fatevi scoraggiare troppo da questo linguaggio apparentemente alieno, ogni parola è spiegata man mano che viene introdotta. La migliore strategia per leggerlo è quella di andare lentamente e assicurarsi di capire esattamente cosa significa ogni parola prima di passare alla sezione successiva, perché quella parola sarà usata ancora e ancora, e se non la capite bene allora tutto diventerà sempre più confuso man mano che continuate a leggere. Comunque, se stai leggendo questoonline puoi semplicemente cliccare su qualsiasi parola sottolineata e la definizione originale apparirà in una piccola finestra.
2 Gruppi e campi
A questo punto, potresti voler controllare che hai seguito fin qui. Vedi se puoi dimostrare che $S_n$ è un gruppo e che ha $n!$ elementi. Se ti piace l’idea di insiemi e funzioni, allora puoi provare che $S_X$ è un gruppo anche se $X$ è un insieme infinito.
2.2 Campi
2.3 Estensioni di campo
Definizione (Estensione di campo):
Un’estensione di campo di un campo $F$ è un campo $K$ che contiene $F$ (scriviamo un’estensione di campo come $F\subseteq K$ o $K/F$). Per esempio, i numeri reali sono un’estensione di campo dei numeri razionali, perché i reali sono un campo e ogni razionale è anche un numero reale.
2.4 Campi di divisione
Ecco dove inizia la teoria di Galois.
Un altro esempio è che il campo di divisione di $p(x)=x^4-5x^2+6$ è $Q$. Puoi vedere perché?
3 Automorfismi e gruppi di Galois
Puoi verificare che per la funzione $f$ di cui sopra soddisfa davvero tutte le condizioni.
L’idea di un automorfismo di campo è che è solo un modo di rietichettare gli elementi del campo senza cambiare affatto la struttura. In altre parole, possiamo sostituire il simbolo $-sqrt{2}$ con il simbolo $-sqrt{2}$, fare tutti i nostri calcoli e poi cambiare il simbolo $-sqrt{2}$ di nuovo in $-sqrt{2}$ e ottenere la risposta giusta. Gli automorfismi di campo sono il modo giusto per esprimere questa idea, perché le condizioni che $f(x+y)=f(x)+f(y)$ preservano la moltiplicazione, l’addizione e così via.
3.2 Il gruppo di Galois
4 Solubilità per radicali
Andare oltre nella teoria di Galois sarebbe, purtroppo, troppo complicato. Abbozzerò il resto della prova dell’esistenza di polinomi che non sono solubili per radicali.
5 Trisecting Angles
Come ho detto sopra, si può usare la teoria di Galois per dimostrare che è impossibile trisecare tutti gli angoli usando il metodo del righello e del compasso. Vi illustrerò una prova che non è possibile costruire un angolo di $20^{\circ}$ usando riga e compasso (e quindi non è possibile trisecare un angolo di $60^{\circ}$).
Non è ovvio che ogni numero costruibile debba trovarsi in un’estensione di campo di questa forma, ma possiamo in un certo senso vedere perché, dati segmenti di linea di lunghezza $x$, $y$, è possibile costruire altri segmenti di linea di lunghezza $x+y$, $x y$ e $1/x$ usando costruzioni geometriche. Inoltre, è possibile costruire un segmento di lunghezza $sqrt{x}$ usando solo costruzioni geometriche. In effetti, si può anche dimostrare che queste sono le uniche cose che si possono fare con le costruzioni geometriche. (Se vuoi provare, il modo per dimostrarlo è usare il fatto che tutto quello che puoi fare con righelli e compassi non segnati è trovare l’intersezione tra due linee, che ti dà solo operazioni aritmetiche, trovare l’intersezione tra una linea e un cerchio, che ti dà radici quadrate, e intersezioni tra cerchi e cerchi, che ti dà radici quadrate). Puoi vedere perché questo significa che un numero in un’estensione di campo costruibile (come definito sopra) può essere costruito usando solo una riga e un compasso non segnati, e che solo i numeri in estensioni di campo costruibili possono essere fatti in questo modo?
In seguito, dimostri che se hai un polinomio cubico $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ le cui radici non sono numeri razionali allora le radici non sono costruibili? Questo non è molto difficile da dimostrare, ma richiede qualche conoscenza oltre a quella che sto assumendo per questo articolo.
Ecco la parte intelligente. Supponiamo che si possa costruire un angolo di $20^{circ}$, allora il numero $\cos(20^{circ})$ sarebbe costruibile (si può semplicemente far cadere una perpendicolare da un punto su una linea a $20^{circ}$ all’orizzontale, alla distanza $1$ dall’origine). Tuttavia, si può dimostrare che $alpha=\cos(20^{\circ})$ è una radice dell’equazione $8x^3-6x-1=0$ (espandendo $\cos(60^{\circ})$ in termini di $\cos(20^{\circ})$ usando la formula di addizione). È facile mostrare che questo non ha radici razionali, e quindi le radici non sono costruibili. Questo significa che non avremmo potuto costruire un angolo di $20^{circ}$, perché allora saremmo stati in grado di costruire $cos(20^{circ})$ che è impossibile. Quindi un angolo di $60^{circ}$ non può essere trisecato.
Si possono usare metodi come questo per provare altri risultati su quali forme possono o non possono essere costruite e così via.
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